利用數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)提高學(xué)生自主解題能力

陳其樓

[摘? 要] 文章闡述了數(shù)學(xué)習(xí)題選配原則和習(xí)題教學(xué)的功能，以及充分利用習(xí)題教學(xué)的策略，并對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和理解能力，最終實(shí)現(xiàn)解題能力的提升提出進(jìn)一步的建議.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué);習(xí)題;解題能力

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，通常是指數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中展開的例題講解、習(xí)題處理、作業(yè)題、試題評(píng)講等教學(xué)活動(dòng)，于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，它是教學(xué)過程中的重要組成部分，是概念、公式的延伸，是性質(zhì)、原理的深化，是幫助學(xué)生獲得“三基”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要環(huán)節(jié). 因此，培養(yǎng)學(xué)生的解題習(xí)慣，發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題的功效，是值得廣大數(shù)學(xué)教師深入探究的問題.下面，筆者談?wù)勔恍┙虒W(xué)體會(huì).

精選習(xí)題，發(fā)揮習(xí)題的功效

1. 數(shù)學(xué)習(xí)題的選配原則

習(xí)題教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用是不容忽視的，而一道習(xí)題的功效不能涉及知識(shí)的方方面面，這就要求教師在選配習(xí)題時(shí)需根據(jù)知識(shí)的需求精選習(xí)題，有針對(duì)性地根據(jù)不同的背景以及用途去精心選配習(xí)題，從而利于解題教學(xué)的實(shí)施. 數(shù)學(xué)習(xí)題的選配需遵循以下兩個(gè)原則：

一是啟發(fā)性原則. 現(xiàn)代教學(xué)論強(qiáng)調(diào)教學(xué)的主體是學(xué)生，那么教師需千方百計(jì)地從知識(shí)背景出發(fā)去啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，只有啟而得法，才能使教學(xué)誘之有效. 二是鞏固性原則.教師在精選習(xí)題時(shí)，需選配具有鞏固作用的習(xí)題，從而實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的轉(zhuǎn)化和深化理解.

2. 習(xí)題教學(xué)的功能

數(shù)學(xué)習(xí)題的選配在習(xí)題教學(xué)中并非隨性而選，需遵循兩大原則，與此同時(shí)，在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中還需體現(xiàn)如下功能，方可達(dá)到提高解題能力的目的：一是知識(shí)功能.通過習(xí)題教學(xué)使學(xué)生所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)更系統(tǒng)、更完善，展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展.二是教育功能. 使學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，可以獲取和發(fā)展推理、化歸、應(yīng)變和理解能力，處理問題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)觀念解決問題的能力.

策略的實(shí)施

1. 認(rèn)真審題是提高解題實(shí)效性的關(guān)鍵

審題是解題第一關(guān)，“審”即閱讀、分析和推敲. 數(shù)學(xué)題由條件與結(jié)論兩個(gè)部分組合而成，審題的目的就是充分理解題目中兩部分的信息，從而明確問題的實(shí)質(zhì). 在審題時(shí)，學(xué)生需做到以下幾點(diǎn)：一是理清結(jié)構(gòu);二是抓住關(guān)鍵;三是查漏補(bǔ)缺. 葉圣陶老先生曾說：“教是為了不教”. 學(xué)生的審題能力提升到一定的程度后，教師就可以放手讓學(xué)生充分發(fā)揮主動(dòng)性和創(chuàng)造性去解題，從而提升學(xué)生的解題能力.？搖

例1：已知tan（α-β）=■，tanβ=-■，且α，β∈（0，π），請(qǐng)求出2α-β的值.

首先，從解讀中理清本題的基本結(jié)構(gòu)是從條件tan（α-β）=■，tanβ=-■延伸到求2α-β.

其次，從解讀中牢牢把握此題的關(guān)鍵條件tan（α-β）=■，tanβ=-■，明晰它所發(fā)揮的功效.

因?yàn)?α-β=α+（α-β），

所以tan（2α-β）=tan[α+（α-β）]=■（？鄢）.

又tanα=tan[（α-β）+β]=■=■，代入（？鄢），得出tan（2α-β）=1.

因?yàn)棣?，β∈?，π），所以2α-β∈（-π，2π），所以2α-β=-■或■或■.

至此，算是解題完成了嗎？最后還需要進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，再次研讀條件，可得出α，β被唯一確定，那么它的值也是唯一的，從而需對(duì)α，β的取值范圍進(jìn)一步探究.

因?yàn)閠anα=■，tanβ=-■，且α，β∈（0，π），所以α∈0，■，β∈■，π，所以2α-β∈（-π，0），所以2α-β=-■.

好的審題習(xí)慣是正確解題的開端，高中數(shù)學(xué)問題都較為復(fù)雜，條件眾多，卻無直接聯(lián)系，有時(shí)還不乏多個(gè)隱含條件的存在，學(xué)生在面對(duì)這么錯(cuò)綜復(fù)雜的條件關(guān)系時(shí)，首先需踢開粗心的“絆腳石”，并完成多項(xiàng)化歸工作，充分挖掘題設(shè)中的隱含條件，將其轉(zhuǎn)化為顯性條件，并牢牢把握題目中的關(guān)鍵元素，有效溝通題目的條件與結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問題，從而有的放矢地解答.

2. 解題思想是掌握解題方法的核心

波利亞在《怎樣解題》一書中曾說到：“學(xué)東西的最佳途徑就是親自發(fā)現(xiàn)它”. 這就充分說明了解題方法的掌握需要學(xué)生親自參與到探究的過程中去，完成對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)思維的優(yōu)秀品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題的能力. 學(xué)生解題能力的提升并不是依靠無盡的習(xí)題訓(xùn)練得以實(shí)現(xiàn)的，而應(yīng)有意識(shí)地探究解題的思路，提高解題質(zhì)量.因此，在解題教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生思考以下幾點(diǎn)：一是思考解題的通法，二是思考如何巧解，三是思考最優(yōu)解法.

例2：已知△ABC中，有AB=2，AC=■BC，那么S△ABC的最大值是______.

學(xué)生充分審視條件與結(jié)論后，生成以下解法.

解1：設(shè)BC=x，那么AC=■x，則有S△ABC=■AB·BC·sinB=x■.

據(jù)余弦定理，可得cosB=■=■=■，代入以上式子可得S△ABC=x■=■. 據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得■x+x>2，■x-x<2，可得2■-2

此解法為一般解法，大部分學(xué)生都可以想到，設(shè)邊BC的長為變量，并以此建構(gòu)三角形面積的函數(shù). 不過，本題中既然可以邊為變量進(jìn)行探究，那么設(shè)角為變量進(jìn)行探究是否可行呢？

解2：設(shè)BC=x，那么AC=■x，據(jù)余弦定理，可得4=3x2-2■x2cosC，則有x2=■，從而有S△ABC=■AC·BC·sinC=■，C∈（0，π）. 然后通過三角函數(shù)的有界性或求導(dǎo)得出結(jié)論. 此題既然可以從數(shù)的角度進(jìn)行探究，那么何不再嘗試一下從形的角度著手解決.

解3：如圖1所示，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸創(chuàng)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C（x，y）（y≠0）. 因?yàn)锳B=2，AC=■BC，所以A（-1，0），B（1，0），■=■■，即（x-3）2+y2=8（y≠0），點(diǎn)C的軌跡為一個(gè)圓（除去與x軸交點(diǎn)）. 本題將求面積最大值成功轉(zhuǎn)換為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值，從而直擊問題的內(nèi)核，將一個(gè)較為復(fù)雜的三角問題消化殆盡，累積數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題策略.