“創新?運算素養”視角下一道初三數學題的深入探究

馬向玲

摘要：二次函數壓軸題是歷年中考的熱點與難點，其中動點與幾何圖形結合的最值問題?存在性問題，知識覆蓋面廣，綜合性強，構思精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年中考的熱點。最值問題解決策略是建立函數模型，根據自變量范圍求解最值;存在性問題解決的一般思路：假設存在→推理論證→得出結論，解決此類問題策略是化動為靜，化大為小，逐一解決的過程。

關鍵詞：二次函數? 最值問題? 存在性問題

函數是中學數學中相當重要的一部分內容，其中求函數的最值問題和存在性問題是一個重點，但由于函數形式的多樣性和復雜性，如何求解函數的存在性問題又是中學生學習的一個難點。因此關于此項內容的研究一直就是本學科的一個重點內容。

《義務教育數學課程標準（2011）版》提出10個數學核心素養，包括符號意識，數感，幾何直觀，運算能力，推理能力，數據分析觀念，空間觀念，模型思想，應用意識和創新意識。在數學教學中，一題多解，變式訓練都是培養學生創新素養的方式。本文著重討論一個典型的二次函數最值和存在性問題，通過變式訓練?邏輯歸納和靈活運算，培養學生的創新?運算素養，達到綜合提升學生的數學學科素養的目標。

一?中考解讀

二次函數是中考必考內容，難度高，綜合性強，既可以與代數知識相結合，又可以與幾何知識相結合，與幾何相關的二次函數最值和存在性問題更是重中之重，該類存在性問題主要有線段存在性?面積存在性?特殊三角形存在性?相似三角形存在性?特殊四邊形存在性和角的存在性等問題，在這里精選典型例題有選擇地針對某些方面進行深入探究。

二?典例分析

題目：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（4，0），B（-1，0）兩點與y軸交于點C，動點P在拋物線上.①求拋物線的解析式;②若點P是第一象限拋物線上一動點，過P作X軸的垂線，垂足為點E，交直線AC于點F，當線段PF有最大值時，求點P的坐標，并求出線段PF的最大值。③是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在，說明理由.

分析如下：①待定系數法求解析式。將已知點A（4，0），B（-1，0）坐標帶入拋物線y=-x²+bx+c，得到關于b，c的二元一次方程組，解方程組得到b，c的值，從而得到拋物線解析式y=-x²+3x+4;②由（1）得點C（0，4），再由點A（4，0），待定系數法求得直線AC解析式，根據拋物線解析式y=-x²+3x+4，設點P（x，-x²+3x+4），，點F（x，-x+4），根據題意PF=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）² +4（0≤x≤4），當x=2時，PF最大值=4，則P（2，6）

挖掘變式1：當點P是拋物線上任意一點時，過P作X軸的垂線，垂足為點E，交直線AC于點F，當線段PF有最大值時，求點P的坐標，并求出線段PF的最值？

分類討論：設點P（x，-x²+3x+4），，點F（x，-x+4）;當點P在點F上方時，PF=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）² +4（0≤x≤4）;當x=2時，PF最大值=4;當點P在點F下方時，PF=（-x+4）-（-x²+3x+4）=x²-4x=（x-2）² -4;當x=2時，PF最小值=-4，挖掘變式2：對稱軸上一動點P到點C，B的距離之和最短。求點P的坐標？（最短路徑解決）（3）存在.

方法一：第一種情況，當以點C為直角頂點時，過點C作CP₁垂直AC，交拋物線于點P_1.過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，∵∠ACP₁=90⁰，∴∠MCP+∠ACO=90⁰，∵∠ACO+∠OAC=90⁰ ，∴∠MCP₁=∠OAC，∵OA=OC=4，∴∠MCP₁=∠OAC=45⁰，∴∠MCP₁=∠MP₁C，MC=MP₁，設P（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，解得m₁=0（舍去），m₂=2，∴m=2，此時-m²+3m+4=6，即p₁的坐標是（2，6）

第二種情況，當點A為直角頂點時，過點A作AP₂⊥AC交拋物線于點p_2，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F，則P₂N平行x軸.∵∠CAO=45^0，∴∠OAP₂=45^.，AO=OF，∴P₂N=NF，設P₂（n，-n²+3n+4），

則-n+4=-（-n²+3n+4），解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），∴n=-2，此時-n²+3n+4=-6，即P₂的坐標是（-2，-6），綜上所述：P的坐標是（2，6）或（-2，-6）此方法用分類討論的數學思想，通過作垂線，借助已知條件，構造等腰三角形，利用等腰三角形兩邊相等特質建立方程模型解決問題。這是學生常用的方法，在這里對學生思路的啟發是重點。

方法二：直線AC解析式：y=-x+4，∵AC為直角三角形的直角邊，則設另一條直角邊PC為：y=x+k，過點C（0，4）;即直線PC：y=x+4，又點P既在直線AC上，又在拋物線上聯立方程組：，解得x=0（舍去）， x=2即p（2，6），同理直線PA：y=x-4與拋物線解析式聯立方程組，求解得P（-2，-6），綜上所述：P的坐標是（2，6）或（-2，-6），此方法在明確一次函數和二次函數與方程的關系的基礎上，建立方程組模型解決問題。該方法思路簡單，直接明了，重在計算。

挖掘變式3：拋物線上是否存在點P，滿足三角形PCA是直角三角形？存在，求點P坐標;不存在，請說明理由。

挖掘變式4：拋物線上是否存在點P，滿足三角形PCA是等腰三角形？存在，求點P坐標;不存在，請說明理由。

三?思考總結

通過對這道二次函數重點題型的最值和存在性問題的深入剖析，充分挖掘，歸納方法：二次函數最值問題解決方法是可以建立二次函數模型，根據自變量的取值范圍輕松求解;二次函數存在性問題解決的一般思路是“假設存在→推理論證→得出結論”，解決此類問題策略是化動為靜，化大為小，逐一解決的過程。

通過對這道二次函數重點題型的最值和存在性問題的一步步探索，使學生親身經歷探索知識和函數建模的思維過程。通過數形結合?分類討論思想地洗禮，使學生解題的思維靈活性與深刻性得到深刻的鍛煉，使學生的數學創新素養與運算素養得到無形的提升。

二次函數是初中數學的重要內容，也是初高中數學知識銜接的重要內容，二次函數已經成為中考命題的重頭戲。尤其是這些以二次函數為背景的動點最值問題?存在性問題，它融合了一次函數?平面幾何等知識點，綜合性較強，區分度高，受到命題組的一致青睞。因此通過典例訓練，能夠培養學生的數學能力，提高學生數學成績，提升學生創新素養和運算素養，提升學生整體數學學科核心素養。

參考文獻：

（1）王真.二次函數壓軸題解題策略.中考數學試題研究.[J]，2018（02）

（2）李遠翠，潘亦寧，李玥.二次函數動點存在性問題的破解策略[J].中學數學教學參考，2016（1）