數學單元教學中學材再構建的途徑

羌達勛

摘要：指向核心素養的數學單元教學，摒棄了基于知識點的教學方式，倡導大觀念、大主題、大單元統領下的教學內容重組，是課堂教學的應然追求。基于“學材再建構”理論，以知識邏輯結構、核心數學概念、認知方法體系、數學思想方法組織學材建構單元，為單元教學設計提供了有效路徑。

關鍵詞：單元教學設計;學材再建構;教學設計

黨的十九大明確提出：“要全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發展素質教育，推進教育公平，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人。”育人的總目標落實到學科上，即為培養學生的學科核心素養。指向核心素養的單元教學，摒棄了基于知識點的教學方式，倡導大觀念、大主題、大單元統領下的學材再建構，這既是學科核心素養落地的自然需求，也是課堂教學的應然追求。

一、數學單元教學的內涵與特征

數學單元教學是指基于一定的目標與主題，以教材為基礎，從數學內容的整體性、學生學習的整體性和學生發展的整體性出發，對內在關聯性強、共同特征多的數學內容進行整合和重組，以單元為單位進行整體策劃和整體設計，以實現整體大于局部之和的教學效果。

數學單元教學要求教師基于學科素養，以教材為基礎，從知識的整體和結構入手，用大觀念統領全局，用系統論的方法對教材中具有某種內在關聯性的內容進行分析、重組、整合，圍繞大主題，通過真實情境與任務介入，設計、組織、開展大單元教學。數學單元教學的特征為大觀念、大主題、大單元。所謂大觀念就是改變以往教學目標的“平均用力”，以突出的、具有統領作用的數學觀念為整個單元教學的達成目標，指導教學內容劃定與整合;所謂大主題就是改變以往教學課時的“相對孤立”，以鮮明的主題背景為單元教學的主線，主導教學各環節的開展;所謂大單元就是從發展數學核心素養的視角，對相關教材內容進行整合、重組、優化，以突出內容主線以及知識間的關聯性，形成相對獨立的數學整體教學內容[1]。

指向數學核心素養的單元教學設計既能微觀聚焦于具體模塊知識的價值與功能，又能以全局大視野統整數學知識、觀念與過程，實現課堂教學與學科素養發展的對接。

二、“學材再建構”理論對數學教學的要求

著名特級教師、“自學、議論、引導”教學法創始人、南通市啟秀中學數學老師李庾南提出的“學材再建構”理論對于指導開展數學單元教學具有現實意義。“學材再建構”是從知識的整體性和系統性的視角對數學學材進行整合、重組而進行的單元教學的建構[2]。其中學材指學習材料和學習資源，具體為教科書、教輔資料或與數學學習相關的一切信息資源，包括學生學習數學的基本經驗積累和學習體驗。“學材再建構”要求數學教學不能“照本宣科”，必須以課程標準為基準，以教科書為參照，以教學對象為依據，以學生最大發展為旨歸，重新建構學材，源于教材，高于教材[3]。

1.??? 源于教材

教材為教師提供了許多素材，在教學設計中要利用好教材。源于教材不是“教教材”，而是“用教材教”。“教教材”突顯的是學為教服務，往往只是照本宣科，教師被動地教，學生也被動地學;“用教材教”突顯的是教為學服務，教師根據學情創造性的對教材內容“消枝強干”，優化教學設計，提高教學目標的達成度。如“函數的單調性”一節教學中，單調性概念生成過程及概念是“強干”，有利于學生對單調性概念的深刻理解。單調性的證明可以適度“消枝”，因為在以后的學習過程中，通過冪指對等具體函數的學習，這一技能還可以得到加強。

教師要充分挖掘教材中的素材，尋找學生熟悉的生活情景作為切入點進行教學，使現實生活與數學內容更貼近，從而培養學生的學習能力。源于教材而不拘泥于教材是進行“學材再建構”的前提條件。

2.??? 異于教材

教材是根據課程標準編寫的供教學使用的主要資源。無論什么版本教材的編寫，都體現了編寫者的智慧，但由于學生的差異和教師教學實施的水平與理念的不同，要想更好地提高教學效果，教師必須創造性地使用教材，而不能一成不變的照搬硬抄。

教材只是一種“文本”，它的容量和表現力是有限的，在教學過程中所需的素材不一定能在教材中體現出來，需要教師認真研讀教材，在教學設計中適當地進行補充和調整。

異于教材不是挖空心思改編教材，替換內容甚至舍棄教材，而是從教材中更多地挖掘編寫者所要表達的含義。異于教材而不偏離于教材是進行“學材再建構”的準繩。

3.??? 高于教材

一堂課的成敗，很大程度上取決于能否處理好教材中的重點、難點和疑點。教師要認真分析教材，把握教材的基本框架和基本內容，遵循知識發生發展的規律，注重新舊知識的聯系與呼應，從關注學生生命的高度，大膽對教材內容進行調整組合，創造性加工、拓展與升華，即進行學材再建構，使教學內容生成學生豐富多彩的內心文化世界和心智結構。

“學材再建構”要求教師不能完全按照現行教材按部就班地進行教學，而應該在充分理解吃透大綱教材的基礎上，遵循“源于教材、異于教材、高于教材”的原則。高于教材的“高”，不是無限制的拔高，拔高的標準要結合課程標準和學生的實際情況。高于教材而不夸大教材是進行“學材再建構”的基本思路。

三、數學單元教學的學材再建構

單元教學設計是教師專業化的重要體現，它要求教師站在學生的立場，基于學科素養的視角，對學生圍繞某一單元學習內容開展的完整學習過程所做的教學過程設計。單元教學設計要研讀包括教材文本、邏輯結構、內在聯系、課程要求、學生認知準備等一切與學習有關的學材，進行學材重組，建構單元教學內容。

1.??? 以知識邏輯結構組織學材建構單元

教材的編寫總是遵循知識的邏輯結構和內在聯系的。研讀教材及相關材料文本時可以結合對應課程標準的相關要求，厘清知識的邏輯結構后組織學材。一般來說，一個完整的知識單元可以分成本源型知識、概念型知識、程序型知識、默會型知識。本源型知識是指知識發生、發展的背景知識，包括問題產生的背景與現實意義;概念型知識是指奠基本單元知識基礎的最基本的概念等;程序型知識是指在知識形成過程中包括法則、方法、思路等在內的基本技能、思想、方法;默會型知識是指通過單元知識的學習而形成的只可意會不可言傳的數學素養。“默會知識”是由匈牙利裔英國哲學家波蘭尼在1958年首先在其名著《個體知識》中提出的。它是相對于顯性知識而言的，是一種只可意會不可言傳的知識，是一種經常使用卻又不能通過語言文字符號予以清晰表達或直接傳遞的知識。依據以上四種知識類型組織學材，對應的課型可以為章節起始課、新授知識課、習題課、復習課。章節起始課側重挖掘新知的本源;新授知識課注重新知形成過程，即基本知識、基本技能背后的學科思維;習題課突出用基本知識結合正確的思維方式解決基本問題，并達到熟練;復習課則著力基本知識、基本問題、基本方法和基本思維的綜合運用，其中章節復習課要求整體把握、厘清思維、形成學科素養。

例如，教授“平面向量”時教師可以這樣組織學材建構單元：（1）通過對力、速度、位移等已有知識的研究，了解向量概念形成的“本源”知識，認識到向量生成的必要性。（2）通過對實際問題的數學抽象，建立向量概念及其相關輔助性概念（如零向量、單位向量、向量的模等）;研究向量的表示（幾何表示、符號表示、坐標表示）;研究向量之間的關系，包括向量模的大小關系、向量的位置關系（如平行向量、共線向量、向量的夾角等）。（3）建立向量各種運算的運算法則，研究它們的運算律，并運用向量知識解決問題。（4）從學科素養的視角，整體把握向量知識體系，厘清思維、方法、思想，梳理向量的概念、運算、應用，建構知識系統，促進學生數學素養的形成。

以知識邏輯結構組織學材建構單元是在整體把握教材的基礎上，從知識邏輯結構的視角，把握知識的系統性，對知識進行重組、整合形成相對完整的教學單元。這樣，教師在教學中可以避免關注課時規劃、注重細節處理而忽視知識的整體性與系統性的情況發生，學生在學習中可以避免因知識碎片化而造成的“只見樹木不見森林”、知識不系統的現象。

從知識邏輯結構的視角研究課程，組織學材，關注知識間的內在邏輯，使得相關知識形成一個完整的知識鏈條和結構體系，有利于發展學生的數學核心素養。

2.??? 以核心數學概念組織學材建構單元

李邦和院士指出：“數學的根本是數學概念。”數學核心概念是數學知識大廈的基石，是數學思想和方法的載體，是數學教學的核心與基礎。以核心數學概念組織學材建構單元，學生在經歷概念形成、發生、發展的過程中，理解數學知識之間的聯系，更好掌握核心概念，理解核心概念。

例如，“函數的單調性”是高中數學課程的核心概念之一，函數單調性的研究是高中數學課程展開的一條主線。與函數單調性有關的內容有函數概念、函數性質、初等函數、三角函數、數列、不等量關系、導數及其應用等，它們分散在不同的章節中。教師可以依據函數單調性這一核心概念，將這些看似關聯性不夠強的內容納入大單元的視野，通過對教學內容的重組和課時規劃組織學材，建構一個跨章節知識的主題單元，即函數基本性質→初等函數單調性→三角函數單調性→數列的單調性→不等量關系→用導數研究函數單調性。其教學設計和方法如下：（1）通過數學情境建構單調性概念，并掌握證明方法（小組討論、合作學習、限時講授）;（2）初等函數與三角函數的單調性及應用（自主預學、交流展示）;（3）數列和不等量關系中單調性及應用（自主探究、合作交流、限時講授）;（4）函數單調性與導函數的關系，利用導數來研究函數的單調性（合作學習、交流展示、限時講授）;（5）函數單調性的專題復習（自主學習、合作學習、交流展示、限時講授）。

以函數的單調性為主題來進行單元教學設計，改變了學科知識點的碎片化教學，真正實現教學設計與素養目標的有效對接。學生對函數單調性的理解不斷加深、融會貫通，有利于學生對知識體系的深層建構和高階思維的養成。將自主、合作、交流、展示、探究等學習方法與單元教學設計整體化的融為一體，對于調動學生學習的主動性，提升學生的學習能力具有重要意義。

3.??? 以認知方法體系組織學材建構單元

數學教育不僅讓學生學會數學知識，更重要的是讓學生學會獲取知識的方法與能力。學生的數學學習過程往往是獲取新知→感悟理解，建構知識體系→遷移拓展，探索更新知識→反思完善，進行學習探索。

例如，在圓錐曲線的學習和研究過程中，有不少性質和結論，這些性質和結論對解析幾何學科本質的理解和數學素養的提高十分有益。為此，教師可以設置數學探究活動單元“圓錐曲線性質的探究”。單元設計如下：第一步，開題（方法指導），以一道習題（高考題）為例，給出問題拓展探究的一般方法（1課時）;第二步，選題（自主分析），讓學生從已經做過的習題、試題中選擇問題（學材），進行拓展探究（發現問題，提出問題）（2課時）;第三步，做題（合作交流），以小組為單位，交流展示、合作討論各自的“選題”成果（分析問題）（2課時）;第四步，結題（總結提升），小組展示研究成果，師生共同梳理并整理相關性質和結論，教師引導學生反思問題本質，如仿射變換、極點極線問題等（解決問題）（1課時）。以下是第一課時“一道高考題的探究”的設計。

如圖1，已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于P，Q兩點，點E為準線與x軸的交點。求證：∠PEF=∠QEF.

問題中涉及到三個獨立條件：①焦點弦PQ;②定點E（-P，0）;③∠PEF=∠QEF.教學圍繞三個獨立的條件組成命題，引發探究。

【探究圖譜】

同前“題源”設置

命題1～3三個獨立條件：①焦點弦PQ;②定點E（-P，0）;③∠PEF=∠QEF.一般化三個獨立條件：①過點的M（m，0）弦PQ;②定點N（-m，0）;③∠PNM=∠QEF.

數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容[4]。這樣的單元設計，合理選擇了學材，單元建構很好地回應了高中數學課程標準的要求。

4.??? 以數學思想方法組織學材建構單元

以數學思想方法組織學材建構單元，可以通過數學知識載體，幫助學生系統掌握數學思想方法，落實高中數學教育“幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法”的課程目標。

例如：數學運算能力是高中數學的核心素養之一，也是學習高中數學須學會的基本能力，它是指會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件，尋找合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算的能力[4]。數學運算需要懂算法，明算理。因此，設置數學運算單元教學具有現實意義。教師可以圍繞“會運算、懂算法、明算理”組織學材，建構單元（見圖3）。

這樣的單元設計教學可以在高三二輪復習時進行，幫助學生站在整個高中數學全局的高度，系統地梳理數學運算的知識體系，理解數學運算的本質，提高數學運算的素養。

四、結束語

用“學材再建構”建構單元教學是指以“學材再建構”理論為指導，以單元知識為模塊，統攬單元教學全局，按部就班且有序地開展教學設計，以達到最佳的教學成果。這一教學方法有以下優點：一是改變了“經驗式教學”的備課方式，探求主題單元設計操作的新程序;二是改變了“重細節輕整體”的教學思維，探求課堂教學減負增效新思路;三是改變了“零散、碎片”的知識結構，探求教師專業成長的新途徑;四是改變了“接受性學習”的學習模式，探求學生高階思維的新發展。

在數學教學中，要確立單元教學的理念，可以通過“學材再建構”的方法，依據核心數學概念、知識邏輯結構、認知方法體系、數學思想方法等主題重組教學內容，讓學生感悟數學的本質，積累研究經驗，形成和發展數學思維能力，進而培養學生數學核心素養。

參考文獻：

[1]?? 孫重陽，魏愛民.大觀念、大主題、大過程[J].中學化學教學參考，2018（11）.

[2]?? 李庾南，馮衛東.學材再建構在結構中教與學[J].數學通報，2018（08）.

[3]?? 施俊進.初中數學“學材再建構”初探[J].學校管理，2016（06）.

[4]?? 中華人民共和國教育部修訂.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

【責任編輯 郭振玲】

該文為江蘇省教育科學“十三五”規劃課題2016年度課題“普通高中自主課堂的個性品質與文化境界”（D/2016/02/07）、江蘇省教育科學“十三五”規劃2018年度課題“高中數學教學中‘喚醒藝術的美學建構研究”（D/2018/02/26）的階段性成果