淺析逆向思維在初中數學解題教學中的應用

孟迎佩

摘要：數學是一門非常基礎的學科，學好數學對于物理、化學等學科有非常重要的意義，這也使得數學成為一門非常復雜、邏輯性很強的學科。初中數學涵蓋的知識面很廣，平時的習題和考試過程中經常會遇到一些很難解決的問題，以正向思維無法解決的時候，就需要采用逆向思維來解決。本文是對逆向思維在初中數學解題教學中的應用進行了分析。

關鍵詞：逆向思維；初中數學；解題教學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）07-0048

根據我國新課改的要求，初中數學不能和傳統教學一樣，要著重鍛煉學生的思維方式和自主學習的技能。數學本身具有抽象性且復雜，初中數學解題涵蓋的知識點非常多，其中很多習題如果只利用常規的思維方式很難解答，這時候就需要培養學生的逆向思維，鼓勵學生從不同角度尋找解決方法，從而提升學生的數學成績。

一、逆向思維的基本含義

逆向思維是指人類對生活、工作或者是學習中事情、方法、原理進行反向思考的行為，從另外一個方向思考問題，也叫做求異思維。逆向思維在初中數學解題教學中有廣泛應用，主要應用在數學公式的逆向推導驗證，也就是我們所說的從結果往回驗證條件，這樣可以使數學解題教學更加便捷易懂。初中學生受年齡和閱歷的限制，抽象思維能力欠缺較多，且初中數學又很強調嚴謹性和邏輯性，很多教材知識點都是相同的，逆向思維在初中數學解題教學中的應用有助于學生更加高效的掌握數學解題知識，提高學生的抽象思維能力和思維的嚴謹性，對學生數學成績的提高有非常重要的意義。

二、逆向思維在初中數學解題教學中的應用

1.平方差公式中的逆向思維

平方差公式在初中數學中是一種常用的公式，這個公式形式多樣變化靈活，學生在數學題目解答過程中，很容易能認出這是平方差公式，但是按照自己常用的解題思路又行不通，很多學生在平方差公式的解題中會遇到困難，這時候可以利用逆向思維來解題，將平方差公式簡化，這樣得到最終的答案。

比如，題目是求12-22+32-42+52-…-20062+20072，假如學生一上來按照之前的解題思路來作答，一般情況下要先算出各個數字的平方值再做加減法，也就是1-4+9-16+25…+4028049。如果真的這樣計算，那隨之而來的就是龐大的計算量，這樣的計算量學生在用時和結果的精準度上都會有較大的偏差。還有些學生借助平方差公式計算，就是（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）…+20072=-3-7-11-…20072，這種方法相較于第一種簡化了一些，但是計算量仍舊很大，而且括號內的加減號也容易出現錯誤。這時候我們借助逆向思維來思考第二種解法的第二步，很容易就會發現每項都有公共因數-1，所以我們將公共因數提取出來，然后合并相關項，這樣式子就會是這樣：-1（1+2+3+…2006）+20072。這樣，題目就簡單多了。學生解題的時候習慣性的會從第一位到最后一位依次計算，這樣做對于簡單的題目還可以，但是很多時候難題就需要借助逆向思維來尋找更好的解題方法。

2.完全平方公式中的逆向思維

完全平方公式和平方公式一樣，在初中數學中是很常見的，學生遇到這類題目，以往掌握的解題思路和方法很難順利解答，這時候就需要借助完全平方公式的逆向計算，借助逆向思維對完全平方公式進行深入探究，問題就很容易解決了。

比如，題目：a、b為x2+3x+7=0的兩個根，求a2+b2的和。一看到這個題目，學生習慣性的會直接求方程式中的兩個根的數值，進而計算a2+b2的和，不過在解方程式的過程中我們發現兩個根是無理數，這就會加大計算量，增加解題難度。這時候利用逆向思維結合完全平方公式來解題：（a+b）2=a2+b2+2ab，那么a2+b2=（a+b）2-2ab，根據方程式可以輕易地計算出a+b及ab的數值，那么這個題目也就很容易的解決了。

3.證明題中的逆向思維

證明題是初中數學考試中一個很常見的類型，大題、小題都有出現根據已知的條件來證明一個結果是否成立。解題過程中我們根據題目已知條件或者是解出來的條件還是不能得到最終的答案，無法證明結論是否成立，此時需要借助逆向思維思考題目解法，從需要證明的結論入手，反向推導，這樣可能會有意外的收獲。

比如，已知兩個三角形的兩邊和一個角對應相等，求證兩個三角形是否為全等三角形。這道題考查的知識點非常明確，就是兩個三角形全等的條件，按照正常的思路我們直接根據已知條件來證明兩個三角形是否全等就可以了。但是，有一個問題我們需要注意，那就是對等的那個角是否為對等邊的夾角，這樣證明就需要分多種情況分開證明，相對麻煩。那么這時我們借助逆向思維來考慮這個題目，如果能證明對等的角不是兩條邊的夾角就能證明兩個三角形不是全等三角形。同類型的題目中，首先考查的是學生對相關定理的熟練應用，其次還考查學生對題目的理解能力。有些題目借助正常的思路來應用定理證明，不能保證答案的正確率和答題的效率。

4.數列計算中的逆向思維

數列計算是初中數學必不可少的一種題目類型，和證明題一樣涉及多個大題和小題，數列的變化多樣，對學生數學知識的掌握程度要求比較高。一般遇到這樣的題目不應采用正面解題的方式，而是采用逆向思維來解題。

比如，題目1+2+22+23+…+2n的值。對于這個類型的題目，一定不能像之前的問題那樣從正面來解題，我們必須要借助逆向思維來解題，可以將數列的值設為Z，即Z=1+2+22+23+…+2n，兩邊同時乘以2，這樣等式還是成立的，也就是2Z=2+22+23+…+2n+2n+1，然后兩邊同時減Z也就是1+2+22+23+…+2n，這樣便會得出Z=2n+1-1，這樣就很好計算了。因此，如果既有的思路無法解決當前的題目，就需要利用逆向思維來解題，復雜變簡化，從而更快的得出準確答案。

總之，初中數學解題教學中除了正向思維以外，還必須要學習逆向思維，教師及學校在數學教學過程中要重視學生逆向思維能力的鍛煉，引導學生在數學解題過程中嘗試變換思考角度，從另一個角度考慮，豐富學生解題的思路，更好地解決正向思維無法解出的數學題目，進而培養學生的思考方式，提升學生的綜合素質。

參考文獻：

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（作者單位：浙江省溫州市第二十三中學325000）