高中數學建模教學實踐探究

高玉珊 凌中華

[摘要]數學建模是高中數學學科核心素養之一.研究數學建模對培養學生的數學應用能力具有重要意義.文章結合高中數學建模案例，對高中數學建模教學設計進行探究，對如何設計高中數學建模教學活動提出一些建議.

[關鍵詞]高中數學;數學建模;線性回歸

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020） 35-0004-02

數學建模是指對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程，《普通高中數學課程標準（2017年版）》把數學建模作為六個數學學科核心素養之一，指明數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題，然而目前高中生的數學建模能力普遍較低.因此，高中數學建模課程的探究是高中數學教學的重要課題，

一、數學建模教學實踐

1.建模問題

教師首先介紹數學建模的基礎知識，結合一些貼近實際生活的簡單數學問題，向學生講解什么是數學模型，及建模的步驟.

問題：常識告訴我們，人的身高越高，體重越重，那么平均來說，身高170 cm的人比身高160 cm的人體重大多少呢？表1是2012年全國青少年身高（cm）與體重（kg）的數據.

（1）根據數據作出散點圖，討論散點圖呈現的趨勢;

（2）選用一個函數來近似描述身高與體重的關系;

（3）預測身高170 cm的人比身高160 cm的人體重大多少呢？

面對這樣一個現實問題，學生可能感到無從下手.教師可以根據解題思路，將問題分解為三個小問題，難度循序漸進，便于學生思考解答，從而激發學生的學習興趣，樹立學生的學習信心.

2.模型的建立

問題（1）和問題（2）已經給出了相對明確的解題方向，教師只要給予適當的引導，學生就容易找到問題的突破口，這兩個問題的解答就是模型的建立過程.

問題（1）中給出了13組身高與體重的對應數據，要研究的是身高和體重之間存在的關系.因此，解決問題應緊緊圍繞這兩組數據展開.對數據進行處理，設身高為x厘米，體重為y千克，將數據轉化為二元數組（xi，yi），i=1，2，…，13，于是可以用描點法在直角坐標系中作出散點圖（如圖1）.

觀察圖1可以發現，身高與體重的散點基本落在一條直線附近，我們可以推測身高和體重的數據具有正比例關系，可以用一次函數來描述，因此，設y=ax+b+ε①，其中a，b為未知的常數，ε=y- ax -b稱為殘差，表示在縱軸方向上的誤差，這就是描述身高和體重的數學模型.

3.模型的求解

線性回歸模型的求解過程是本節課的難點，需要教師引導學生分析清楚問題的本質，將實際問題轉化成學生熟知的數學問題，

設問1：要預測身高170 cm的人比身高160 cm的人體重大多少，需要求解什么呢？

設計該問題的目的是讓學生明確問題（3）實際是要將描述身高（x）和體重（y）關系的一次函數y=ax+b+ε的系數a，b確定下來.為此，需要利用二元數組（xi，yi），i=1，2，…，13來確定a，b的估計值a，b，進而給出回歸方程y=ax+b和回歸直線的概念，

設問2：過散點附近的直線有無數條直線，如何選取最佳的回歸直線呢？即如何求出a，b的估計值a，b？

此問題的設計是為了突破本節課的難點，教師可以列出解決問題的幾個不同方案，讓學生比較、討論各個方案的優劣，從而選出可行的方案，逐步引導學生探索出最小二乘法的思想.

5.模型的應用

在這個環節，可以讓學生根據模型和自己的身高，比較模型的預測體重和真實體重的誤差，并討論產生誤差的原因，

二、數學建模教學的反思

1.數學建模教學內容和過程的合理安排

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出數學課程的目標：學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗，從中可以看出，高中數學建模目的不在于追求精確的結果，而在于培養學生的數學思維能力和數學應用意識.因此，數學建模課程內容的選取應該貼近學生的學習和生活，教學過程應專注于創設情境，合理設問，引導學生將實際問題轉化為數學問題，并將求解結果應用于實際，培養學生的應用意識，而對于模型的求解，教師可以利用計算機輔助進行合理的模擬、計算等，避免課堂上進行復雜的推演、計算.

2.滲透數學史，增強課堂趣味性

高中生的數學建模能力普遍較低，數學建模過程要求學生具備模型假設能力、模型構成能力、模型求解能力、模型分析能力、模型檢驗能力等，這對高中生是一項極具挑戰的活動，因此，會有學生因畏懼困難而學習動力不足，不專心聽課，著名數學教育家弗賴登塔爾曾經這樣描述數學的表達形式：沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來，一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗，在教學過程中，教師結合所授內容，適當地引入相關的數學史，把冰冷的美麗變成火熱的發明，可以加強學生理解和掌握數學的概念、定理的本質，同時可以激發學生的好奇心和求知欲，例如，在線性回歸的教學中，可以介紹最小二乘法產生的歷史過程，及英國統計學家高爾頓（F.Galton）和他的學生皮爾遜（ K.Pearson）研究父母身高與其子女身高的遺傳問題的歷史，進而介紹“回歸”一詞的由來.

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]徐斌艷，Matthias Ludwig。中德學生數學建模能力水平的比較分析：以中國上海和德國巴登符騰堡州學生為例[J].上海教育科研，2008（8）：66-69.

[3]孫翔宇.上海市高中生數學建模能力的調查與分析[Jl.教育測量與評價，2016（6）：44-49.

（責任編輯黃桂堅）