數學逆向思維探究

姜雪飛? 鄧飛燕

摘 要：逆向思維是指在教學活動中，學生由問題的結論出發，通過分析結論，找到關鍵點，再綜合已知的條件，最終解決問題的一種方法。這種解題方法在小學數學教學中，應用得極為廣泛。可是由于思維慣性，學生對于逆向思維的積極性不高。如何培養的逆向思維，成為我們現在所要考慮的現實問題。教育來源于生活，我們是否可以從生活找到一些案例，引導學生鍛煉逆向思維能力呢？答案是肯定的。在象棋對局過程中，整個對局其實就是一種逆向思維。對局中，我們主要目的在于殺和，進攻對方的將（帥）。為了達到這一目的，我們需要在開局階段先確定一個基本的戰略，這一階段就是象棋中常說的布局。當布局完成之后，棋手們需要尋找中局的進攻方向，通過一系列的運子、兌子、棄子等，將進攻棋子運送到需要的位置，為殘局殺和做準備。這就是生活中最常見的案例之一。

關鍵詞：逆向思維 象棋對局 教育教學

中國象棋是中國古代先民們留給我們的遺產之一。它來源于古代的戰爭，是古代將軍們作戰的沙盤;它又高于戰爭，成為古代社會的一個縮影。在現代社會，象棋更是成為社會生活的一種文化符號。它早已深入人們的生活，已經成為人們生活中必不可少的娛樂。著名教育家陶行知認為：教育來源于生活。教育是生活的一部分，象棋也不例外，它對我們的教學活動影響非常大。中國首批象棋特級大師楊官璘指出：象棋是一門藝術。它利用了斗爭性和辯證法來訓練人們的思考能力。

為什么說象棋的對局是一個逆向思維的過程呢？逆向思維是由問題結論出發，通過分析與綜合，找到關鍵點，從而解決問題。在象棋對局中，棋手們的目的明確，就是進攻對方的將（帥）。棋手們可以由自己的布局出發，通過中局的運子、兌子、棄子等戰術，為殘局階段積累有利空間或優勢;最終在殘局階段殺和。這就要求教師在教學活動中，先將問題拋給學生，教師可以給學生2—3分鐘的時間進行小組討論。學生通過審題，明確問題，再由問題出發，通過小組的討論，找到問題的關鍵點。最后利用已知條件解決問題。在教學活動中，教師可以結合合作教學法來培養學生的逆向思維能力。

在現實生活中，人們解決問題時常常由題目出發，通過分析與綜合，最終解決問題。這就是正向思維。它是人們思考問題最常用的方式。不過，在生活中也有很多問題，正向思維很難解決。比如，平行線的傳遞性的證明。這個問題解決的關鍵在于先假設不平行，由不平行推斷出與已知的平行公理相矛盾，最終確定假設不成立。數學中的反證法也是這一道理。在小學階段，學生們最為頭疼的問題，大多都可以利用逆向思維方式來解決。

利用所學知識解決實際問題，這是新《課標》要求的。實際問題不容易解決，主要原因在于學生無法將知識運用到實際生活中去。買賣問題、工程問題、速度問題是小學階段最常見的三種問題。特別是工程類問題，學生計算起來往往思路不多。如果我們在教學中注意培養學生的逆向思維，在解決這一類問題時，學生一定會得心應手。

在教學中，教師可以先引導學生確定問題屬于哪一類，之后再通過逆向思維的方法解決。以工程類問題為例。工程類問題無非就是工作效率、工作時間與工作總量之間的關系。在課堂上我們先從問題入手，尋找問題所要求的是這三種數量關系中的哪一個;通過已知條件確定已知的數量;此后通過已知條件確定未知的數量，最后通過公式或變式來解決問題。這一過程中，審題確定問題類型與數量關系是基礎，求解未知數量是關鍵，解決問題是目的。其中計算是難點，也是解決問題的關鍵。

對比象棋對局，我們在教學中如何培養學生的逆向思維呢？

象棋布局階段是戰爭的預備階段。棋手雙方利用現有棋子進行排兵布陣，布置戰場，確定全局的基調。布局階段可以等同于教學的起始階段。教師將問題拋給學生小組，學習小組的成員各抒己見。經過小組成員的討論與分析，明確本節課的主要學習目的，為以后找出關鍵點做準備。這一階段是課堂教學的開始，學生需要認真審題，充分理解題意，為解決問題做準備。

一般情況下，當車馬炮全部出動以后，布局階段完成，象棋對局進入中局。中局階段，棋局重點在于調整。中局通過運子、兌子、棄子等戰術調整陣型，并將車馬炮兵（卒）運送到最有利的位置，為殘局提供空間和優勢。中局的關鍵在于解決陣型問題，發現對方陣型的缺點，并對其弱點展開進攻。對比我們的課堂教學，此時學生已經明確了問題，并收集和提煉了相關信息。這一階段，教師需要配合學生尋找問題的解決方法。在教學中，學生是課堂的主體，教師起主導作用，二者相互配合，共同完成教學。此時的教學活動進入關鍵階段，就是重難點的突破。這個時期，小組之間要找到問題解決的關鍵，確定解決方法。在明確學習目標的基礎上，學生要利用現有的知識與信息尋找解題方法。小組成員先根據題意，確定題目所考查的知識點，根據要求，尋找相關的數量，利用數學公式將數量進行串聯，制定一個基本的解題策略。當問題復雜時，可以利用線路圖的方法，這樣能使學生更快地理解問題，并收集信息。在教學活動中，教師要注意各個小組的表現，了解他們的解題思路與方法。要認真聽取學生的意見，并對學生進行鼓勵。

尋找問題解決的關鍵點是教學中最重要的階段。這個過程需要教師與學生一起完成。逆向思維的培養在這一階段也進入關鍵期。象棋對局的中局階段，目標明確，難就難在如何擴大自己的優勢，獲得更多的贏棋機會。教學也是一樣。教師在這一階段需要引導學生進行逆向思維練習。由問題出發，尋找問題解決所需要的公式或數量關系;根據題目中的已知條件，求解出數量關系中的未知部分，使問題得到解決。在課堂上，教師也可以通過對比的方法，先用正向思維解決問題，再用逆向思維求解，并讓學生說一說這兩種方法的優缺點。這樣既活躍了氣氛，又給學生的成長提供了平臺。學生能夠通過對比更好地認識和理解逆向思維。

象棋中局以后，由于棋子數量偏少，兵種不全，對局進入殘局階段。殘局階段利用中局積累的空間與優勢，利用車馬炮兵（卒）的特點，進一步壓縮對方帥或將的位置。從而，完成殺和。這一階段是最重要的。殘局階段決定象棋對局的結果，也就是合作教學的最后效果。與象棋對局一樣，此時教學活動的關鍵在于計算。不同之處在于，象棋對局在于邏輯上的計算。通過運子，壓縮對方的活動空間。數學則為加減乘除的運算。此時，教學活動接近尾聲，小組成員之間一定要各自計算，結果不一致時，進一步驗算，最終得出正確的結果。同時，小組中還要進行反思總結，這樣才能更有利于學生的進步。教師還要對問題進行總結概括。合作學習完成后，教師要給每個小組以充分的評價，肯定小組的優點，指出學生的不足。

象棋的思路可以運用到教學中來。象棋的布局、中局、殘局這三個階段，就是教學活動中，我們解決數學問題的三個基本步驟，即審題、分析、解答。審題是基礎，理解了題意才能為分析問題做準備;分析是關鍵，找出問題的關鍵點，確定計算方法是解題不可缺少的部分;解答是重點，小學階段解答就是計算，在計算過程中決不能出現錯誤。否則，一切將是竹籃打水一場空。

參考文獻：

[1] 楊官璘《奕林新編》，人民體育出版社1977年。

[2] 賈題韜《象棋指歸》，蜀蓉棋藝出版社1986年。

[3] 周二利《逆推法在小學數學教學中的運用》，《小學時代（教育研究）》2014年第3期

[4] 陶行知《中國教育改造》，人民出版社2008年。

（姜雪飛，1991年生，河南周口人，大學本科，學士學位，對中國象棋頗有心得。鄧飛燕，1996年生，湖南郴州人，2018年獲得學士學位）