淺談線段與角的類比

摘 要：類比不僅是一種從特殊到一般的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測問題答案或結論的有效方法。文章探究了關于線段和角的知識在應用（或方法）上的類比，通過類比，幫助學生更清晰地認識兩個相似體系間的內在聯系，降低問題的解決難度，構建系統的知識結構，優化知識網絡，提高學生的遷移能力，逐漸形成發散思維能力和創新意識。

關鍵詞：類比;線段;角;數學核心素養

類比的思想方法是最通俗易懂且最便于應用的數學思想方法之一，開普勒曾經說過“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在數學中是最不可忽視的”。探討類比思想方法對教學與教研都具有很高的價值，從而引起許多學者對類比思想方法的研究熱情。

在文獻中，劉建英從線段與角在定義、畫法、平分以及線段與角的計數等方面進行了類比;2015年，仇日鋒在文獻中說明了數學思想在解決線段和角問題過程中的重要作用。同年11月，趙國瑞在文獻中將線段和角進行了類比推理與計算。2016年6月，陳偉華在文獻中以“線段與角”復習課為例，從類比的角度來關注、辨析線段與角的復習課，取得了良好的教學效果。2016年7月，在文獻中，祁紅平從分類討論、計數、特殊位置、線線相交、運動等五個方面將線段與角進行了類比。

一、 線段與角的類比

（一）線段和角的計數

線段：觀察圖形：一條直線上有n個點，則這條直線上共有n（n-1）2條線段。

角：觀察圖形：如圖所示，若從點O出發的n條射線，此時平面內共有n（n-1）2個角。

（二）有圖情況下的線段與角的和差問題

線段：已知，如圖，點A，B，C在一條直線上，線段AB=60，BC=40，則線段AC=AB+BC=100。

角：已知，如圖，∠AOB=60°，∠BOC=40°，則∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°。

（三）分類討論情況下，線段與角的和差問題

線段：已知，點A，B，C在一條直線上，線段AB=60，BC=40，則線段AC=20或100。

角：已知，∠AOB=60°，∠BOC=40°，則∠AOC=20°或100°。

二、 雙中點，雙角平分線問題

線段：已知，點A，B，C在一條直線上（A在B左側），M是AC中點，N是BC中點。

（1）若線段AB=60，BC=40，求線段MN的長。

（2）若線段AB=a，BC=b（b

解：（1）∵M，N分別是AC，BC中點

∴MC=12AC，NC=12BC

①當點C在點B左側時，如圖：

MN=MC+NC=12AC+12BC=12（AC+BC）=12AB

②當點C在點B右側時，如圖：

MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC）=12AB

綜上所述，MN=12AB

當AB=60時，MN=12AB=30。

（2）由（1）知分兩種情況進行討論，類似的可以得到結論MN=12AB=12a。

角：已知，平面內，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。

（1）若∠AOB=60°，∠BOC=40°，求∠MON的度數;

（2）若∠AOB=α，∠BOC=β，（其中α+β<180°，α>β），求∠MON的度數。（用含α，β的代數式表示）

解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC

∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC

①當OC與OA在OB同側時，如圖：

∴∠MON=∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB

②當OC與OA在OB異側時，如圖：

∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12∠AOC-12∠BOC=12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB

綜上所述，∠MON=12∠AOB

當∠AOB=60°時，∠MON=12∠AOB=30°。

（2）由（1）知分兩種情況進行討論，類似的可以得到結論∠MON=12∠AOB=12α。

由此，我們得到一個結論：

線段：若點A，B，C在一條直線上，M是AC中點，N是BC中點，則MN=12AB。

角：若平面內，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則∠MON=12∠AOB。（最大角不超過180°）

有了這個結論，有些題做起來非常方便：

線段：點B是線段AC上一點，點M是線段AB的中點，點N是線段AC的中點，點P是線段AN的中點，點Q是線段AM的中點，

則MN∶PQ∶BC=??? 。

分析：因為點M是線段AB的中點，點N是線段AC的中點，所以MN=12BC;因為點P是線段AN的中點，點Q是線段AM的中點，所以PQ=12MN=14BC;所以MN∶PQ∶BC=12BC∶14BC∶BC=2∶1∶4。

角也有類似結論。

三、 結論推廣

如圖，C是線段AB上一點，D為線段BC上一點，CD=（n-1）BD，E為線段AC上一點，CE=（n-1）AE。若AB=a，求DE的長。（用含a的代數式表示）

解：分析得到DE=EC+DC=n-1nAC+n-1nBC=n-1n（AC+BC）=n-1nAB=n-1na

如圖，C是線段AB延長線上一點，D為線段BC上一點，CD=（n-1）BD，E為線段AC上一點，CE=（n-1）AE。若AB=a，求DE的長。（用含a的代數式表示）。

解：由分析得到

DE=EC-DC=n-1nAC-n-1nBC=n-1n（AC-BC）=n-1nAB=n-1na

角也有類似結論。

四、 結論與展望

文章首先對線段與角的概念、計數以及計算問題等幾方面進行了類比總結，在“雙中點”“雙角平分線”的基礎之上提出了一個更為普遍的結論，為今后在解題過程中總結經驗與結論提供了較好的基石。今后在學習過程中要學會觸類旁通，舉一反三，拓寬知識面。

《國家十二五中長期教育改革和發展規劃綱要》規定：我國教育改革應加強對人的全面發展的重視，培養更多社會需要的實用型和復合型人才，這才是衡量國家教育質量水平的重要依據。因此，努力提高學生的思維能力和科學文化素養至關重要，我們在日常教學中要自然滲透類比推理的思想方法，幫助提高學生的數學思維，提高數學核心素養，幫助學生的創造力在一次次的類比成功中得到升華。

參考文獻：

[1]劉建英.線段與角的相近性[J].數學大世界：名師導學，2013（11）：8-9.

[2]趙國瑞.用類比的方法學習線段與角[J].數學：初中生輔導，2015（3）：44-48.

[3]仇日鋒.線段與角相關問題中的數學思想應用[J].中學數學參考，2015（239）：36-37.

[4]祁紅平.線與角的類比[J].初中生數學，2016（7）：2-3.

[5]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

作者簡介：張芳，四川省成都市，成都外國語學校。