中職數學三角函數最值問題分析

劉寶坤

【摘要】數學是職業院校的專業基礎課.在工作實踐中，筆者發現三角函數的最大值問題是教學難點之一.本文結合實踐經驗，對三角函數最大值問題的研究現狀進行了分析，介紹了解決三角函數最大值問題的一些教學策略，希望為同行教學提供一些參考.

【關鍵詞】中職數學;三角函數;最值問題

一、中職數學求解三角函數最值問題教學研究

（一）求解三角函數的最值問題的前提條件

1.了解三角函數性質和圖像問題

要想快速準確地解答三角函數的最值問題，我們就必須熟練掌握常見的三角函數的性質和曲線形態，比如，對三角函數的對稱性質、周期性質、單調性質、奇偶性質、取值范圍、定義范圍等有一個準確的了解，并能夠利用函數來表達它們，體現基于圖像描述函數性質的能力.

例 已知原函數為y=cos 2x，求將圖像向左平移π4個單位，同時向上平移1個單位后的函數表達式.

解 把原函數y=cos 2x的圖像向左平行移動π4個單位以后，就需要把函數當中的x轉變成x+π4，也就是函數表達式變化為y=cos 2x+π4=-sin 2x的圖像，緊接著把曲線向上平移1個數量單位，就得到了所求函數表達式：y=-sin 2x+1.

2.熟練掌握三角函數變形的方法

如果題目當中要求取三角函數的最大值，我們所面臨的三角函數通常會是多個單一三角函數的組合相加或者相乘等，整個函數看起來相當復雜，所以我們需要學會對復雜函數進行變形，能夠將函數化簡.要掌握這種化簡方法，首先需要熟練掌握三角函數的基本變形公式，比如和差公式、倍半公式等，繼而歸納三角函數的變換方法，使求三角函數最大值問題的方法更加豐富.

（二）常用求解數學三角函數最值的方法

1.換元法

換元法是將復雜的函數問題轉化為簡單的函數問題，從而促進學生對數學問題的理解. 這種方法不僅限于三角函數的內部轉換，還可以將非三角函數問題轉換為三角函數問題.

例 三角函數為y=sin xcos x+sin x+cos x，求該函數最大值.

這道題的核心思路就是把三角函數求解最值的問題變換為二次函數的最值問題，進而使問題化簡.

例 已知α為銳角，求函數y=1sin α+33cos α的最小值.

用換元法求y的最小值，先令t=sin α，則該式轉化為y=1t+331-t2（0

f′（t）=-1t2+33t（1-t2）3，令f′（t）=0，求解得t=12∈（0，1），當0

f′（t）>0，此時函數f（t）是遞增函數.所以當t=12時，f（t）取得最小值[f（t）]min=f12=8，因此，當sin α=12，y取得最小值ymin=8.

顯然，這是一個非常有代表性的題目，對學生鍛煉數學思維敏感性和邏輯思維能力很有幫助.學生只有充分掌握三角函數的基本概念和求解方法，才能掌握換元法解決問題的思想.

2.配方法

此方法是將公式中的一些定量項轉換為一個或多個項，從而簡化數學問題.

例 已知函數y=5sin x+cos 2x，求出這個三角函數的最值.

解 因為y=5sin x+（1-2sin 2x）=-2sin 2x+5sin x+1=-2sin x-542+338.

由于-1≤sin x≤1，所以當sin x=-1，也就是x=2nπ-π2，n∈Z時，ymin=-2×8116+338=-6.

當sin x=1時，也就是x=2nπ+π2，n∈Z時，ymax=-2×116+338=4.

針對三角函數的最值問題，利用配方的方法來解答有時能夠事半功倍，在這里需要著重強調的是不要簡單地把三角函數最值和求取二次函數最值相互等價起來，要注意轉化后二次函數的值域.比如上面的例題當中，假如ymax=338，就會有等式sin x=54，就會有sin x大于1的矛盾出現，因此需要注意自變量的取值范圍.

在三角函數范圍的求解中，最常用的是配方法，因此學生應該掌握它.在職業數學課程中的二次方程式教學中，首次出現了用配方法解決問題的思想.三角函數最大值問題的求解中，也采用了配方法.因此，使用中最容易出現的問題是混淆三角函數和二次函數，教師應在教學中提醒學生注意這個問題.

3.單調性法

有一些特定的三角函數定義域比較廣，僅僅利用函數圖像是不能夠很好地解答的，這個時候，通過函數的單調性能夠方便地解答三角函數最值問題.

例 求y=sin x+2sin x（0

解 令sin x=t，則函數變為y=t+2t，考量其在區間（0，1]上的單調遞減性.

因為0

4.利用多方法綜合求解

例 求函數y=（sin x+1）（cos x+1）的值域.

分析 把題目中的函數多項式展開得到y=sin xcos x+sin x+cos x+1，此類型可以利用三角函數的有界性進行求解，因此可以設t=cos x+sin x，-2≤t≤2，再依據此思路逐步進行值域求解.

解 將y=（sin x+1）（cos x+1）展開，得y=sin xcos x+sin x+cos x+1，

設t=cos x+sin x，-2≤t≤2，則sin xcos x=t2-12.

此時y=t22+t+12=12（t+1）2，

所以y∈0，3+222.

二、中職學校學生學習三角函數的注意事項

（一）牢記三角函數概念和三角函數公式

針對三角函數最值的探究，最根本的就是要準確熟練地掌握三角函數表達式的圖像以及三角函數的一些變形公式.掌握三角函數的基本表達式和相關的變形公式是快速解答所有三角函數問題的前提條件.在對學生進行三角函數教學時，要讓學生對整個知識概念了如指掌，同時要讓學生在腦海中構建一張有關三角函數的知識網絡.如果學生能夠達到這樣的要求，那么他們在解答三角函數問題的時候，就能夠選擇適當的公式來把問題化簡.

（二）熟練掌握常規題型解題程序

在職業中學數學三角函數最大值問題的教學過程中，因為三角函數中的繁雜題目一般都是把幾個簡單函數進行組合，為了準確快速地解答問題，教師首先要理解并掌握常見的基本知識、問題類型，然后將每個常規問題類型的解決過程進行不同層次的匯總，并在教學之前對其進行理解.

三、三角函數最值問題的教學與反思

（一）培養學生的數學學習主觀能動性

由于三角函數最大值問題的探究相對比較乏味，所以需要教師通過正確的指導以培養學生對相關知識的興趣，從而使學生產生主觀能動性.教師要結合三角函數在實際工作生活中的應用，讓學生產生想要學好三角函數的動機，并積極主動地開展預習和討論三角函數問題.

（二）利用多維教學方法充實學生的數學基礎知識

結合中等職業學校數學教學的實用性，并綜合學生自身對基礎知識的掌握情況，在三角函數最大值的教學過程中，教師應采用具有獨特的職業教學特點的教學模式，利用多維教學方法，盡可能豐富學生的數學基礎知識.

（三）結合三角函數教學的實踐，不斷優化知識記憶的方法

例如，在教學過程中，教師可以使用簡單的繞口令來指導學生加強知識的記憶，如“奇變偶不變， 符號看象限”等，從而高效地引導學生深入領悟公式的推導以及應用.

（四）簡化三角函數最大值解答流程，提升三角函數最大值求解水平

教師應充分總結三角函數最大值教學過程中的經驗，不斷創新，優化三角函數解題思路.最有價值的問題解決方案是最大限度地提高學生學習知識的能力.

四、結束語

總之，在中職數學的教學中，通過多種教學方法將三角函數問題進行詳盡解答，使學生更好地掌握學習方法，是中職教師的終極教學目標.

【參考文獻】

[1]殷振華.中職數學三角函數問題研究[J].數理化解題研究：高中版，2017（10）：26-27.

[2]王定.中職數學實施數形結合教學的四個路徑[J].學周刊，2017（5）：87-89.