再談本原性問題驅(qū)動下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

【摘要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)對于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、打好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)有著非常重要的作用.“本原性問題”著重于建立數(shù)學(xué)思想和理解數(shù)學(xué)概念，用“本原性問題”驅(qū)動數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基礎(chǔ)是教師對數(shù)學(xué)概念“基本要素”或“基本構(gòu)成”的洞徹與把握.本文以復(fù)數(shù)概念的教學(xué)為例，對“本原性問題”驅(qū)動下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行了初步探討.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);本原性問題

一、“本原性問題”的提出與發(fā)展

“本原性問題”這一概念源于張蔭南、張奠宙兩位教授的文章《新概念——用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)》.[1]

對“本原性問題”概念的界定，目前主要有三種觀點：

（1）數(shù)學(xué)課堂中的“本原性問題”是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中師生互動、自然生成的原發(fā)性問題.[2]（下稱觀點1）

（2）哲學(xué)中的“本原性”是指一切事物的最初根源或構(gòu)成世界的最根本實體.把這一概念借用到數(shù)學(xué)教育中來，“本原性數(shù)學(xué)問題”（或稱為“數(shù)學(xué)的本原性問題”）就表現(xiàn)為數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)問題的“要素”或“基本構(gòu)成”.[3]（下稱觀點2）

（3）數(shù)學(xué)問題多種多樣.有些問題是波利亞式的——純粹數(shù)學(xué)問題，有明確的條件和結(jié)論，找準(zhǔn)解題策略之后依靠技巧獲得解決.還有一種問題是數(shù)學(xué)本原問題，著重數(shù)學(xué)思想，建立數(shù)學(xué)概念，構(gòu)造思想體系，形成數(shù)學(xué)思想. [4]（下稱觀點3）

這三種觀點從三種不同的角度刻畫了數(shù)學(xué)“本原性問題”，觀點1著重于課程論角度，觀點2著重于認(rèn)識論角度，觀點3則從純數(shù)學(xué)的角度闡釋了這一概念.三種觀點之間不是矛盾關(guān)系，而是互相補充，互相支持.

二、復(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵分析

中學(xué)教材中對復(fù)數(shù)的定義如下：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫作復(fù)數(shù).

對復(fù)數(shù)內(nèi)涵的理解從形態(tài)特征方面講應(yīng)當(dāng)包含以下三個方面：

（1）對實數(shù)a，b的理解

它體現(xiàn)了復(fù)數(shù)域的繼承特點.復(fù)數(shù)是在實數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)造的新數(shù)，因此復(fù)數(shù)的內(nèi)涵與實數(shù)的內(nèi)涵有共性，這個共性主要表現(xiàn)為復(fù)數(shù)可以是實數(shù)（當(dāng)b=0時）.

（2）對i的理解

它體現(xiàn)了復(fù)數(shù)域的推廣特點.復(fù)數(shù)域之所以是對實數(shù)域的推廣，主要是因為引入了新數(shù)“i”，“i”的介入使得復(fù)數(shù)產(chǎn)生了不同于實數(shù)的形式和運算上的差異.

因此，在理解復(fù)數(shù)概念時，抓住對虛數(shù)單位“i”的理解也就抓住了復(fù)數(shù)概念教學(xué)的重點和難點.

（3）對“+”的理解

復(fù)數(shù)1+i絕不是同種數(shù)量的累計，也不是距離的和，此處的“+”既有實數(shù)中多項式加法運算的過程含義，又有通過符號“+”把實數(shù)“1”和虛數(shù)“i”組合起來表達(dá)二元數(shù)“1+i”的結(jié)果含義.從語義學(xué)角度看，復(fù)數(shù)就是“復(fù)合的數(shù)”.此處如果改用其他符號，如“”來表達(dá)這種復(fù)合關(guān)系，也沒有任何問題，之所以用“+”，是因為早期數(shù)學(xué)家（邦貝利）在還沒有完全了解復(fù)數(shù)性質(zhì)的時候，主觀地認(rèn)為復(fù)數(shù)運算與實數(shù)的多項式運算是完全相同的.

三、復(fù)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計解讀

1.復(fù)數(shù)概念引入應(yīng)該尊重什么

許多研究者或教師認(rèn)為復(fù)數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)當(dāng)尊重歷史，認(rèn)為復(fù)數(shù)產(chǎn)生于解三次方程，因此，在向?qū)W生講授復(fù)數(shù)概念時應(yīng)當(dāng)以解三次方程為例，否則就是不尊重歷史.復(fù)數(shù)概念的引入固然要尊重歷史，但是更要尊重認(rèn)知科學(xué)和教育規(guī)律，還要正視不同學(xué)生群體的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異和數(shù)學(xué)能力差異，這就是為什么我們在復(fù)數(shù)概念引入上“百花齊放”的原因.離開教學(xué)對象的現(xiàn)實情況進(jìn)行教學(xué)設(shè)計必然是空中樓閣，只是看起來很美.

2.實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴充為什么不能類比整數(shù)系到有理數(shù)系

自然數(shù)是“數(shù)”出來的，分?jǐn)?shù)是“分”出來的.自然數(shù)和有理數(shù)的概念依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗是可以理解的，因此，對自然數(shù)和有理數(shù)概念的教學(xué)可以運用概念同化的方式.

無理數(shù)的概念是超經(jīng)驗的，因此不能如自然數(shù)一樣“數(shù)”出來，也不能像分?jǐn)?shù)一樣“平均分”出來.[5]因此，無理數(shù)的概念不能由有理數(shù)“同化”出來，只能采用概念形成（概念順應(yīng)）的方式來學(xué)習(xí).為了幫助學(xué)生更好地形成無理數(shù)的概念，無理數(shù)的幾何表示（邊長為1的正方形的對角線）顯然是必不可少的.因此，無理數(shù)概念雖然不能用代數(shù)方法“數(shù)”出來或“分”出來，但它可以用幾何方法“畫”出來，從而使無理數(shù)概念的學(xué)習(xí)有了好的理解平臺.

顯然，虛數(shù)概念也是超經(jīng)驗的，不可能利用實數(shù)概念“同化”虛數(shù)概念，而且虛數(shù)也不可能像無理數(shù)那樣用幾何法“畫”出來，這就構(gòu)成了虛數(shù)（復(fù)數(shù)）概念教學(xué)的一個重點.另外，復(fù)數(shù)與“整數(shù)”“有理數(shù)”“實數(shù)”有本質(zhì)上的不同，之前所學(xué)的數(shù)都是一元形式，而復(fù)數(shù)是二元形式，這種特點構(gòu)成了復(fù)數(shù)概念教學(xué)的第二個重點.

學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念時，困擾學(xué)生的有兩個問題：（1）為什么用“i”表示-1的一個平方根？（2）數(shù)的形式由一維形式如何發(fā)展到二維形式？

因此，復(fù)數(shù)概念的教學(xué)有兩個難點需要突破：（1）為什么要繼續(xù)擴充實數(shù)系（擴充的必要性是什么）？

（2）為什么把復(fù)數(shù)表述成“a+bi”的形式（擴充的合理性是什么）？

四、基于“本原性問題”驅(qū)動的復(fù)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

文獻(xiàn)2中提到復(fù)數(shù)概念教學(xué)中通過整體思維中的“悖論”為復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)提供“本原性問題”，筆者對這一說法是贊同的，因為它體現(xiàn)了文獻(xiàn)3中的理念：“每一個數(shù)學(xué)概念都有其產(chǎn)生、形成并不斷完善的過程.概念教學(xué)中，如果把教學(xué)活動設(shè)計成類似于數(shù)學(xué)家提煉概念并不斷完善數(shù)學(xué)概念的過程，可以發(fā)展學(xué)生深層次的概念理解，可以使數(shù)學(xué)教學(xué)中‘過程和結(jié)果并重.”但僅僅到這里，用“本原性問題”驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)并沒有完全達(dá)到，因為到此只解決了一個問題：為什么要繼續(xù)擴充實數(shù)集？接下來需要進(jìn)一步解釋擴充的合理性.下面的教學(xué)實錄是筆者采用中國傳統(tǒng)的“鋪墊”（過程性變式）理論獲得的.

【片段1】

師：我們知道自然數(shù)集N={0，1，2，3，…}中的數(shù)除了用于記數(shù)外，還可以進(jìn)行運算，如通常的加法和減法運算.你們能舉一些自然數(shù)加減法運算的例子嗎？

生：加法：3+5=8，5+5=10，…

減法：3-5=-2，5-5=0，…

師：我們發(fā)現(xiàn)兩個自然數(shù)相加一定是自然數(shù)，而兩個自然數(shù)相減卻不一定是自然數(shù)，這說明兩個自然數(shù)相減以后可以產(chǎn)生一些不同于自然數(shù)的新數(shù)，為了表示這些數(shù)，我們引入符號“+”“-”，從而引入新數(shù)：負(fù)整數(shù).將它和自然數(shù)合在一起，由此完成對數(shù)集N的擴充：Z={0，SymbolqB@1，SymbolqB@2，SymbolqB@3，…}.

該過程說明三個問題：

（1）數(shù)的擴充是為了滿足運算的需要（為數(shù)的擴充找到一種必然性）.文獻(xiàn)6中稱之為“進(jìn)步性”.[6]

（2）新數(shù)的產(chǎn)生通過引進(jìn)新的數(shù)學(xué)符號來完成（為解釋為什么用“±i”表示-1的平方根做鋪墊）.文獻(xiàn)6中稱之為“引新性”.

（3）新數(shù)與原來的數(shù)形成新的數(shù)集Z，保留了原來對加法和乘法運算的性質(zhì)的同時，增加了對減法運算的性質(zhì)（a，b∈ZSymbol^C@ a+b，a×b∈Z，且a-b∈Z，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的運算法則找到必然性）.文獻(xiàn)5中只談到與原運算的一致性，其實此處運算也“進(jìn)步”了.

【片段2】

師生互動：Q？R.

師：為什么要把有理數(shù)集Q進(jìn)一步擴充？

生：因為有理數(shù)開方運算的結(jié)果不一定是有理數(shù)，如2的平方根.

師：為了表示這些非有理數(shù)，教材中是如何處理的？

生：引入符號“ ”表示開平方產(chǎn)生的非有理數(shù)，如 2.

師：這種非有理數(shù)并不是剛一出現(xiàn)馬上被人接受的，所以達(dá)瘙簚芬奇把“2”這樣的數(shù)稱為“無理的數(shù)”，這就是無理數(shù)名稱的由來.

此處進(jìn)一步強化數(shù)集擴充的必要性——運算的需要，強化數(shù)集擴充的基本思路——引入符號表示新數(shù)，為學(xué)生理解用“i” 表示-1的一個平方根做進(jìn)一步鋪墊.

通過數(shù)軸表示每次所產(chǎn)生的新數(shù)的位置，當(dāng)實數(shù)充滿數(shù)軸后，把數(shù)的范圍擴展到平面就水到渠成了，難點（1）不攻自破.

師：負(fù)數(shù)不能開平方，是因為我們規(guī)定任何實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)開平方的結(jié)果不是實數(shù)，因而不能用實數(shù)表示.如何解決負(fù)數(shù)的開平方運算問題呢？

生：引入符號來表示負(fù)數(shù)的平方根.

師：我們知道若a<0，則a=（-1）（-a），由于（-a）的平方根可求，所以只要找到-1的平方根，即解方程x2=-1，即可求出任意負(fù)數(shù)的平方根.根據(jù)前面的學(xué)習(xí)我們知道，假設(shè)-1的平方根是存在的，則它一定是我們沒有見過的新數(shù)，為了表示它，我們必須引入符號.

生：但初中數(shù)學(xué)老師一直告訴我們負(fù)數(shù)沒有平方根.

師：對，正如無理數(shù)概念的產(chǎn)生一樣，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱-1的平方根為“不可思議的、虛幻的、虛構(gòu)的數(shù)”，因而數(shù)學(xué)家笛卡兒就用英文單詞“imaginary”的第一個字母來表示-1的一個平方根.

以上三個片段合起來構(gòu)成了教學(xué)中的有層次的推進(jìn)（鋪墊），這種推進(jìn)是靠有效的問題產(chǎn)生動力的，其在不斷強化兩個數(shù)學(xué)思想：（1）為什么要推廣數(shù)集產(chǎn)生新數(shù)？（完善運算的必要性）（2）新數(shù)是如何用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建的？（引入新符號表示新數(shù)的合理性）從而為解決難點（2）鋪平了道路.

結(jié) 語

“本原性問題”能夠驅(qū)動學(xué)生深刻理解并掌握數(shù)學(xué)概念，它不同于情境教學(xué)，也不同于問題解決，但它也不排斥情境教學(xué)和問題解決等教學(xué)模式，它只是強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)是對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，強調(diào)從數(shù)學(xué)概念本身的角度來設(shè)計教學(xué)，而不是從解決數(shù)學(xué)問題獲得數(shù)學(xué)技能的角度或者其他角度設(shè)計教學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

[1]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004（03）：8-10.

[2]徐文彬，楊玉東.“本原性問題”及其在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（03）：14-16.

[3]楊玉東，李傳峰.用本原性問題驅(qū)動數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以高一數(shù)學(xué)“函數(shù)單調(diào)性”為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2006（01）：1-5.

[4]張奠宙.教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（03）：1-4.

[5]張奠宙，王華，司擎天.無理數(shù)教學(xué)三人談：超經(jīng)驗數(shù)學(xué)研究之一[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（08）：封二-2.

[6]王克亮.思想與文化并重 探究與體驗并行：再上“數(shù)系的擴充”的體會與感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）：17-20.