實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的探索

[摘 要]實(shí)變函數(shù)課程是重要的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程之一，是研究近代分析論的基礎(chǔ)。該課程的理論體系完整，證明過(guò)程的構(gòu)造性和創(chuàng)新性特點(diǎn)鮮明。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的最本質(zhì)的目標(biāo)。在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)之美等展現(xiàn)給學(xué)生，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。文章通過(guò)作者在教學(xué)實(shí)踐中積累的部分教學(xué)案例，探討在實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)素養(yǎng);實(shí)變函數(shù);教學(xué)案例

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）12-0092-03

李大潛院士曾說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是提高學(xué)生的素質(zhì)”。數(shù)學(xué)素養(yǎng)指人用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)方法觀察、分析、解決問(wèn)題的能力及其傾向性，包括與數(shù)學(xué)相關(guān)的意識(shí)、行為、思維習(xí)慣、興趣、可能性、品質(zhì)等。實(shí)變函數(shù)課程作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科教育的必修課程之一，在鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面有較大的作用。該課程具有比較鮮明的特點(diǎn)即邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、概念抽象、證明過(guò)程的構(gòu)造性強(qiáng)[1]，因此學(xué)生感覺(jué)晦澀難懂。很多教師對(duì)該課程的教學(xué)方法[1-3]、在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)文化以及提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4-6]等方面進(jìn)行了研究。本文列舉了幾個(gè)實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)過(guò)程中的教學(xué)案例，嘗試將學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿到整個(gè)課程教學(xué)過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高課程教學(xué)質(zhì)量。

一、數(shù)學(xué)史的滲透——對(duì)知識(shí)點(diǎn)追根溯源

大多數(shù)的數(shù)學(xué)理論都是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，數(shù)學(xué)是一門(mén)不斷更新和發(fā)展的學(xué)科。因此，了解一門(mén)數(shù)學(xué)課程乃至一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展，對(duì)于了解該門(mén)數(shù)學(xué)課程而言是非常重要的。陳省身先生曾說(shuō)過(guò)“了解歷史的變化是了解這門(mén)科學(xué)的一個(gè)步驟”。在講授實(shí)變函數(shù)這門(mén)課程時(shí)，介紹這門(mén)課程和一些知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展過(guò)程，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維鍛煉和數(shù)學(xué)文化熏陶都是非常重要的。

案例1：重視第一節(jié)課——介紹勒貝格測(cè)度思想。實(shí)變函數(shù)是理論的中心思想，是建立一種新的積分即勒貝格積分。由于學(xué)生在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)習(xí)了黎曼積分，實(shí)變函數(shù)是在數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程之后開(kāi)課的，因此有必要在第一次實(shí)變函數(shù)課程上介紹勒貝格積分創(chuàng)立的意義，這樣有助于學(xué)生加強(qiáng)對(duì)這門(mén)課程的整體把握和理解。因此，筆者首先介紹黎曼積分的缺陷、勒貝格創(chuàng)立積分的初衷及勒貝格積分的基本思想，接著介紹建立勒貝格積分需要做的前期的鋪墊工作，然后介紹實(shí)變函數(shù)理論的章節(jié)安排。即從“縱切”由[f（x）]圍成的曲邊梯形開(kāi)始，設(shè)分割得到的第[i]段區(qū)間為[[yi-1，yi）]，向OX軸投影得到的集合為[Ei={x：yi-1≤f（x）<yi}]，任取[ηi∈[yi-1，yi）]，接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想黎曼積分的定義，因此，學(xué)生很自然就猜到勒貝格積分（曲邊梯形的面積）的計(jì)算公式[limδ→0i=1nηimEi]，這里的[mEi]可以先解釋為集合[Ei]的長(zhǎng)度。這說(shuō)明要完整建立勒貝格積分理論，首先要解決一般集合的測(cè)度（長(zhǎng)度）問(wèn)題和可測(cè)函數(shù)的定義問(wèn)題，然后才能建立積分。這正與教材[7]章節(jié)的安排相對(duì)應(yīng)，即第三章為測(cè)度理論，第四章為可測(cè)函數(shù)，第五章為積分理論，第六章為微分與不定積分。第一章介紹集合元素“個(gè)數(shù)”的類(lèi)型、集合的無(wú)窮運(yùn)算、連續(xù)函數(shù)的集合定義語(yǔ)言等，為第三章集合的測(cè)度與第四章可測(cè)函數(shù)列的極限奠定基礎(chǔ)。第二章介紹開(kāi)閉集的運(yùn)算規(guī)律，也為更好地開(kāi)展測(cè)度理論研究做鋪墊。經(jīng)過(guò)這樣的講解，學(xué)生就會(huì)對(duì)實(shí)變函數(shù)理論框架有比較清晰的整體認(rèn)識(shí)，也會(huì)對(duì)實(shí)變函數(shù)理論產(chǎn)生親近之感，從而提升授課效果。

案例2：講解勒貝格外測(cè)度的定義。在介紹勒貝格外測(cè)度定義之前，筆者先帶領(lǐng)學(xué)生思考圓面積的近似求法：可以用圓的內(nèi)接或外切正[n]邊形的面積來(lái)近似代替圓的真實(shí)面積，當(dāng)分點(diǎn)越來(lái)越多時(shí)，近似的效果越來(lái)越好，對(duì)正[n]邊形的面積求極限，恰為圓的面積計(jì)算公式。接下來(lái)，和學(xué)生一起回顧與黎曼積分相關(guān)的達(dá)布上和與達(dá)布下和以及上下積分。這些例子都是為了說(shuō)明兩個(gè)經(jīng)常用來(lái)計(jì)算面積的方法即外包法和內(nèi)填法。由外包法得到的計(jì)算公式就稱(chēng)為外測(cè)度。然后，介紹約當(dāng)外測(cè)度的定義

[（m?E）J=inf{i=1n|Ii|：E?i=1nIi且Ii為開(kāi)區(qū)間}]，但是，在約當(dāng)外測(cè)度的定義下，[[0，1]]上的有理數(shù)集合與無(wú)理數(shù)集合的外測(cè)度均為1， 而[[0，1]]的外測(cè)度也為1，這顯然是不合理的。由此，再給出勒貝格外測(cè)度的定義[（m?E）L=inf{i=1∞|Ii|：E?i=1∞Ii且Ii為開(kāi)區(qū)間}]。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的歷史積累性，也能夠體會(huì)數(shù)學(xué)思維的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性，更能很好地理解和消化勒貝格外測(cè)度的定義。在勒貝格外測(cè)度的定義下，[[0，1]]上的有理數(shù)集合的外測(cè)度為0，[[0，1]]上的無(wú)理數(shù)集合的外測(cè)度為1，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)勒貝格外測(cè)度的合理性。

案例3：講解可測(cè)函數(shù)的定義。在實(shí)變函數(shù)課程的第一節(jié)課中已經(jīng)交代了勒貝格積分的思想，學(xué)習(xí)第四章第一節(jié)時(shí)，可以先再一次簡(jiǎn)單回顧勒貝格的積分思想，引入集合[Ei={x：yi-1≤f（x）<yi}]，并說(shuō)明該集合在勒貝格積分理論中扮演著重要的角色，勒貝格積分需要該集合可測(cè)，而該集合可測(cè)與否與函數(shù)[f（x）]的性質(zhì)密切相關(guān)，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以集合[E={x：a≤f（x）<b}]（[a，b]為實(shí)數(shù)）可測(cè)來(lái)定義函數(shù)[f（x）]的可測(cè)性，接下來(lái)再進(jìn)一步思考（[f（x）]為有限實(shí)數(shù)）

[E={x：a≤f（x）<b}={x： ?f（x）≥a}-{x：f（x）≥b}]

因此，集合[E={x：a≤f（x）<b}]的可測(cè)性就轉(zhuǎn)化為集合[{x ： f（x）≥a}]的可測(cè)性。這正是教材對(duì)可測(cè)函數(shù)的定義方式，因此可以自然地引出可測(cè)函數(shù)的定義以及等價(jià)刻畫(huà)。這就使得可測(cè)函數(shù)的定義不突兀，與學(xué)生的思維非常接近，便于學(xué)生接受和記憶。

二、數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)——重視講解課程的理論框架和展開(kāi)方式

案例4：教材[7]的第五章，由非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義。因此筆者在講授第五章時(shí)，先讓學(xué)生對(duì)教材逐步展開(kāi)的方式有所了解。由于任何一個(gè)可測(cè)函數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)之差（正部與負(fù)部），即[f=f+-f-（非負(fù)可測(cè)函數(shù)之差）]，同時(shí)，“任何一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)都可以寫(xiě)成非負(fù)的單調(diào)遞增的簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限”，因此我們可以先定義非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分。這正是這一章積分定義的展開(kāi)方式。

筆者在具體的講解過(guò)程中，由勒貝格“縱切”的思想引導(dǎo)學(xué)生給出非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的定義。在介紹非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分之前，筆者讓學(xué)生根據(jù)“任何一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)都可以寫(xiě)成非負(fù)的單調(diào)遞增的簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限”這一結(jié)論，嘗試著給出非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分，并提示“任何一個(gè)可測(cè)函數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)之差”，讓學(xué)生自己給出一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義。在講解各類(lèi)函數(shù)的積分性質(zhì)時(shí)，也是逐步遞進(jìn)展開(kāi)的。筆者這樣由淺入深，由易到難，由已知到未知，層層展開(kāi)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)有奔頭也有解決問(wèn)題的信心，對(duì)其整體把握積分的思想、定義和性質(zhì)非常有好處。這樣的教學(xué)過(guò)程，不僅能讓學(xué)生理解教材的框架安排，也能引導(dǎo)學(xué)生積極思考，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力——對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行拓展

實(shí)變函數(shù)課程中的很多知識(shí)如集合論、數(shù)學(xué)分析、概率等與其他課程有所聯(lián)系，在課程教學(xué)中適當(dāng)介紹實(shí)變函數(shù)課程與其他課程的聯(lián)系，不僅可以讓學(xué)生感受到這門(mén)課程的重要性，還可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性以及數(shù)學(xué)之美。

案例5：在講解康托爾三分集的時(shí)候，借助教材[7]中的描述向?qū)W生形象地展示科赫曲線、牛頓分形、Nova分形等，把美麗的數(shù)學(xué)圖像展示在學(xué)生的面前，再由此介紹分形的維數(shù)與分形幾何。雖然分形是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造，但在醫(yī)學(xué)、土力學(xué)、地震學(xué)和技術(shù)分析中都有應(yīng)用。如果時(shí)間充裕，還可以和學(xué)生一起觀看視頻“Hunting the Hidden Dimension（尋找隱藏的維度）”，共同感受數(shù)學(xué)的魅力，這樣可以拓寬學(xué)生的視野，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛(ài)之情。信息時(shí)代的發(fā)展日新月異，要讓學(xué)生體會(huì)到自我完善和認(rèn)真學(xué)習(xí)的重要性。

案例6：函數(shù)列的依測(cè)度收斂是實(shí)變函數(shù)這門(mén)課程中最中心的理論之一，因此對(duì)依測(cè)度收斂的內(nèi)涵與外延的講解都非常重要。在講解依測(cè)度收斂的時(shí)候，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起回憶概率論中的隨機(jī)變量收斂，特別是依分布收斂和大數(shù)定律以及分布函數(shù)等，并列舉一些概率論中非常重要的概念和結(jié)論，因?yàn)檫@些概念和結(jié)論與測(cè)度理論、可測(cè)函數(shù)的收斂、勒貝格積分等有著重要的聯(lián)系?？梢哉f(shuō)，實(shí)變函數(shù)與概率論這兩門(mén)課程的基本概念和收斂性之間的聯(lián)系千絲萬(wàn)縷。然后進(jìn)一步向?qū)W生說(shuō)明測(cè)度論是現(xiàn)代概率論的地基，地基深房子才能蓋得高。這對(duì)于愛(ài)好概率論學(xué)科的學(xué)生以及打算以后從事與概率論相關(guān)科研和工作的學(xué)生，無(wú)疑是非常具有吸引力的。

在講解依測(cè)度收斂的定義的時(shí)候，筆者配合與比較函數(shù)列的收斂的定義，讓學(xué)生體會(huì)到，依測(cè)度收斂，不要求處處收斂，但不收斂的點(diǎn)“不能太多”，不收斂的點(diǎn)集測(cè)度要隨著n的增加趨向于零。這樣就可以很自然地帶領(lǐng)學(xué)生去思考依函數(shù)列的測(cè)度收斂與收斂到底有什么樣的關(guān)系，很自然就引出了里斯定理和勒貝格定理。邏輯自然流暢的授課，容易將學(xué)生帶入課堂，提高授課效率。

四、數(shù)學(xué)家的風(fēng)采——進(jìn)一步加大數(shù)學(xué)文化教育力度

本門(mén)課程涉及眾多數(shù)學(xué)家如康托爾、勒貝格、博雷爾、 卡拉西奧多里、富比尼等，這些數(shù)學(xué)家的品格與他們?nèi)〉玫某删鸵粯映錾Ｒ虼?，在課堂上適當(dāng)介紹一些數(shù)學(xué)家的生平與軼事，可以讓學(xué)生感受到他們對(duì)數(shù)學(xué)乃至真理認(rèn)真探索的態(tài)度和高貴的品格，從心里敬佩與仰慕這些數(shù)學(xué)家，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探索產(chǎn)生熱情和向往之心，這樣可對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯和人格培養(yǎng)起到潛移默化的作用。下面就以cantor和勒貝格為例。

案例7： 集合論是實(shí)變函數(shù)的第一章。在這部分內(nèi)容的講授過(guò)程中，我們可以看到許多在我們身邊的不可思議的結(jié)論，比如有理數(shù)集具有可數(shù)基數(shù)，無(wú)理數(shù)集具有連續(xù)基數(shù)。學(xué)生在驚訝于這些結(jié)論與證明方法之余可以感受得到，集合論的創(chuàng)立者康托爾的強(qiáng)大思維。在集合論這一章的結(jié)尾處介紹康托爾的生平與主要工作以及簡(jiǎn)要介紹第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，可以讓學(xué)生感受到集合論作為數(shù)學(xué)的基石曾經(jīng)經(jīng)歷的風(fēng)雨， “半絲半縷，恒念物力維艱”，從而體會(huì)到康托爾、蔡梅羅等幾位數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)世界的貢獻(xiàn)。從數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)方面引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到正是一代代學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和孜孜不倦的追求，成就了科學(xué)飛速發(fā)展的今天，也成就了我們今天豐富的物質(zhì)生活，因此我們要心懷感恩地生活。

案例8：實(shí)變函數(shù)主要介紹的就是勒貝格積分，因此勒貝格的生平是很多學(xué)生關(guān)心的問(wèn)題。筆者在介紹勒貝格時(shí)介紹他與博雷爾之間的師生關(guān)系。由于自己的研究受到當(dāng)時(shí)某些人的排斥，因此勒貝格畢業(yè)十年后都找不到工作，最后是到巴黎大學(xué)任教。雖然勒貝格曾經(jīng)受到打擊，但是，勒貝格積分最終還是站在了歷史的舞臺(tái)上，出現(xiàn)在當(dāng)今數(shù)學(xué)與工程的多種理論中。然后告訴學(xué)生：認(rèn)真學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)這門(mén)課程不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)任務(wù)，同時(shí)也是對(duì)數(shù)學(xué)家們表達(dá)尊重和敬佩之情的一種方式。

五、結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》中對(duì)人才培養(yǎng)的要求和目標(biāo)，以及為貫徹落實(shí)黨的十八大以及十八屆三中全會(huì)、四中全會(huì)、五中全會(huì)的精神，遼寧省制定了《 遼寧省教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃》并要求教育積極適應(yīng)人才需求變化，推動(dòng)本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展，加大專(zhuān)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整力度，實(shí)現(xiàn)高校和職業(yè)學(xué)校與社會(huì)需求的密切對(duì)接，大力培養(yǎng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才，增強(qiáng)科技創(chuàng)新能力，為遼寧全面振興提供有力的人力支撐和保障。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終也是最高的目標(biāo)。李大潛先生認(rèn)為對(duì)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)文化方面的訓(xùn)練， 理想的方式應(yīng)該是結(jié)合數(shù)學(xué)課程特別是數(shù)學(xué)主干課程的教學(xué)來(lái)進(jìn)行。這樣做有助于數(shù)學(xué)文化教育的開(kāi)展，雖然表面上看僅僅是一個(gè)配角，但在密切結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)涵這一載體的講授過(guò)程中， 卻不顯山、不露水地起著畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用[8]。

實(shí)變函數(shù)課程作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，不僅是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，更是一種思維模式，對(duì)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、理解能力和創(chuàng)新能力以及培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的作風(fēng)和思維模式起著非常重要的作用。從上面的案例可以看到，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，從第一次課開(kāi)始，一直貫徹于實(shí)變函數(shù)課程的教學(xué)始終，環(huán)環(huán)相扣，使這門(mén)課程變得生動(dòng)又富有吸引力，不僅可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課程的興趣，更使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生熱情和向往之心，熱愛(ài)思考和探索，從而在潛移默化中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：龐丹丹]

[收稿時(shí)間]2020-07-28

[作者簡(jiǎn)介]王詩(shī)云（1978-），女，遼寧沈陽(yáng)人，博士，副教授，研究方向：運(yùn)籌學(xué)。