基于物元分析的問題教學策略在數學教學中的應用研究

張海燕 王懷習 胡波

【摘要】基于物元分析的問題教學策略為問題教學策略的主要內容進行了深入分析，提出了專業(yè)問題的設置、基于物元分析的問題探索、問題解答總結和研究性問題的設置等具體內容，針對數學課程以組合數學為例展開教學，為更好地提高學生的學習效果，開展教學研究，提升老師的教學能力進行了有益的嘗試與探討。

【關鍵詞】物元分析;問題教學策略;數學教學

1引言

教學策略是課堂教學的重要組成部分，可分為訓練與練習策略，演繹策略，歸納策略，探究策略，問題策略等。其中問題策略是將知識點以問題的形式呈現在學生面前，讓學生在尋求和探索解決問題的思維活動中，掌握知識、發(fā)展智力、培養(yǎng)技能，進而培養(yǎng)學生自己發(fā)現問題分析問題解決問題的素養(yǎng)，發(fā)展學生思維的自主性和創(chuàng)新性，實現從能力到人格的整體發(fā)展。很多專家學者在方面進行了研究和探討，諸如文獻[1]研究了教學策略的趨勢，從主體和客體兩方面進行教學策略研究;文獻[2]采取多元化的教學方法和手段，利用問題教學策略在高等數學中的應用，取得了較好的效果。物元分析研究物元，探討如何求解不相容問題的一種方法。它以研究促進事物轉化，與思維科學，特別是與創(chuàng)造思維學有著密切的聯系[3]。物元分析的思想融入問題教學策略中，能夠對問題教學策略實施進行有益的補充，提高教學效果，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和思維，值得探索和嘗試。基于物元分析的問題教學策略怎樣設計，如何實施，效果怎樣，才能做到有效教學，提高學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力是教學中亟待解決的問題。

2基于物元分析的問題教學策略的重要性

2.1問題教學策略在數學教學中的現狀分析

在數學教學中，教材中對知識點的問題引入大多是經典問題，對新出現的問題、專業(yè)相關的問題引入甚少，問題的更新度、與專業(yè)學科的緊密度不夠;問題的解決方法仍舊是以往的方法，一題多解體現不夠，沒有解決方法的比較和分析;問題的研究性不夠，學生學習應從問題的分析解決視角去學習，不是為了知識而學習，而是為了解決現實中亟待解決的問題而學習，新問題層出不窮，問題的深度也不同，需要以對問題研究的心態(tài)去對待學習;問題的闡釋不夠深入，沒有從多角度、多方位地解釋問題，為什么引入這個問題，闡釋到什么程度，怎樣理解，效果如何，能否讓人理解，并融入到知識點之中;問題背后的方法總結和提煉不夠，一道題應是一類題，學會了解題方法，應該學會了同類題的解題，這樣知識才能融會貫通;同類問題的設置不夠，需要全面考慮。基于上述問題，提出基于物元分析的問題教學策略，通過實施來幫助學生深入理解知識，掌握知識的應用技能，進而提高創(chuàng)新思維能力。

2.2基于物元分析的問題教學策略的特點

首先，數學教學中以問題為出發(fā)點，問題的選擇是一個特色，要求是本學科專業(yè)問題或實際生活中與時俱進的問題，引發(fā)學生學習的好奇心和主動性，提高學生學習的興趣，為后續(xù)課程的學習打好基礎;其次，問題分析和解答融入物元分析思想，通過多種置換方式分析求解問題，發(fā)現問題內部隱含的數學思想，讓學生更易看透問題的本質，善于對知識進行遷移、轉化，提高學生的分析問題、解決問題的能力。

3基于物元分析的問題教學策略

物元分析法中把事物，事物特征和事物關于特征的類別或量值稱為物元，物元可表達為多維形式，進行物元變換，解決實際問題。

基于物元分析的問題教學策略的模式：專業(yè)問題的設置→基于物元分析的問題探索→問題解答→問題討論、總結→研究性問題的設置與解決。專業(yè)問題的設置突出專業(yè)特色，為后續(xù)專業(yè)課程的學習奠定基礎。問題探索時尋根溯源，深入了解問題的根源，發(fā)現問題的本質，根據已有的知識，建立知識與問題的聯系，用物元分析方法來分析問題。問題解答中融入物元分析思想，通過物元分析的置換思想，包括置換變換、分解變換、擴大變換、縮小變換等方法，使學生熟練掌握知識的應用，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性解決問題的意識。對提出的問題進行討論，問題本身是否適合知識點，需要做什么調整，問題的分析是否全面，需要增加什么內容，通過討論，可以完善問題內容，方便提出更好的問題。問題討論總結和提煉是重要內容，一方面對知識進行深入理解，熟練掌握;另一方面，通過總結，可以提升老師的教學能力，提高學生的學習效果，為同類問題提煉奠定基礎，也可提出新問題，或者為不同類問題提供解決的思路。研究性問題的設置，更好地促進教學相長，從對已知世界的認知可以提升到對未知世界的判斷，對科研發(fā)展有促進作用。

4案例分析

基于物元分析的問題教學策略在數學教學中有著廣泛的應用。本文以組合數學為例[4]，在容斥原理、鴿巢原理、拉丁方教學中，應用物元分析的問題教學策略，對知識點的理解和應用有著重要的理論價值。

4.1基于物元分析的問題教學策略遵循的原則

在教學中，基于物元分析的問題教學策略遵循以下原則

（1）問題專業(yè)性原則：選取的問題具有專業(yè)特色，避免千篇一律，沒有重點。

（2）置換方法多樣性原則：盡可能列出講授知識點可以采取的各種置換方法，能夠深入理解知識;

（3）知識提煉原則：在對原有知識點理解的基礎上，對知識點的外延、內涵做深入剖析，衍生出更具有普遍規(guī)律的定義、定理和重要結論，以加深和擴大思維自由度，建立新的理論體系;

（4）各領域知識整合原則：將本課程的原理和其他領域的相關知識整合，以刺激思維，激發(fā)更多更好的解決方法;

（5）提問原則：運用現有的知識能夠解決問題，但并不一定只有一種方法，問題可以延伸，解決方法可以多樣，借助提問方式以激勵和創(chuàng)造思維，產生新問題，不斷尋求新的方法。

4.2基于物元分析的問題教學策略在數學教學中的應用

（1）專業(yè)問題的設置

在引入容斥原理時，依據學生的專業(yè)特點，選取與專業(yè)相關的經典問題為引例，調動學生學習的積極性，構設學習該知識點的必要性，為有效地教學開展打下良好的基礎。比如學生的專業(yè)是網絡工程，主要以數論與計算機的問題為引例，這些問題的理論知識是容斥原理，因此在講解容斥原理不會顯得突兀，順理成章地介紹知識點，達到水到渠成的效果。在講授拉丁方時，拉丁方本身就是試驗設計方法，與實際問題聯系更加緊密，因而在講授前，應該尋找專業(yè)課程的問題，用拉丁方求解適合而迫切。比如，秘密分享問題，是密碼學中的經典問題，密鑰如何分給參與者，既能保證密鑰安全，又能復原，這里用到拉丁方設計，是一個很經典的試驗設計問題，也是拉丁方方法的經典應用案例。因此專業(yè)問題的設置特點在于能夠極大地調動學生學習的主動性，帶著問題學習的方式更易理解，增強了學生的求知欲。

（2）問題探索

問題探索是一個曲折、漫長而無標準參考的過程。人們對問題的理解并不統一，對問題的探索方法也層出不窮，教育學者都在這方面做了諸多貢獻，提出了不同的見解。基于物元分析的問題探索，運用置換的思想分析問題，不失為一個有效的探索方法。

第一，置換變換思想。指用一個物元直接地替換另一個物元，即思維由一個對象跳躍到另一個對象，其機制是聯想。比如在容斥原理的問題講解時，首先問題轉化為集合，問題的求解是計數，其理論原理實質是集合的計數問題，為了使學生更易理解原理，聯系到學過的概率論知識，可將容斥原理的集合計數問題置換為概率論中集合關系的概率計算，同是先考慮集合的交并關系，然后計算時一個是計數，一個是求面積。這樣，學生自然會用學過的知識來求解新的問題了。

第二，分解變換思想。指將一問題分解成它的各個組成部分，由對各部分作細節(jié)深入探索而找到該問題的突破點。比如在鴿巢原理中，有三個任意的整數a1，a2，a3，而b1b2b3是這三個數的任一排列，得到a1-b1，a2-b2，a3-b3中至少有一個是偶數。首先，任選三個整數，發(fā)現它們中至少有兩個同奇偶，背后的原理是鴿巢原理，再對三個數作任一排列，又會發(fā)現無論作怎樣的排列，三個中至少有兩個同奇偶的結論不會地改變，因而不妨設其中一個是奇數，排列后仍舊有一個奇數與先前的數相同，這樣做減法運算自然是偶數。因此，問題需要分解開，一點一點去思考，這樣才會探索到本質，進而找到求解的方法。再比如講解鴿巢原理的推廣時，有一個計算機中的問題編碼問題，即設A=a1a2…a20是10個0和10個1組成的2進制數。B=b1b2…b20是任意的2進制數，C=c1c2…c40，則存在某個i，1≤i≤20，使得CiCi+1…Ci+19與a1a2…a20至少有10位對應相等。這個問題看起來不易看懂，更不要說怎么求解了。對待復雜的問題，必須分解成若干部分，一步一步地分析，首先，C到底是什么，從問題可以看出，其實C是由B的每個元素每做一步置換得到的，直到置換到原來的順序為止。那么，問題可以分解成先對B做置換，并把每步置換的結果寫出來，然后A與B相應位置的數做對比，如果相同，認為是對應相等，再把對應相等的數計算出來，中間蘊藏著所有置換后對應相等數的平均數問題，這里才用到了鴿巢原理的推廣原理，所以問題得以解決。

第三，擴大變換思想。指對原問題某些特征的量值加以擴大。比如從1到12的自然數中任取7個，則這7個數中，至少有兩個數，其中一個是另一個的倍數。這個問題的實質是建立鴿巢，用鴿巢原理求解，因為1-12的自然數中，有一半是奇數，有一半是偶數，而任取7個數，必定多1個數要么是奇數，要么是偶數，所以由鴿巢原理可知，這7個數中，至少有兩個數在一個巢中，而它們都除去一切2的因子后的素數相同，故一個數是另一個數的倍數。既然1到12中有這樣的結論，那么自然想到，只要是奇偶對半的整數，應該都有相同的結論，故這個問題可以擴大到一個新問題，即從1到2n的正整數中任取n+1個，則這n+1個數中，至少有兩個數，其中一個是另一個的倍數。解決方法相同。

第四，縮小變換思想。指對原事物某些特征的量值加以縮小。比如上述編碼問題，求解過程仍舊復雜，可以將問題轉化為：設A=a1a2…a4是2個0和2個1組成的2進制數。B=b1b2…b4是任意的2進制數，C=c1c2…c8，則存在某個i，1≤i≤4，使得CiCi+1…Ci+7與a1a2…a4至少有2位對應相等。當數值變小時，很容易計算，而且結論可作為推廣，所以縮小變換在這里起到了重要的作用，同時也體現了由具體到一般的思維方式。

（3）問題解答總結

問題解答力求簡潔清晰，例如上述編碼問題，用語言敘述是一種解答方法，但是如果將復雜問題分解成多部分，用矩陣表示各部分的特征，通過矩陣的計算得到結論，不失為一種簡潔可行的辦法。bi表示矩陣的第i行，aj表示矩陣的第j列，矩陣中的元素dij表示bi與aj中的二進制數的對應結果，比如bi=1，aj=0，則dij=0，如果bi=1，aj=1，則dij=1，這樣形成矩陣之后，每行數為1的個數之和即為A與B對應相等的數總數，而矩陣中元素的總數指對應的次數，這種解釋更加自然易懂。通過解答，可以總結好的學習方法，利用更多的知識進行交叉使用，會達到意想不到的效果。

（4）研究性問題的設置

研究性問題是對問題的進一步拓展，通過解決現有問題，提出更多新問題，可以幫助教學向研究方向發(fā)展，更好地促進科研。比如區(qū)組設計一章中，在學習了拉丁方的基礎知識，拉丁方和正交拉丁方的定義、性質，正交拉丁方的構造方法等基礎上，可以完成較低階的正交拉丁方構造，來解決一些問題，但是構造高階拉丁方仍是正在研究的問題，在具體問題中如何應用也是待解決的問題。

基于物元分析的問題教學策略發(fā)揮了問題教學策略的優(yōu)勢，采用問題引入來講解知識，培養(yǎng)了學生學習的興趣和欲望，同時提出了專業(yè)問題設置、基于物元分析的問題解答、研究性問題設置等，在教學上進行了深入分析和探討，為進一步提高學生的學習效果，提升老師的教學和科研能力進行了有益的探索。

參考文獻：

[1]韋義平等.教學策略研究的趨勢：主體教學策略發(fā)展研究[J].廣西師范大學學報：哲學社會科學版，2006，21（4）：105-110.

[2]李萍等.問題教學策略的理論與實踐[J].遼寧教育行政學院學報：2006，23（7）：61-62.

[3]蔡文.新學科《物元分析》[J].廣東工學院學報：1992，19（4）：105-108.

[4]盧開澄等.《組合數學》[M].清華大學出版社：2011.

作者簡介：張海燕（1977.6-），女，漢族，甘肅蘭州人，西安科技大學碩士研究生，國防科技大學電子對抗學院副教授，主要研究方向：網絡空間安全。