“幾何畫板”有效助力初中數學課堂深度教學

葉菊 鳳斌

摘要：幾何畫板的恰當使用，有助于發現知識間的邏輯關聯，有助于概念的理解、比較、記憶，有助于提高思維的嚴密性與變化性，可有效助力課堂深度教學。

關鍵詞：幾何畫板? 初中數學? 深度教學

深度教學，才能促進學生的深度學習，而學生深度學習，是促進學生數學核心素養落地的有效途徑。幾何畫板一直是一種使用普遍的教學工具，它可以讓作圖更精確，其拖拽、數據監控等功能，可以培養學生思考的連續性，便于學生在變化過程中發現圖形性質的不變性，發現其規律。幾何畫板的這些工具性作用，可以一步步將學生的思維引向深處，助力數學課堂深度教學。

一、幾何畫板使用的誤區

幾何畫板動態演示功能非常好用，但其展示的只是形態，不能代替數學推理過程。有的教師“不究其理”，只關注表象，把其當作“動畫片”放映。學生知其然，不知其所以然。這樣的課堂看起來熱熱鬧鬧、精彩紛呈，實則學生是云里霧里、不明就里。學生的思維得不到訓練，能力得不到提升，數學學習浮于表面。這樣使用幾何畫板，完全沒有發揮其優勢，是“低層次”的使用。

很多幾何題目編寫過程，教師是借助了幾何畫板進行演示，發現結論，然后再反推回去，命制題目。有的老師在講解習題時，也借助幾何畫板的功能，先發現其中的規律，再帶著這種已有的認知解決問題。這種方式看上去非常巧妙，但是學生考試時是沒有幾何畫板作為輔助工具的。如何從已知和問題出發，找到解決問題的方法呢？這種做法，導致學生跟不上教師的解題思維，解題目標不明確，解題方法突兀，解決問題的過程不順暢，難以學到解題的方法。這樣使用幾何畫板，顛倒了學生的認知順序，打亂了學生的思考邏輯，幾何畫板淪為了教師“變戲法”的工具。

二、幾何畫板助力課堂深度教學的途徑

（一）幾何畫板有助于發現知識間的邏輯關聯

深度教學需要教師關注知識間的邏輯關聯，準確把握知識內核，著眼于學生的最近發展區，創設適合深度學習的教學環節。

“線段的長短比較”這一節的內容主要有四部分：用疊合法比較線段的長短、線段的和差、線段的中點、一個基本事實（兩點之間的所有連線中線段最短）。有老師發出疑問：“線段的長短比較”只是本節課的一部分內容，為何用它作課題呢？產生這種想法，其實是他把這四部分內容割裂開理解了。如果深入理解教材，會發現這四部分內容是個有機的整體，借助幾何畫板，可揭示其中的邏輯關聯。

本節課的第一部分內容是用疊合法比較線段的長短，因為學生生活中有比較身高、比較小木棍的長短之類的實踐經驗，這部分內容對學生而言，并不深奧，只需要關注比較的規范性和表達方式即可。這部分內容是本節課的中心，后面的內容都是圍繞它展開的。利用幾何畫板畫一條線段AB，另取一動點C。動點C在線段AB上，可以探究線段長短與和差關系，明確線段的中點;動點C在直線AB外，可以助學生理解兩點之間線段最短這一基本事實。

由此可見，本節的后三部分內容均是由“線段的長短比較”延伸出來的。如果不使用幾何畫板，教師要用很多時間畫一張張靜態的圖;用幾何畫板讓點C運動，真正將線段和點置于平面內，不僅找到了知識間的邏輯關系，還展示了數學研究的一般方法，激活了學生的思維，拓展了學生思維的廣度和深度。

另外，用幾何畫板監控線段的長度，當點C運動時，每條線段的長度立即呈現出來，可迅速判斷線段長度之間的關系，讓學生的思考過程不會被細枝末節打斷、打亂，可以將注意力集中在要研究的有價值的問題上，讓整個的探究過程更加順暢、自然，為學生的深度學習提供了保障。

（二）幾何畫板有助于概念的理解、比較、記憶

數學概念學習重在理解和應用，而不是淺層次的文字記憶。多角度、立體化地認知，可以加深學生對概念的理解。

數學教學中有時會遇到一節課出現非常多的小概念的情況，這些概念的內容并不一定需要一字不漏地背誦下來，但是需要準確地理解，會辨析，善應用。例如“圓”這節課，有很多與圓相關的概念，如弧、半圓、優弧、劣弧、弦、直徑、弓形等。這些概念的介紹，會消耗很多時間，且不利于概念間的比較和記憶，若能找到它們間的聯系，就可達到事半功倍的效果。這時我們就可以利用幾何畫板，讓圓上的點動起來，通過演示點的運動過程，把這些瑣碎的概念“串”起來，不是以“知識點”，而是以“知識串”的形式出現，在概念形成的同時，進行了概念的比較和辨析，省時又高效。變化的圖形這種活潑的形式還會加深學生記憶，讓學生有構建知識體系的意識，促進了學生的深度思考。

（三）幾何畫板有助于提高思維的嚴密性與變化性

幾何畫板的使用讓課堂上數學思維的訓練更便捷，尤其體現在分類討論的思維訓練和變式教學的應用上。

分類討論體現了數學思維的嚴密性，是中學數學非常重要的思想方法，也是初中數學教學的難點。一些沒有圖形或者只有部分圖象的幾何題，由于條件的不確定性，在畫圖過程中會出現多種情況。但如果圖像畫的不夠準確，就可能出現漏解的情況。

例1 已知△ABC，∠C=90°，若AB=10，

（1）求△ABC的面積。

（2）添什么條件，可求出△ABC的面積？

對于問題（1），由于題中△ABC形狀不確定，故面積也不確定。點C的軌跡有何規律？教師可以引導學生在思考的基礎上用幾何畫板展示，然后通過拖拽改變三角形形狀，從而發現滿足條件的△ABC有無數個，點C在以AB為直徑的圓上。這樣可以讓學生更深刻地理解本題。

對于問題（2），學生一般都是添加一邊長，或是間接給出一邊長。如果添加斜邊上的高，可以嗎？學生先畫圖感知，但學生畫的圖可能不夠精確，會影響最后判斷。此時，幾何畫板精確作圖的優勢就發揮出來了。

用幾何畫板進行變式教學，更容易讓學生把握問題的本質，發現解決此類問題的共性通法，為學生的深度學習提供平臺。

例2 已知：如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O，與AB、CD分別相交于點E、F，求證：OE=OF，AE=CF，BE=DF。

分析：本題可通過證明△AEO≌△CFO得到。

為引導學生發現問題本質，可以利用幾何畫板演示EF旋轉過程。學生會發現在旋轉過程中結論仍然成立。（圖3）

動圖演示，讓學生體會EF還可能出現的位置。點E、F可能分別在邊AD和BC上，直線EF還可能與平行四邊形邊的延長線相交。

變式1：如圖4，條件都不變，若點E、F分別在邊AD、BC上，是否有相似的結論？

變式2：如圖5、6，如果將EF向兩端延長與平行四邊形ABCD兩對邊的延長線分別相交，是否有相似的結論？

用幾何畫板演示EF旋轉過程，學生的思維不會受某一種靜態情況的禁錮，更容易發現變化過程中的不變性，找到解決這一類問題的共性通法。

幾何畫板的引入，讓思維的過程可視化，探究的過程更有延續性，學生的思考過程更加完整，保障了探究式教學的流暢性，學生不斷動手動腦、學思結合，思維能力得到了深度發展。

三、使用幾何畫板的注意事項

（一）思考在前，展示在后

深度教學需要讓學生深度思考，幾何畫板是一種輔助工具，不能替代學生的思考過程，故要“滯后”使用，先給學生充分的探究、思考時間，再借助其進行驗證、總結。

比如“圓的確定”這節課，先通過回顧，讓學生明確，根據圓心和半徑可以確定一個圓，再探究圓的確定的其他方法。

探究活動一：在平面內任取一點A，經過點A你能畫幾個圓？

探究活動二：在平面內任取兩個點A、B，經過這兩個點，你能畫幾個圓？

這兩個探究活動，如果直接用幾何畫板展示，只需要2～3分鐘就能解決，但是會毫無思維含量。所以，每個探究活動，都是讓學生先思考，然后用圓規在草稿本上畫圖，再和同學交流。比如探究活動一，當學生發現過一點，可以畫無數個圓后，教師再用幾何畫板展示畫圓的過程：先確定圓心，圓心可以取除點A外的任意一點，圓心確定了，半徑就隨之確定了，因為圓心的位置有無數個，所以過點A的圓有無數個。探究活動二，在學生通過作圖，發現過兩點可以畫無數個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上以后，教師再用幾何畫板展示、驗證。

（二）恰如其分，謹防濫化

幾何畫板雖優點多多，但只是優化課堂的手段，非必需品。教學也好，解題也罷，始終應該以學生為主體，以學生已有的知識儲備、學習能力為基礎，讓新知自然生長，而不能被輔助工具牽著鼻子走。在一些合適的時機，恰當選用輔助工具，才能達到深度教學的效果。

深度學習屬于高階思維，幾何畫板可以將一些抽象的語言表達具體化地呈現出來，便于學生思考，教師使用幾何畫板時應該準確把握數學學科本質以及數學知識內核，淋漓盡致地發揮幾何畫板的優勢，優化學習環境，在數學課堂上真正實現教師深度教學，學生深度學習。

參考文獻：

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責任編輯：黃大燦