淺析高等數學中導數的概念淺析高等數學中導數的概念

周小紅

【摘要】高等數學教學指導思想是：培養學生數學思維，提高學生數學修養.高等數學課的開設不僅是為各專業提供數學工具，更重要的是培養學生用數學觀念進行定量思考的能力，這是衡量一個人文化素質的重要標志之一，也是學生長期發展所必須具備的基本能力.本文以高等數學中導數的概念教學為例，淺析高等數學教學過程中教師如何培養學生的數學思維.

【關鍵詞】高等數學;導數的概念;數學思維

恩格斯曾經說過這樣一句話：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了.”微積分對人類的作用是巨大的，它能使人們更科學地看待世界，培養人們正確的世界觀和科學的方法論.微積分的產生和發展是伴隨著生產力的發展的，自然科學因為社會實踐的發展面臨著巨大的挑戰，社會實踐的發展對物理、化學、生物提出了更高要求，而數學又是這些科目的基礎.求變速運動的瞬時速度、求曲線上某一點的切線、求最大值及最小值這類實際問題導致了微積分的產生，這些問題的核心就是函數相對于自變量的變化而變化的快慢程度.這也是導數的精髓.

高職學生正處于培養正確的價值觀、世界觀的關鍵時期，學好高等數學對學生今后的工作和生活都有重要的意義.導數的概念以極限知識為基礎，又是學習微分、不定積分、定積分的基礎，對于學生來說，學好導數是學習高等數學的基礎.

一、導數概念的講解要適合學生的情況

1.時代背景

經濟和社會的高速發展，對人才的綜合素質提出了更高的要求，同時對人才的多樣化需求也越來越高.高職院校培養的高素質技能型人才是國家建設很需要的人才，所以學校對高職學生的培養方向十分重要.

2.教育背景

高職學生生活觀念和價值觀等多種因素造成了學校對學生的培養存在一定的難度.高職一年級學生的生源復雜，有從高中通過高考考上來的學生，有從初中升上來的五年一貫制的學生，也有從初中升上來的七年一貫制的學生，還有通過自主招生入學的學生，不同生源的學生的數學基礎不盡相同，學習態度也有明顯的差異，對問題的看法也多種多樣，同時學生的興趣愛好、學習習慣、心理等非智力因素存在較大的差異.這個階段的學生想象力、觀察力和動手能力較強，思維比較活躍.所以學校應根據學生的特點對學生進行適宜的教育.

3.能力儲備

高職學生已經初步具備了一定的分析能力和邏輯思維能力，但這些能力還都很薄弱.在認知習慣方面，有些學生學習主動性差，以被動接受知識為主，學習態度和積極性較差，對學習沒有熱情，得過且過，沒有學習目標，對于比較枯燥的內容持消極對待的態度.有的學生則有明確的學習目標，積極參與教師的授課過程，有比較強的自制力.這就要求教師在對學生能力培養上持多樣化的培養方案，對于沒有學習目標的學生，教師應幫助他們形成學習動機，形成自己的學習方法.

4.知識準備

數學在高速發展的社會里起著至關重要的作用，被各個領域廣泛應用，培養學生的數學思維和素養已經是高職教育不可或缺的重要組成部分.高職學生數學成績參差不齊，學生的數學基礎也不盡相同，有一部分高中升上來的學生已經掌握極限和導數的基本概念及應用等知識，也有部分自主招生和貫通制的學生數學基礎非常薄弱.基于上述情況，教師在教學的過程中應通過交流了解情況，對不同情況的班級實施不同的教學方案，對同一班級不同的學生實施因人而異的不同深度、不同教學方法、不同角度的數學教學.在教學過程中，教師盡量通過提問、啟發、引導，讓學生主動地去探究，讓他們自己去發現和解決問題.

二、導數的概念在講解的過程中要和專業相結合

1.教學內容與學生專業結合

高等數學是我院水利與建筑、計算機、食品、畜牧與獸醫等專業必修的一門公共基礎課程，是學生學好其他專業課程的基礎，可以提高學生的邏輯思維能力、學習能力、綜合素質，并且能提高學生獨立解決實際問題的能力和創新能力.

高等數學課程是概率論與數理統計、試驗設計等數學課程和其他專業課程的基礎，高等數學在教學中的重要地位不言而喻.微積分在高等數學中占據重要地位，而導數的概念是微積分的核心，其作用可以被概括為承上啟下，其思維方式在許多專業內均有應用.

2.教學目標與學生專業結合

目標是行動的指南，教師只有明確了教學目標才能制定正確的教學策略.教學目標有三個方面，即知識與能力目標、過程與方法目標、情感態度與價值觀目標.學生通過對概念的理解和掌握，提高思維能力，培養數學素養.

3.教學方向與學生專業結合

導數的概念歷經了發現、探究和形成三個過程，這個過程中蘊含著豐富的數學思想.理解并牢固掌握數學概念是學生學好數學、提高數學能力和修養的基礎.有了對概念的深層次理解，學生在遇到一些生活中的實際問題時就能夠利用導數的理論知識和思維邏輯進行解決，提高處理問題的能力.教師明確了教學方向，確定了難點和重點，接下來的關鍵就是實現教學目標和突破教學重難點.三、導數教學中教師對學生的引導

教師引導學生掌握并應用導數的概念及導數解題思路.具體的引導方法有探究式教學、小組合作學習等.

教育家蘇霍姆林斯基曾經說過：“人的心靈深處總有一種把自己當作發現者、研究者、探索者的固有需要.”教師采用探究式教學可以挖掘學生的潛能，引導學生積極參與概念的產生、深化過程.探索發現的過程使學生對知識產生興趣，并激勵學生繼續探究，從而讓學生不斷創新，從中掌握新的學習方法，使學習過程越來越科學.學生掌握了這種學習方法，對其終生學習都有積極意義.而小組合作學習方法可以培養學生的合作精神和合作能力，這也是學生社會能力的一個重要方面.

四、導數教學中教師應注意的教學方法

教師可以采用情境教學、問題驅動教學及分組討論等教學方法來讓學生參與課堂.

根據建構主義教育理論的要求，教師為學生創設良好的學習情境，可以激發學生的學習興趣和求知欲望，調動學生學習積極性.教師根據數學概念產生的規律，創設問題產生的情境、問題想象的情境、問題解決的情境，通過這幾個情境讓學生充分感受導數概念的發現、探索和形成過程，從而培養學生利用數學的思維方式觀察問題、解決問題的能力，提高學生的數學素養，讓學生積極主動地參與教學過程，增強學生之間的協作和交流.

五、導數概念的探析過程

1.教學分析

本過程教師主要采用情境教學法、問題驅動教學法以及分組討論教學法.教師通過多媒體展示有關導數概念的圖片和相應的文字，給學生介紹牛頓和萊布尼茨是怎樣從不同角度、不同專業給出和闡明了導數的概念和本質，讓學生體會高等數學中某些概念的引出過程，激發學生的好奇心和求知欲.創設情境，導入新課，引導探究，獲取新知，講練結合，學以致用，師生討論，歸納小結，這些教學環節可有效提高教學效率.

2.具體教學過程

（1）創設情境，導入新課

教師通過多媒體展示有關導數概念的圖片和相應的文字，向學生介紹牛頓和萊布尼茨是如何從不同方面和不同領域發現和引入了導數這個概念，讓學生體會數學中某些理論的獲得過程，激發學生的好奇心和求知欲.

（2）引導探究，獲取新知

教師采用情境教學法、問題驅動教學法以及分組討論教學法進行教學.

（3）實例引入

情景1：求變速直線運動的瞬時速度.跳水運動員從跳板上跳下是變速運動，那么從運動員跳下（t=0時刻）開始計時（如圖1），求運動員在t=1秒，t=2秒……t=t0的瞬時速度.

在這段時間間隔內的運動員的平均速度是v-=ΔsΔt=s（1+Δt）-s（1）Δt，當時間間隔很小時，我們可以認為物體在Δt這一小段時間內所做的運動近似勻速運動，因此，可以用v-作為v（1） 的近似值，且Δt越小，其近似程度越高.當Δt→0時，我們把平均速度v-的極限稱為時刻t=1秒的瞬時速度，即v（1）=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s（1+Δt）-s（1）Δt.我們知道跳水運動員的跳水運動可以被看作自由落體運動，所以s（t）=12gt2，于是有limΔt→012g（1+Δt）2-12g12（1+Δt）-1=g，學生可以用同樣的方法把t=2秒……t=t0的瞬時速度算出來：

limΔt→012g（2+Δt）2-12g22Δt=2g，limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt20Δt=t0g.

情景2：設曲線C是函數f（t）=12gt2的圖像（如圖2），求曲線在點M[1，f（1）]處的切線斜率.

分析思路：求切線的斜率有兩種方式.

一是利用公式k=tan α求，但切線的傾斜角α沒有給出.

二是根據兩點公式k=y2-y1x2-x1 進行求解，但只知道一個點M[1，f（1）].

于是我們想到在點M附近曲線上取一點N，N應該距離M較近.教師引導學生連接MN形成一條割線，先求出割線斜率，根據割線斜率的求法再引出切線的斜率，設割線斜率為

k=limΔt→0ΔyΔt

=limΔt→012g（1+Δt）2-12g12（1+Δt）-1

=limΔt→012g2Δt+Δt2Δt

=limΔt→012g（2+Δt）

=g

①情景2中曲線C其實就是跳水運動員自由落體運動函數f（x）=12gt2的曲線.

②情景2中曲線C在點M[1，f（1）]處切線的斜率和情景1中跳水運動員自由落體運動在t=1秒時的瞬時速度相等，都等于g.所以瞬時速度反映到圖像上就是對應曲線的切線斜率.

以上兩個實例的共同點：當函數自變量變化Δt，因變量變化Δy，Δt→0時，Δy與Δt之比總是趨向于一個定值.數學教師通過這個現象引出導數的定義.這兩個實例涵蓋了導數概念的發現、探索和形成的過程.

3.對導數的概念進行闡述

假設一個函數y=f（x）在x0的某一鄰域內有定義，當x0取得一定增量Δx（x0+Δx在x0的領域內）時，y值也取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果Δy與Δx的比例在Δx→0時的極限值是存在的，則y=f（x）在x0處可導，我們稱這個值為函數y=f（x）在x0處的導數，記為f′（x0），從而有f′（x0）=limΔt→0ΔyΔx=limΔt→0=f（x0+Δx）-f（x0）Δx，還記為y′x=x0，dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

六、結束語

教師在導數概念的教學過程中，始終從學生的學習基礎出發，堅持和學生的專業結合，發展學生的應用意識，在課程活動中以實際事物作為中介工具，可以使學生實現對導數的實質的把握，并學會把導數的意義應用到日常生產活動中.

導數來源于生活，同時應用于生產實踐，隨著社會的發展，特別是在信息技術高速發展的時代，各行各業的發展都越來越依賴于數學.導數是高等數學的重要內容，學生若想把高等數學學好，就要先把導數的知識學好.教師應讓學生在掌握導數知識的基礎上對其中蘊含的數學思想和文化有深入的了解，讓學生知道除了學習知識，還要建立自己的思維模式，加強思維訓練，體會數學思維對人類社會的積極作用.社會發展對數學的發展和人類的思維模式提出了更高的要求.教師在教學中把數學方法展示給學生，把數學思想運用到教學中，并且在教學中注重導數知識的應用，培養學生的創造性，可以使學生體會到數學來源于生活并創造生活，數學與現實生活密不可分.

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