問題誘思：數學抽象核心素養培養的有效路徑

[摘要]文章結合幾則典例，設計一連串的問題，通過不斷誘思啟發，在反復的追問中，完成概念教學、法則教學、規律發現及方法的掌握，使學生成為數學學習的真正主人，使核心素養真正有效落地

[關鍵詞]問題誘思;數學抽象;初中數學

作者簡介：楊書合（1970-），專科學歷，中學高級教師，主要從事初中數學教學與研究工作

事物的屬性比較多，去掉或減弱其中的表層屬性，得到其本質屬性的過程即是數學抽象.數學抽象是數學核心素養的第一要素，是數學學習和思維能力發展的奠基石.數學需要抽象，經歷追根求源、去偽存真的過程，能使學生從根本上學好數學，進而形成處理問題的關鍵能力.教學中，教師可精心設計連串問題，通過不斷誘思啟發，掲示數學抽象的思想，在反復的追問中完成概念教學、法則教學、規律發現等，使學生成為數學學習的真正主人，讓核心素養真正有效落地.

情境仿真，抽象數學法則

例1如圖1，一只螞蟻在數軸上爬行，它當前的位置在數軸上的原點處，我們設定向東為正，向西為負.

（1）螞蟻先向西爬行2個單位長度

再向西爬行3個單位長度后，它在什么地方？

（2）螞蟻先向西爬行4個單位長度再向東爬行3個單位長度后，它在什么地方？

（3）螞蟻先向東爬行3個單位長度，再向西爬行2個單位長度后，它在什么地方？

（4）螞蟻先向西爬行5個單位長度第二次沒有爬行，第二次過后它在什么地方？

誘思1：依據自己的日常生活經驗，在上述四種情況下，螞蟻最終位置在數軸上的哪一點？

誘思2：根據題中的設定，向西爬行2個單位長度應記作什么？向東爬行3個單位長度應記作什么？

誘思3：根據運動情況與運動結果你能用數學算式表示上述四種情況嗎？

（1）（-2）+（-3）=-5;（2）（-4）+（+3）=1;（3）（+3）+（-2）=+1;（4）（-5）+0=-5.誘思4：根據上面的算式，兩個有理數相加，結果如何確定呢？請用自己的語言表述你的發現.

設計意圖教師通過問題教學與連串的誘思，引導學生發現有理數加法的奧秘，讓學生通過自己的歸納與總結，得到有理數加法法則

正反操作，抽象不變規律例2利用若干塊圖2所示的長方形和正方形硬紙片可以拼出一些新的長方形，并用不同的方法計算它的面積，從而得到相應的等式.計算圖3的面積可以得到等式（a+2b）（a+b）=G2+3ob+

（1）計算圖4的面積，可以得到等式

（2）用圖2所示的長方形和正方形硬紙片若干塊（每種至少用一次），拼成一個長方形，使拼出的長方形面積為2a2+7b+3b2，并把二次三項式2a2+7ab+3b2分解因式：2a2+7ab+3b2

（3）如圖5，大正方形的邊長為m小正方形的邊長為n，若用x，表示四個長方形的長和寬（x》y），觀察圖形，則下面的關系式中正確的有

誘思1：結合圖3，代數式a+2b，a+b，a2+3b+2b2分別表示什么？

誘思2：要表示圖3的面積，有哪兩種表示方法？（長方形面積法與組合法）誘思3：觀察圖4，利用長方形的面積=長寬，如何表示圖4的面積？利用長方形的面積=各部分面積的和，如何表示圖4的面積？

誘思4：要使拼出的長方形的面積為2a2+7b+3b2，則需要邊長為a的正方形多少個？邊長為b的正方形多少個？相鄰邊的長為a，b的長方形多少個？為什么？

誘思5：你拼出的面積為2a2+7ab+3b2的長方形的長與寬分別是多少？試著用它們表示長方形的面積（如圖6）誘思6：x+y，x-y與m，n分別是什么關系？（x+y=m，x-）=n

誘思7：結合圖5，大正方形的面積為多少？小正方形的面積為多少？四個長方形的面積為多少？它們之間有什么關系？

誘思8：通過以上探究，你有什么發現？試著用自己的語言歸納.

任何一個代數恒等式都可以用圖形的面積來表示;可以根據因式分解的結果找到拼后長方形的長與寬，也可以利用圖形的拼接得到多項式因式分解的結果;如果因式分解結果是兩個多項式的積，那么這兩個多項式分別是一個長方形的長與寬

設計意圖先讓學生由圖形得到代數恒等式，然后讓學生由代數恒等式畫出圖形，最后應用發現的規律解決問題，使學生在實際操作中感受，在反復追問中陷入深思，最終理解并掌握不變規律.

從特殊到一般，抽象一般結論

例3在同一平面內放置兩塊三角板（△ACD和△ABE），將其繞公共頂點A旋轉，連接BC，DE，探究Smc與S。me的比是否為定值.

（1）如圖7，當兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，SC：SAm是否為定值？如果是，求出此定值;如果不是，請說明理由.

（2）如圖8，當其中一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30角的直角三角板時，S2ce：SaAa是否為定值？如果是，請求出此定值;如果不是，請說明理由

（3）如圖9，在兩塊三角板中，當∠BAE+∠CAD=180°，AB=a，AE=bAC=m，AD=n（a，b，m，n為常數）時SABC：SAD是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值.

誘思1：欲求圖7中△ABC與△ADE兩個三角形的面積，需要作什么輔助線？（如圖10）

誘思2：在圖10中，∠CAG與∠EAD是什么關系？為什么？

誘思3：對于圖10，在Rt△ACG中如何用∠CAG的三角函數表示CG的長（即△ABC的高）？在Rt△AHD中，如何利用∠EAD的三角函數表示HD的長（即△ADE的高）？（CG=AC.sin∠CAGHD=AD·sin∠EAD）

誘思4：對于圖10，如何用含三角函數的代數式表示△ABC與△ADE的面

誘思5：在圖8中，不妨設∠ADC=30°，那么AD與AC之間存在怎樣的數量

關系？

誘思6：在圖8中，假如同圖10那樣作輔助線，∠CAG與∠EAD之間是否具有圖10的數量關系？是否可以用解答第

（1）問的方法，用三角函數表示△ABC與△ADE的高？

誘思7：如何用含三角函數的代數式表示圖8中△ABC與△AED的面積？

它們的面積比是多少？（V3）

誘思8：在圖9中，是否可以用前面的解答方法來解答？此時△ABC與△AED的面積比是多少？

誘思9：此時你有什么可喜的發現嗎？說出來與大家共享.（有一角互補的兩個三角形的面積比等于成互補兩角的夾邊乘積的比）

設計意圖其實，在探究性數學問

題中，往往有固定的解題思路，有相同或相似的結論，只要教師精心設計問題，層層誘思，就能剝去覆蓋在上面的非本質屬性，得到數學問題的本質屬性.

一點感悟

數學中的大部分問題都有“寶”可挖，作為數學教師，不能只滿足于為了完成教學任務而解題，而要對課堂教學中講解的例題、習題進行延伸挖掘，抽絲剝繭，通過歸納、總結，得到問題的本質屬性.其實學習最重要的價值在于反思抽象，即通過一個問題的解決得到個數學結論，發現一個規律，總結一種解法在實際教學中，可以增加一些條件，或減少一些條件，看能不能得到相同的結論，以驗證我們的猜想，從而抽象出有用的結論.如何培養學生的數學抽象能力與意識呢？一方面，教師要精心選題，選擇有代表性的典例，同時，課前要精心設計這些問題的誘思形式要做到步步深入，索本求源：另一方面，學生的活動要形成主動探究的態勢，學生只有主動探究，才能與教學的啟發誘導相互配合，達到最佳效果.學生發現的結論允許在教師的意料之外，要讓學生發現問題的本質在自然過程中達成，或許，這才是學生的自主學習.

參考文獻

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