讓數學抽象拾級而上

侯衛婷

[摘 ?要] 數學抽象，既是數學科學的一個特點，也是數學核心素養的一個重要組成部分.如何讓核心素養從理論走向實踐，從頂層設計到基層落地，既需要學習也需要實踐，一線數學教師尤其需要在實踐中總結如何讓普適的理論變成可操作、可重復、可檢驗的教學環節.

[關鍵詞] 數學抽象;函數的零點;實踐研究

問題源起，如何讓頂層設計扎實落地

數學核心素養與數學教育的終極目標有關，是對培養的描述：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界. 數學的眼光是指數學抽象（符號意識、數感）、直觀想象（幾何直觀、空間想象能力），保證數學的一般性;數學的思維是指邏輯推理能力、數學運算能力，保證數學的嚴謹性;數學的語言是指數學模型（模型思想）、數據分析（數據分析觀念），保證數學應用的廣泛性.

數學抽象，包括數感和符號意識，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學符號或者數學術語予以表征（概念內涵）. 數學抽象的具體內容為：獲得數學概念和規則;提出數學命題和模型;形成數學方法與思想;認識數學結構與體系.

作為新一期課改的關鍵詞，核心素養正以多種多樣的方式走進一線教師的視野. 而作為數學核心素養之一的數學抽象，對所有一線數學教師來說，既熟悉又陌生.一方面，抽象作為數學學科的一大特點，是所有數學學習者在學習過程中時時刻刻都要面對和經歷的一種體驗，它已經內化為一種數學學習的“范式”，是數學共同體的一種共識. 另一方面，數學抽象從一種思維方式到一個概念，如何解讀;從一種過程體驗到一種能力獲得，如何培養;從一個頂層設計到基層落地，如何執行. 這些問題由務虛到務實，從感性到理性，從理論到實踐，都對一線數學教師提出了挑戰.

數學抽象能力，作為培養學生核心素養的總體指向之一，當然不是一節課、一個章節的教學目標，它的培養必然是循序漸進、螺旋上升的. 但同時，這些大目標又必須內化到每一章知識、每一節內容中去，只有以知識為載體，以課堂為抓手，在每一節課中都不斷啟發、不斷滲透、不斷訓練，才能讓學生從朦朧的感覺轉向理性的思辨進而走向自覺的批判. 以下，筆者結合教學實踐，談一談自己對這些問題的思考.

課堂實錄

《蘇教版普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修1）》“2.5.1 函數的零點”教學片段.

1. 函數零點的教學

師：能把這個判斷方法推廣到所有函數嗎？

生3：如果一個函數在起點處的函數值和終點處的函數值一正一負，這個函數就有零點.

師：很好，但太口語化了，我們還需要更精準的數學語言. 主體結構已經搭建出來了，我們一起來進一步地優化它.

設計意圖：在問題1中直接提出“零點存在”定理是困難的，根據認知理論，學生在這里沒有發展新方法的需求. 這種需求只存在于從已知到未知的問題之中，也就是問題2. “零點存在”定理在高中教學中，只能是一種歸納的結果，原因有二：一是限于高中數學知識的廣度和深度，“零點存在”定理中所涉及的“連續”只能是一種感性直覺;二是教學過程是從幾個特殊的例子中直接給出了一般性結論而沒有證明過程，就高中生的學習水平而言，這樣的抽象已經足夠了.

一些思考，實踐優位仍是不二法門

一線數學教師的教育理論必須緊跟實踐. 現在是信息大爆炸的時代，各種各樣的教育理論被大量引進國內，教師在最近十年里一定被培訓過、學習過多種教育理論，而且常常是“你方唱罷我登場”，讓人目不暇接;課堂教學改革的呼聲也日漸高漲，諸如“在家看視頻，在課上答疑”“課上只允許講15分鐘”，等等. 這一切都讓教師無所適從，覺得自己不會教書了;又或者產生了一種撕裂感，“理論學習，教學改革”最終和常規課堂教學完全脫節了，一切又回到了起點. 如何處理好理論與實踐的關系？尤其是新一期課改中關于核心素養這樣的頂層設計如何在教學實踐中落地？怎么把學生關鍵能力的培養轉化成基本的教學單元？怎么理解多次課程改革中前后相繼的關系和層層遞進的培養目標的宏旨？一線數學教師應該把握好理論與實踐的關系，充分發揮自己的實踐優勢，在實踐中感悟理論，檢驗理論，最終為理論打上自己個性化理解和實踐的標簽. 鄭毓信教授在其著作《科學哲學十講》中介紹了科學哲學發展的三階段，從一開始的元理論階段，到現代的范式階段，再到后現代的理論源于實踐. 如果類比這個過程，那么我們的科學教育顯然也走到了后現代. 理論應該是實踐的服務者和總結者，教師應該用實踐來檢驗自己理論學習中的同與異.同時，教師的實踐也存在弱點，那就是從實踐中我們首先獲得的只能是經驗，而這些經驗往往是個性化的，甚至在這個班能用，另一個班就用不了;這節課（這個知識點）能用，下節課（另一個知識點）就不能用了. 這類經驗的重復積累不能讓我們得到一般化的教學能力，所以才要學習、借鑒理論，從理論中找到提升自身教學能力的法則和依據.

以數學抽象為例，難道是從本次課改我們才開始教數學抽象的嗎？顯然不是. 那么此前教師對數學抽象是怎么理解的，又是如何進行教學實踐的？對于頂層設計中的表述，教師理解嗎？認同嗎？與自己的實踐相對照，哪些做對了，哪些做錯了？哪些做多了，哪些做少了？哪些做好了，哪些做壞了？只有通過實踐，教師對于理論的認識才能深入. 史寧中教授關于數學抽象有這樣的表述：“數學抽象有兩次抽象的過程，第一次是從感性具體到理性具體，第二次是從理性具體到理性抽象.”如何在實踐中讓學生有序地感受這兩次抽象的過程？以本課為例，為了抽象出函數零點的概念，首先要讓學生在具體的方程與函數之間產生對應，所以使用學生最熟悉的二次方程與二次函數為例，讓學生解出方程的根，在圖上寫出函數與x軸的交點的橫坐標. 這種對應是顯然的，兩個具體的例子就能讓學生抽象出這么一個結論：所有二次方程的根（如果有的話）與二次函數在x軸上的交點的橫坐標是對應的. 這就是從感性具體到了理性具體. 既然二次方程與二次函數有這樣的對應關系，那么其他類型的方程與函數呢？于是再次通過具體的例子，學生又能進行一次抽象：所有方程的根（如果有的話）與相應的函數在x軸上的交點的橫坐標是對應的. 這就是從理性具體到了理性抽象.思維導圖如圖1、圖2所示.

在方程中，這個數（函數與x軸交點的橫坐標）叫作方程的根;在函數中，這個數（函數與x軸交點的橫坐標）叫作函數的零點. （新定義）這就是筆者對兩次抽象的理解，是否正確，效果如何，這些都需要在實踐中進一步地去確認. 實踐給了我們解讀理論的絕佳素材.

弗賴登塔爾認為，數學學習有這么一個漸進的過程：常識—數學知識—新常識—新數學知識……遷移到數學抽象，就與史寧中教授所說的兩次抽象有了相似之處. 他們都表達了對數學抽象方式的“抽象”——拾級而上.基于這樣的理解，我們就要去收集大量的教學資源，對資源分“級”，對每一級資源基于抽象的定位進行教學方式的設計、實踐和反思. 簡而言之，培養數學抽象是一個系統的建構過程，既要把它放在數學素養這個大系統中，也要凸顯數學抽象這個子系統的特點.