浸潤數學文化 發展核心素養

劉星滟 曹軍才

[摘 ?要] 培養學生數學核心素養是數學課堂的重要目標，在課程標準的指導下滲透在每一節課堂中. 通過長期循序漸進地學習有助于提高學生的核心競爭力，順應素質教育的發展方向. 文章以“隨機事件的概率（第一課時）”教學為例，闡述了如何在實踐中創新方法，優化教學設計，提升課堂教學效率，有效地落實數據處理、數學抽象等數學核心素養的培養目標.

[關鍵詞] 核心素養;課堂數學;隨機事件的概率

[?] 指向數學核心素養的教學內容分析[1]

“隨機事件的概率”是《人教A版普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修3）》3.1.1節第一課時的內容. 本課時前承統計內容，后啟古典概型、幾何概型，同時為大學繼續學習“概率論”打下基礎. 其主要內容是事件的分類、概率的意義、概率的統計定義及統計算法.

學生在初中已對概率有了一定的感性認識，以人教版（2014年3月版）為例，在七年級下冊、八年級下冊安排了統計內容，在九年級上冊安排了概率初步：首先介紹了隨機事件和概率的有關概念，然后用列舉法求簡單隨機事件（古典概型）的概率，最后從統計試驗結果的頻率的角度研究概率問題，通過投擲硬幣試驗加深對概率意義的理解.

我們不僅要思考，高中教材編排的意圖是什么？為何要再次進行投擲硬幣試驗？

初中階段的概率處在比較初級的水平，重點是對概率意義的理解和隨機觀念的培養. 學生在已知概率為0.5（古典概型比值法）的前提下進行投擲硬幣試驗，是為了突出用頻率估計概率的合理性及必要性，觀察頻率的規律性.

相對于初中教材內容，高中教材重在讓學生獲得一種估計概率的方法;重在進一步運用統計思想，培養其數據分析的核心素養;重在試驗探索規律的過程，培養試驗、觀察、歸納、總結等技能，滲透“特殊到一般”的數學思想，培養概念抽象的核心素養.

[?] 圍繞核心素養的教學設計思路

基于學生已有的統計知識、對生活常見概率現象的感性認識，以及在物理、生物學科中積累的挖掘隱藏數據的經驗，本節課采用“問題驅動式”的教學模式，以“問題串”來聯絡各個教學節點，以活動探究來推進各個認知要點. 通過“環節一：創設情境”“環節二：投擲硬幣”等六個環節，以達成“感知概念—生成概念—應用概念”的目的，如圖1.

在學習中培養數據處理、數學抽象等核心素養，增強學生自主探究知識的興趣.

[?] 聚焦數學核心素養的教學目標

（1）教學目標：①通過生活實例，感受隨機事件的普遍性與規律性;②通過投擲硬幣試驗，抽象、生成概率的統計定義;③通過實例，運用概率，詮釋和理解生活中的現象;④通過概念認知，提高數據分析、處理等能力.

（2）教學的重點和難點：理解概率的定義，理解概率和頻率的關系.

[?] 發展核心素養的教學過程

1. 創設情境，做好鋪墊

教學過程設計：

【情境問題】事件A：（天氣預報）明天早上7點本地降雨. 降雨可能性是7%，你會帶雨傘嗎？（再問“降雨可能性是70%”）事件B：有兩位同學都想看同一本書，通過投擲硬幣來決定順序，公平嗎？

【追問】（1）對于事件B，為何公平？（2）如何論證你的觀點？（3）結合物理、生物學科的學習經驗，如何獲得一個客觀存在的隱藏信息？如重力加速度、遺傳規律等.

【引入主題】試猜想并論證投擲硬幣“正面朝上”的概率，并分析頻率與概率的區別.

設計意圖：在這一環節中，通過兩個事件、一個視頻（足球賽場上投擲硬幣選邊）激發學生的學習興趣，確立知識生長點;再通過對現象的剖析，在連續追問下生成解決問題的線索——試驗. 為了讓學生明確感受到由感性到理性的認知升華，學生先猜想再論證. 在這一環節中，讓學生完成感知概念的任務，實現“教學目標1”.

2. 投擲硬幣，動手試驗

教學過程設計：

【收集數據】為保證在相同條件下試驗，試驗中應滿足要求：（1）一枚質地均勻的硬幣;（2）硬幣豎直向下;（3）距離桌面30 cm;（4）落在桌面上.

【學生】分工合作：3人一組，取一枚質地均勻的硬幣，一人投擲硬幣（至少10次），一人監督，一人記錄、計算并輸入電腦Excel：

【分析數據】問題引導：（1）對比各組數據，結果一致嗎？為什么？（2）把每組的結果累加，用折線圖表示頻率，這個折線圖有特點嗎？（3）投擲硬幣時，“正面朝上”這個事件的發生有規律嗎？如果有，有怎樣的規律？

【學生】各組頻率不一致，因為隨機事件的發生具有不確定性，但頻率均在[0，1]區間內波動，且頻率有隨著試驗次數增多而波動幅度減小的趨勢.

設計意圖：學生親自動手“做數學”是抽象概念過程中必不可少的環節，課堂上給學生提供收集數據的條件及足夠空間，關注學生的主體性，以便于培養學生的核心素養“數據處理”.

3. 深挖數據，抽象概念

教學過程設計：

【問題推進】能否發現頻率與猜想的概率0.5的具體關系？如何讓規律更明顯？

【學生】增加試驗次數，圖表呈現數據.

【規律再探】用計算機大量重復試驗，你能發現投擲硬幣時，“正面朝上”這個事件的發生有規律嗎？如果有，有怎樣的規律？

【學生】在大量重復試驗下，頻率趨于穩定，且穩定于0.5.

【教師】今天的我們在上演昨天的故事，歷史上數學家同樣經歷了艱辛而漫長的探索過程，來看看他們的發現是否和我們一致（如圖3）.

設計意圖：借助信息技術手段，學生克服了試驗次數少、規律不明顯的弊端，同時在感知數學文化的過程中產生了成就感，培養對數學的熱愛. 至此，學生經歷了三次從收集數據到分析數據的過程. 雖然這三個階段的意義不同，但都滲透著用頻率估計概率的思想，反復強調著頻率、概率之間的區別與聯系，突出了“變中有不變”的數學思想.

4. 反思歸納，形成概念

教學過程設計：

【追問】如果同學們再重復一次上面的試驗，得到的數據還會一致嗎？數據的規律會改變嗎？為什么？

【學生】數據不一定一致，因為隨機事件的發生具有不確定性，但規律一致，在大量重復試驗下，頻率仍然會趨于概率. 但是，為什么概率不能是0.501呢？

【教師】再次增加試驗數據，統一認知，論證了投擲硬幣“正面朝上”的概率為0.5.

【學生】結合搶答任務，梳理概率與頻率的區別和聯系.

設計意圖：學生頭腦中已有了對概率的豐富感知，經過反思獲得了概率的理性認識，同時學會了尋找隨機事件發生概率的方法. 在解決了認知沖突之后，概念自然成型，學生便能完成認知概念的任務，實現“教學目標2”. 至此，本節課的重點得以實現，難點得以突破.

5. 應用鞏固，深化認知

教學過程設計：

【問題1】你能設計一個思路來探索“擲骰子擲出點數1”的概率么？

【問題2】例1：易錯警示——事件判斷中的誤區.

【問題3】例2：應用頻率估計概率.

設計意圖：應用體現理解，應用深化認知，以三個問題為載體，體現概念從“一般到特殊”的演繹過程. 通過博弈中另一個經典方式——擲骰子，讓學生運用求概率的統計方法;通過例1、例2及追問的思考，能讓學生進一步深化對概念的理解，完成內化概念的學習任務，實現“學習目標3”.

6. 歸納小結，課外拓展

讓學生從知識、思想方法、經驗三個方面對本課進行總結，培養學生的表達能力和歸納概括的能力;同時安排課外探究（電腦鍵盤的字母位置分布規律）及課外閱讀欄目（天氣預報），讓數學回到生活中去.

[?] 回歸核心素養的教學反思

本節課的四個學習目標，數據處理、數學抽象等核心素養的培養均借助具體的學習任務得以達成. 在完成任務的過程中，通過學生的課堂表現檢測并反饋了目標達成的效果，課堂評價貫穿始終. 從設計到實施這一過程，讓筆者對如何更好地培養數學核心素養有了更加深入的理解.

羅增儒教授指出：數學核心素養是適應個人終身發展和社會發展需要的具有數學基本特征的思維品質與關鍵能力. 素養的指向告訴我們“去哪兒”，基于素養的教學方式告訴我們“怎么去”，盡管每個學科、每個階段的素養重心有所差異，但“不積跬步，無以至千里;不積小流，無以成江海”. 核心素養都是在學習的過程中逐步形成和發展的，最終讓學生能夠在真實情境中應用數學知識與技能理性地處理問題，從數學的角度認識問題、以數學的態度思考問題、用數學的方法解決問題[2]. 這便是數學的價值所在，順應時代的數學教學.

另外，學生動手試驗是本節課必不可少的，從本節課學生的表現可以發現，不是學生缺乏動手實踐的能力和興趣，而是教師給的機會太少. 筆者思想，在以后的課堂中，應盡可能多地放手讓學生真試驗、真思考、真表達.

最后，在本課中，既有前人的智慧，又有學生的實踐操作，更有科技的運用. 在這個過程中，數學文化在滲透，數學科技在發生，我們的學生站在時代的浪頭上，未來可期.

本節課依然留有遺憾，為了讓學生更直觀地、多角度地感受頻率隨著試驗次數增多而不斷趨于穩定，趨于一個常數的特點. 筆者本想將試驗數據體現在一個一維數軸中，以依次閃現的方式展示數據所對應的點越來越接近于一定點，最終在其附近極小范圍內波動，體現數的穩定性. 可惜，因為技術問題而沒能實現，后續還需提高信息技術的運用能力.

參考文獻：

[1] ?胡學貴. 基于數學核心素養的課堂教學——以《兩個變量的線性相關》（第一課時）教學為例[J]. 中學數學，2020（11）.

[2] ?李亞瓊. 樹立學生主體地位，提高課堂參與效果——基于《隨機事件及其概率》談“核心素養”下的數學教學[J]. 數學之友，2018（02）.

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