暴露思維過程的數學教學設計示例

李健

【摘要】現代數學教學理論認為，數學教學是思維活動的教學.因此在數學教學過程中，能夠充分暴露數學家、教材編寫者、教師和學生的思維活動，闡明數學知識的產生、形成、發展和應用過程，這對于學生學習數學的積極性、學生思維結構的完善以及數學知識體系的形成都具有重要意義.本文透過“兩角差的余弦公式”的視角，展現如何在高中數學教學過程中暴露思維，揭示該公式的產生、形成與發展過程.

【關鍵詞】思維過程;兩角差的余弦公式;數學教學;教學設計

思維的本質是人腦中的高級精神活動，是人這一主體對客觀現實，以及對主體自身活動的能動反映或理性認識.它是人們認識事物的本質，事物間相互聯系及其規律的必要手段.然而，在實際的教學過程中，由于部分教師片面地追求知識的記憶與運用過程，忽視了概念的萌生過程、結論的發現過程、方法的形成過程、問題的提出過程、規律的揭示過程，學生的思維活動常被這些教師“滿堂灌”的教學模式所掩蓋.這種教學模式不利于學生理解與掌握數學知識，因此愈來愈不被教育工作者認可，故建立暴露思維過程的教學設計，體現以學生為主體、教師為主導的教育理念對數學教學具有重要意義.

一、暴露思維過程的意義

數學學習本身就是一個枯燥乏味的過程，如果教師再采用“滿堂灌”的教學方式，直接呈現知識的形成過程，忽略學生的思維活動，那么整個課堂就會顯得死氣沉沉，毫無吸引力.在這種教學模式下，學生被動地接受知識，機械地記憶知識，死板地運用知識，故難以掌握知識的本質，學習效率得不到提升，學習積極性自然也會降低.故教師在數學教學過程中，需要充分地暴露學生的思維過程，鼓勵學生積極主動地思考、分析、討論，從而抽象概括出數學知識，這樣學生才能真實地參與到每一個教學環節之中，理解知識的產生、發展、形成過程，從而提升學習數學的興趣，提高學習數學積極性.

一個完善的思維結構能賦予人一定的觀察、記憶能力，有助于理解、分析和解決問題，由于學生主要的思維活動方式就是學習，因此教師如何通過課堂教學，幫助學生形成良好的思維結構是他們需要考慮的重點問題.在教學過程中，不同的思維形式作用于思維過程的不同環節，只有充分暴露思維過程的各個環節，學生的思維形式才能均衡發展，學生的思維結構才會良好地形成.

學生對于數學知識的認識大多是零散的，難以找到知識間內在聯系，故隨著學生知識的不斷增長，知識的遺忘速度也在加快.造成這種現象的根本原因在于學生在數學學習過程中，被掩蓋了某些思維過程，導致認知數學知識出現偏差，也就不能形成良好的知識結構.因此教師在教學過程中，充分暴露思維過程，對于學生數學知識結構的建立、推廣、發展具有巨大作用，有助于學生從整體上把握數學知識，全面、深刻地了解知識間的內在聯系，從而建立一個良好的知識結構.

二、四種思維活動在數學教學中的體現

張乃達先生發現在數學教學過程中，存在著三種思維活動，即數學家的思維活動、教師的思維活動和學生的思維活動，而成功的數學教學，就是實現這三種思維活動的和諧與統一.除此之外，筆者認為在數學教學過程中，還存在教材編寫者的思維活動.一套良好的數學教材，應該是在數學家的思維活動前提下，教師以教材編寫者的思維活動為母版，通過創新設計，達到數學家、教材編寫者、教師、學生的思維活動的和諧統一，從而幫助學生形成良好的思維結構與數學知識結構.

（一）數學家的思維活動是展開數學教學的前提

在數學教學過程中，數學家雖然沒有直接參與，但每一個知識的產生、發展、形成都充分蘊含著數學家的思維活動，故數學家的思維過程表現在教學活動的方方面面.因此學生學習數學知識的過程，就是在教師、課本的引導下，重現數學家的思維活動，從而發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程.因此，數學家的思維活動是數學教學得以展開的前提.

（二）學生的思維活動是數學教學的關鍵

普通高中課程標準（2017年版）提出的課程目標是通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基”“四能”.在數學教學過程中，學生能否通過重現數學家的思維過程，體會數學家的思維結構，總結數學家的思維方法，反思自己思維活動中出現的問題，推進自身思維結構向數學家的思維結構轉變，是實現課程標準要求達到的目標，推動學生“四基”“四能”發展的關鍵，故學生的思維活動是數學教學活動的關鍵.

（三）教師的思維活動是數學教學順利實施的保障

學生由于受自身認知水平和知識水平的限制，往往不能獨立地完成對數學家思維過程的重現，也不能從已暴露的數學家的思維過程中完成對數學信息的編碼，也就不能使數學教學活動順利地進行.教師作為數學教學活動的主導者，就需要依據學生的思維特點，通過指導、調控的方式，幫助學生解決思維活動中的問題，清除學生遇到的障礙，推進學生的思維活動與數學家的思維活動同步，以保證數學教學過程順利進行.

（四）教材編寫者的思維活動是數學教學過程的母版

數學教材是教材編寫者依據課程標準的理念，按照數學知識結構，根據學生的認知特點，結合數學家的思維活動，設計出的輔助教師進行數學教學活動的藍本.因此，數學教材充分暴露了教材編寫者的思維活動.需要注意的是，教材編寫者的思維活動是根據學生一般心理狀況設計的，故教師在進行教學活動時，如果不考慮學生的實際情況，只是跟著教材走，也不利于學生形成良好的思維結構.因此教材編寫者的思維活動是數學教學過程的母版，教師需要在此母版之上，進行適當的調整與改編，設計出符合學生思維的教學設計.

三、暴露思維過程的“兩角差的余弦公式”的教學設計

“兩角差的余弦公式”是最新高中數學人教A版（以下簡稱新版教材）必修第一冊第五章第五節“三角恒等變化”的內容.從知識結構上分析，三角恒等變化是三角函數與數學變化的立足點與生長點，而“兩角差的余弦公式”作為三角恒等變化的基礎與起始點，是前面學過的誘導公式的延續與發展，也是接下來學習半角、倍角公式的依據.從學生認知水平分析，學生剛剛學習過三角函數的有關知識（新版教材還未學習向量的有關概念），對于誘導公式的記憶還較深刻，會求特殊三角函數值.從學生能力水平分析，學生通過前期的學習，具備一定的運算能力和解決問題能力，但畢竟是高一的學生，語言表達能力與邏輯推理能力還有待提高.

兩角差的余弦公式屬于原理性知識，而原理性知識教學可分為原理結論（命題）的發現與關于這個命題的證明兩部分.

（一）循序漸進，提出問題

師：回憶誘導公式的有關內容，回答下列問題.

2.觀察以上公式，你們找到什么共同點了嗎？

3.對于以上公式，你們能提出什么一般性問題？（多媒體顯示）

設計意圖：數學問題的提出不可能一蹴而就，學生的思維難以達到數學家的思維水平，也就不能從復雜的信息源中，找到合適的信息，提出合適的問題，故教師要根據教學經驗，找到符合學生認知的合適根據地.這里教師通過回憶誘導公式的有關內容，尋找四個誘導公式中共同點的方式，循序漸進，引導學生從特殊的誘導公式中，一步一步地抽象出如何求cos（α-β）的問題.

（二）活動探究，提出猜想

生1：cos π2-β=sin β…①，cos（π-β）=-cos β…②，cos 3π2-β=-sin β…③，cos（2π-β）=cos β…④.在這幾個誘導公式中，都是求一個特殊角減β的余弦值，那能不能通過一個一般性的角α代替這四個特殊角，得到一個有關于cos（α-β）…⑤的公式？

師：很好，那你覺得這個公式的表達式可能是什么？

生1：……

師：直接說出表達式有點難度，我們先仔細觀察①②③④四個式子，猜測公式⑤中有哪些元素？

生2：cos β和sin β.

師：你是怎么猜測的？

生2：上述誘導公式①②③④的結果中都含有cos β和sin β，如果將α替換成誘導公式中的π2，π，3π2，2π，那么對于式子⑤中應該含有cos β和sin β.

師：很好，老師也覺得公式⑤中存在cos β和sin β這兩個元素.那么，除了這兩個元素以外，還存在其他元素嗎？

生2：因為cos（α-β）=cos[-（β-α）]=cos（β-α）…⑥，所以也可以將β替換成π2，π，3π2，2π，那么公式⑤中應該還有cos α和sin α.

師：非常好，通過誘導公式⑥，我們知道α和β具有對等性，所以對于公式⑤，就一定含有cos β，sin β，cos α，sin α這四個元素.那么，接下來我們就要探討這四個元素能構成怎樣的運算結構.

生3：因為sin π=0，所以我判斷肯定沒有除法結構，并且通過賦值的方式，我發現這四個元素的運算結構也不是全部相加和全部相乘.

師：你能說得更具體一些嗎？

生3：因為sin π=0，如果有除法結構，公式⑤就可能沒有意義.又因為sinπ2=1，cosπ2=0，將α替換成π2代入公式①，那么公式①的結果就應該有1，0，cos β和sin β這四個元素，但是實際上只有sin β這一個元素，所以我判斷這四個元素不是全部相加或相乘.

師：好，生3已經通過賦值的方式為我們排除了多種運算結構，我們再繼續思考，公式①的結果本來應該包含1，0，cos β和sin β四個元素，但實際上公式①中只含有sin β一個元素，那是不是因為某種運算結構，使其他三個元素都省略了？

生4：因為在公式①中，不存在cos β，而cos α=cos π2=0，我猜測應該有一項是cos αcos β.又因為α和β是對等的，sin α=sin π2=1，所以另一項應該是sin αsin β，所以cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β…⑦或者是cos（α-β）=sin αsin β-cos αcos β…⑧.

師：很好，生4已經幫助我們推測出cos（α-β）的結果只有兩種情況了，還可不可以通過賦值的方法繼續推測？

生5：將α替換成π代入公式⑦，cos（π-β）=sin πsin β+cos πcos β，而sin π=0，cos π=-1，代入，得cos（π-β）=-cos β滿足公式②.將sin π=0，cos π=-1代入公式⑧不滿足，在繼續將α替換成3π2，2π代入公式⑦，其結果也滿足公式③和④，所以cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β.

設計意圖：在整個公式的猜想過程中，教師并沒有直接闡明公式的具體形式，而是作為一個主導者，通過一系列問題，幫助學生通過觀察、分析、比較、抽象、推理和概括，找到cos（α-β）可能含有的元素、猜測與驗證元素組成的運算結構，進而推測出兩角差的余弦公式的具體形式.這種充分暴露學生思維的教學活動，有利于加深學生對于公式的理解，推動學生形成良好的思維結構.

（三）故技重演，驗證猜想

師：我們已經猜想出cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β，那么接下來就要證明這個猜想是否正確.大家還記得誘導公式是通過什么推導的嗎？

生：單位圓.

師：那我們還能不能繼續通過單位圓推導出公式⑦？

生：……

師：首先，我們確定單位圓與x軸正半軸交于點A（1，0），以x軸非負半軸做始邊作角α，β，α-β.（α≠β+2kπ），它們的終邊分別與單位圓交于P1（cos α，sin α），A1（cos β，sin β），P（cos（α-β），sin（α-β））.觀察圖1，α-β可以用哪個角來表示？

生1：∠P1OA1和∠POA.

師：這兩個角相等，你能得到什么結論？

生1：因為同一個圓中相等的角所對的弧、弦相等，所以P1A1=PA.

師：由P1A1=PA，又能得到什么式子？

生1：因為P1A1=PA，根據兩點間的距離公式，得到[（cos α-β）-1]2+sin（α-β）2=（cos α-cos β）2+（sin α-sin β）2…⑨.

化簡，得cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β.

設計意圖：關于公式的證明，由于新版教材并未學習向量的有關概念，所以這里通過單位圓來證明公式.然而，學生難以想到通過兩點間的距離公式來證明公式⑦，故這里先通過找α-β角，再由角相等得到弦相等，由弦相等得到式子⑨，最后化簡得到公式⑦，學生通過一步步的分析，最終完成公式的證明.因此在教學過程中，當學生的思維過程遇到阻礙時，教師就需要通過設計合適的問題，指導、調控學生的思維活動，幫助學生的思維過程與成功的數學家的思維活動同步，從而縮短獲得知識所需的時間，提高課堂效率.

四、簡要結語

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”南宋詩人陸游教育自己的兒子，想要深入理解書本上的知識，必須要親自實踐，數學知識的學習同樣如此.在教學中，如果學生并沒有深刻理解知識的產生、發展、形成、應用過程，思維活動沒有在教學過程的各個環節中充分暴露，也就難以掌握數學內容的本質，形成良好的思維結構.因此，教師在進行教學活動時，要有暴露學生思維過程的意識，體現學生是學習主體的理念，結合知識結構特點和學生認知特點，指導學生真正學習知識而不是記憶知識.

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