關于建立小學數學應用題解題模型的探究

田燕芬

[摘 要]小學生的認知水平和學習能力都處于初級階段，小學數學內容主要是加減乘除以及一些簡單的方程求解問題，教師只有幫助學生打好具體運算的基礎，才能為初中和高中的形式運算做好準備。為此，建立各類型應用題的數學模型及解題模型，有助于學生在遇到相似的題目時，能夠舉一反三、靈活應用。

[關鍵詞]小學數學;應用題;解題模型

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0060-02

小學數學應用題的類型相對較少，大多都是對一類題目進行靈活變換得出一系列的題目，小學生往往只會計算課本上列舉的簡單題目，對于靈活變換后的一些難度比較大的題目會感到比較困難。因此，教師在講解應用題時應幫助學生將不同類型的應用題進行分類，并且在教學的過程中灌輸建模的數學思想，再通過生活中的案例建立數學模型，便于學生在以后碰到類似題目的時候，能夠舉一反三、靈活應用。建立數學模型能夠幫助學生快速找到對應的解題方法和思路，大大提高學生的學習效率。

一、建立關于總數量、總份數以及平均數的數學模型

在解平均數的應用題的過程中，最重要的是處理好總數量、總份數以及平均數三者之間的數量關系。小學生的認知水平和學習能力都處于相對較低的階段，在解決此類問題的時候，往往容易混淆總數量、總份數以及平均數三者之間的數量關系，無法在審題的過程中準確地找到題目中暗含的數量關系，從而無法快速找到已知條件和未知條件的數量關系，也就無法列出等式。教師在講解這部分知識的過程中，應貫徹數學建模思想，幫助學生分析總數量、總份數以及平均數三者之間的數量關系，并建立如下數學模型。

總數量÷總份數=平均數

平均數×總份數=總數量

總數量÷平均數=總份數

建立關于總數量、總份數以及平均數三者之間的數量關系的數學模型，有助于學生在解決此類應用題時，能夠根據建立的數學模型和題目中的已知條件和未知條件，迅速列出關系等式，解決此類應用問題。

【例1】已知某超市有兩種類型的糖果，第一種類型的糖果每千克的售價是30元，第二種類型的糖果每千克的售價是24元。如果將第一種類型的糖果13千克和第二種類型的糖果7千克混合之后進行售賣，每千克混合糖果的售價應是多少元？

分析：在解決此類關于總數量、總份數以及平均數三者之間的數量關系的應用題時，學生首先要做的是通過認真審題，求出題目中的總數量、總份數以及平均數。本題是關于金錢的總數量、總份數以及平均數三者之間的數量關系的計算。要求每千克混合糖果的售價是多少元，首先要求得兩種類型的糖果的總價錢和兩種類型糖果的總千克數。

方法1：

總價錢：30×13+24×7=558（元）

總千克：13+7=20（千克）

售價：582÷20=27.9（元）

通過分析上列關系式，還可以建立如下總算式。

方法2：

（30×13+24×7）÷（13+7）=27.9（元）

二、建立關于速度、時間以及路程的數學模型

求解速度、時間以及路程的應用題也是小學數學中的常見應用題類型，教師在講解此類應用題時，可以先創設關于路程、速度與時間問題的具體情境，結合生活中的實際例子，幫助學生建立關于速度、時間、路程的公式，進而順利解決此類問題，這就是數學建模思想在數學學習過程中的重要應用。

建立關于速度、時間以及路程問題的數學模型如下：

路程=速度×時間

速度=路程÷時間

時間=路程÷速度

在知道速度、時間和路程問題的公式后，求解此類問題的過程就相當于數學建模的過程。

【例2】有一條長為1000米的隧道需要施工，現在有兩個施工隊伍，其中甲隊伍有5個人，每天能夠施工50米，乙隊伍有10個人，每天能夠施工100米。甲、乙兩個隊伍從隧道的東西兩端同時進行施工，共同做了5天后，乙隊伍因為接到新的工作必須離開，剩余的隧道需要甲隊伍獨立完成。甲隊伍還需要多少天才能完成工作？

分析：已知甲乙兩個隊伍每天的工作量和同時工作的天數，此時，可以求出甲乙兩個隊伍共同施工的隧道長度，進而求出隧道剩余的還沒施工的長度，進一步求出甲隊伍還需要幾天可以完成隧道施工工作。

解答：

甲：50×5=250（米）

乙：100×5=500（米）

總工作量：500+250=750（米）

剩余工作量：1000-750=250（米）

剩余天數：250÷50=5（天）

三、建立植樹問題的數學模型

植樹問題也是數學應用題中的常見題型，學生在解決此類題目時常常混淆不同植樹線路的求解公式而導致求解錯誤。教師在講解此類型題時應幫助學生建立在不同地形（如線形、環形、三角形、方形等）進行植樹的數學模型。在建立關于等距離植樹問題的數學模型時，主要處理好植樹距離、每兩棵樹之間的間距以及棵數之間的數量關系，具體如下所示：

線形線路植樹棵數=距離÷間距+1

環形線路植樹棵數=距離÷間距

方形線路植樹棵數=距離÷間距-4

三角形線路植樹棵數=距離÷間距-3

面積植樹棵數=面積÷（棵距×行距）

【例3】某學校有一個邊長為220米的正方形籃球場，現在打算在正方形籃球場的四周等距離安裝路燈，要求每兩盞路燈之間的距離相等，并且為8米。學校一共需要安裝多少盞路燈？

分析：在形狀為正方形的籃球場安裝路燈的問題等同于在方形線路上進行植樹的問題，學生可以根據方形線路上植樹問題的數學模型進行求解。

解答：220×4÷8-4=110-4=106（盞）

四、建立關于年齡問題的數學模型

關于年齡問題的應用題主要分為以下兩種類型：

第一種類型：已知兩個人的年齡，求兩個人年齡之間的數量關系;

第二種類型：已知兩個人年齡之間的數量關系，求兩個人的年齡。

在求解關于年齡的問題時，需要學生始終記住一點：在求解的過程中，無論時間和年齡之間的倍數如何變化，兩個人之間的年齡差值永遠是一個定值。

【例4】小明今年的年齡是11歲，小明的爸爸今年43歲，求：過幾年之后小明爸爸的年齡是小明年齡的3倍？

分析：由于小明的年齡與爸爸的年齡的差值是43-11=32（歲），保持不變。假設幾年后小明的年齡為1份的數，由題意可知：小明爸爸的年齡是小明年齡的3倍，則爸爸的年齡就是3份的數。根據差與倍數的關系，可以求出小明幾年后的年齡，進而得出答案。

解答：（43-11）÷（3-1）=16（歲）

16-11=5（年）

本文主要列舉了一些小學數學應用題中常見的題型，并通過建模的數學思想將小學階段常見的數學應用題進行分類總結，以提高學生正確求解應用題的能力。在這一過程中有一個重要的思想，即建模思想，教師要向學生灌輸這種思想，以幫助學生在以后的學習中學會運用這種思想進行解題。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王井華. 小學數學應用題的教學研究[D].蘇州：蘇州大學，2016.

[2] 張春新. 小學數學應用題建模教學研究[D].南京：南京師范大學，2013.

（責編 羅 艷）