關(guān)于建立小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題模型的探究

田燕芬

[摘 要]小學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力都處于初級階段，小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容主要是加減乘除以及一些簡單的方程求解問題，教師只有幫助學(xué)生打好具體運(yùn)算的基礎(chǔ)，才能為初中和高中的形式運(yùn)算做好準(zhǔn)備。為此，建立各類型應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型及解題模型，有助于學(xué)生在遇到相似的題目時，能夠舉一反三、靈活應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);應(yīng)用題;解題模型

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0060-02

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的類型相對較少，大多都是對一類題目進(jìn)行靈活變換得出一系列的題目，小學(xué)生往往只會計算課本上列舉的簡單題目，對于靈活變換后的一些難度比較大的題目會感到比較困難。因此，教師在講解應(yīng)用題時應(yīng)幫助學(xué)生將不同類型的應(yīng)用題進(jìn)行分類，并且在教學(xué)的過程中灌輸建模的數(shù)學(xué)思想，再通過生活中的案例建立數(shù)學(xué)模型，便于學(xué)生在以后碰到類似題目的時候，能夠舉一反三、靈活應(yīng)用。建立數(shù)學(xué)模型能夠幫助學(xué)生快速找到對應(yīng)的解題方法和思路，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

一、建立關(guān)于總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)的數(shù)學(xué)模型

在解平均數(shù)的應(yīng)用題的過程中，最重要的是處理好總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系。小學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力都處于相對較低的階段，在解決此類問題的時候，往往容易混淆總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系，無法在審題的過程中準(zhǔn)確地找到題目中暗含的數(shù)量關(guān)系，從而無法快速找到已知條件和未知條件的數(shù)量關(guān)系，也就無法列出等式。教師在講解這部分知識的過程中，應(yīng)貫徹數(shù)學(xué)建模思想，幫助學(xué)生分析總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系，并建立如下數(shù)學(xué)模型。

總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)

平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量

總數(shù)量÷平均數(shù)=總份數(shù)

建立關(guān)于總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生在解決此類應(yīng)用題時，能夠根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型和題目中的已知條件和未知條件，迅速列出關(guān)系等式，解決此類應(yīng)用問題。

【例1】已知某超市有兩種類型的糖果，第一種類型的糖果每千克的售價是30元，第二種類型的糖果每千克的售價是24元。如果將第一種類型的糖果13千克和第二種類型的糖果7千克混合之后進(jìn)行售賣，每千克混合糖果的售價應(yīng)是多少元？

分析：在解決此類關(guān)于總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題時，學(xué)生首先要做的是通過認(rèn)真審題，求出題目中的總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)。本題是關(guān)于金錢的總數(shù)量、總份數(shù)以及平均數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系的計算。要求每千克混合糖果的售價是多少元，首先要求得兩種類型的糖果的總價錢和兩種類型糖果的總千克數(shù)。

方法1：

總價錢：30×13+24×7=558（元）

總千克：13+7=20（千克）

售價：582÷20=27.9（元）

通過分析上列關(guān)系式，還可以建立如下總算式。

方法2：

（30×13+24×7）÷（13+7）=27.9（元）

二、建立關(guān)于速度、時間以及路程的數(shù)學(xué)模型

求解速度、時間以及路程的應(yīng)用題也是小學(xué)數(shù)學(xué)中的常見應(yīng)用題類型，教師在講解此類應(yīng)用題時，可以先創(chuàng)設(shè)關(guān)于路程、速度與時間問題的具體情境，結(jié)合生活中的實(shí)際例子，幫助學(xué)生建立關(guān)于速度、時間、路程的公式，進(jìn)而順利解決此類問題，這就是數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要應(yīng)用。

建立關(guān)于速度、時間以及路程問題的數(shù)學(xué)模型如下：

路程=速度×?xí)r間

速度=路程÷時間

時間=路程÷速度

在知道速度、時間和路程問題的公式后，求解此類問題的過程就相當(dāng)于數(shù)學(xué)建模的過程。

【例2】有一條長為1000米的隧道需要施工，現(xiàn)在有兩個施工隊伍，其中甲隊伍有5個人，每天能夠施工50米，乙隊伍有10個人，每天能夠施工100米。甲、乙兩個隊伍從隧道的東西兩端同時進(jìn)行施工，共同做了5天后，乙隊伍因?yàn)榻拥叫碌墓ぷ鞅仨氹x開，剩余的隧道需要甲隊伍獨(dú)立完成。甲隊伍還需要多少天才能完成工作？

分析：已知甲乙兩個隊伍每天的工作量和同時工作的天數(shù)，此時，可以求出甲乙兩個隊伍共同施工的隧道長度，進(jìn)而求出隧道剩余的還沒施工的長度，進(jìn)一步求出甲隊伍還需要幾天可以完成隧道施工工作。

解答：

甲：50×5=250（米）

乙：100×5=500（米）

總工作量：500+250=750（米）

剩余工作量：1000-750=250（米）

剩余天數(shù)：250÷50=5（天）

三、建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型

植樹問題也是數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的常見題型，學(xué)生在解決此類題目時常常混淆不同植樹線路的求解公式而導(dǎo)致求解錯誤。教師在講解此類型題時應(yīng)幫助學(xué)生建立在不同地形（如線形、環(huán)形、三角形、方形等）進(jìn)行植樹的數(shù)學(xué)模型。在建立關(guān)于等距離植樹問題的數(shù)學(xué)模型時，主要處理好植樹距離、每兩棵樹之間的間距以及棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，具體如下所示：

線形線路植樹棵數(shù)=距離÷間距+1

環(huán)形線路植樹棵數(shù)=距離÷間距

方形線路植樹棵數(shù)=距離÷間距-4

三角形線路植樹棵數(shù)=距離÷間距-3

面積植樹棵數(shù)=面積÷（棵距×行距）

【例3】某學(xué)校有一個邊長為220米的正方形籃球場，現(xiàn)在打算在正方形籃球場的四周等距離安裝路燈，要求每兩盞路燈之間的距離相等，并且為8米。學(xué)校一共需要安裝多少盞路燈？

分析：在形狀為正方形的籃球場安裝路燈的問題等同于在方形線路上進(jìn)行植樹的問題，學(xué)生可以根據(jù)方形線路上植樹問題的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

解答：220×4÷8-4=110-4=106（盞）

四、建立關(guān)于年齡問題的數(shù)學(xué)模型

關(guān)于年齡問題的應(yīng)用題主要分為以下兩種類型：

第一種類型：已知兩個人的年齡，求兩個人年齡之間的數(shù)量關(guān)系;

第二種類型：已知兩個人年齡之間的數(shù)量關(guān)系，求兩個人的年齡。

在求解關(guān)于年齡的問題時，需要學(xué)生始終記住一點(diǎn)：在求解的過程中，無論時間和年齡之間的倍數(shù)如何變化，兩個人之間的年齡差值永遠(yuǎn)是一個定值。

【例4】小明今年的年齡是11歲，小明的爸爸今年43歲，求：過幾年之后小明爸爸的年齡是小明年齡的3倍？

分析：由于小明的年齡與爸爸的年齡的差值是43-11=32（歲），保持不變。假設(shè)幾年后小明的年齡為1份的數(shù)，由題意可知：小明爸爸的年齡是小明年齡的3倍，則爸爸的年齡就是3份的數(shù)。根據(jù)差與倍數(shù)的關(guān)系，可以求出小明幾年后的年齡，進(jìn)而得出答案。

解答：（43-11）÷（3-1）=16（歲）

16-11=5（年）

本文主要列舉了一些小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中常見的題型，并通過建模的數(shù)學(xué)思想將小學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)行分類總結(jié)，以提高學(xué)生正確求解應(yīng)用題的能力。在這一過程中有一個重要的思想，即建模思想，教師要向?qū)W生灌輸這種思想，以幫助學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)會運(yùn)用這種思想進(jìn)行解題。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 王井華. 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)研究[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2016.

[2] 張春新. 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題建模教學(xué)研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2013.

（責(zé)編 羅 艷）