多維并舉理解算理，讓數(shù)學(xué)計(jì)算有理可講

沈永青

[摘 要]算理探究是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑，學(xué)生只有深刻理解算理，才能更靈活地運(yùn)算。讓學(xué)生在操作、生活情境、幾何直觀中理解算理，能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

[關(guān)鍵詞]算理;計(jì)算;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0090-02

課標(biāo)指出，計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握算法，通過必要的練習(xí)逐步達(dá)到教學(xué)要求。算理是對(duì)算法的解釋，理解算理是構(gòu)建算法的基礎(chǔ)。如果說算法是解決“怎么算”的問題，那么，算理就是在解決“為什么這么算”的問題。在計(jì)算教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)算法、掌握運(yùn)算技能，而且要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行深度剖析，使學(xué)生在充分理解算理的基礎(chǔ)上運(yùn)用算法進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。學(xué)生只有深刻理解算理，才能更加靈活地運(yùn)用算法進(jìn)行運(yùn)算。算理探究是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。那么，在教學(xué)實(shí)踐中，如何使學(xué)生更好地理解算理呢？筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，論述在數(shù)學(xué)課堂中促進(jìn)學(xué)生理解算理的方法，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、在操作中理解算理

心理學(xué)家皮亞杰曾言：“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)手開始。”算理指向的是計(jì)算過程中的道理，具有一定的抽象性。小學(xué)生以形象思維為主，抽象思維薄弱，這就意味著讓學(xué)生理解算理并非易事。如何在算理的抽象性和思維的形象性之間搭建橋梁？動(dòng)手操作無疑是一種有效手段。數(shù)學(xué)操作具有很強(qiáng)的直觀性，可以使內(nèi)隱的算理以可感可視的方式呈現(xiàn)出來，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，為構(gòu)建算法提供原型支撐。

【例1】“有余數(shù)的除法”教學(xué)節(jié)選

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察下列式子，說一說你的發(fā)現(xiàn)。

9÷2=4……1?? ? 8÷3=2……2

10÷4=2……2? 11÷5=2……1

生1：這幾個(gè)除法算式都有余數(shù)。

師：余數(shù)和除數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生2：余數(shù)比除數(shù)小。

師：所有的余數(shù)都比除數(shù)小嗎？

（學(xué)生討論）

師：現(xiàn)在我們通過擺正方形的方式來驗(yàn)證自己的猜想。請(qǐng)同學(xué)們拿出小棒，以小組為單位分別用8根、9根、10根、11根小棒擺正方形，并用算式表示擺小棒的過程，擺完后說一說你的發(fā)現(xiàn)。

生3：我們小組用8根小棒擺了2個(gè)正方形，小棒沒有剩余，用算式可以表示為8÷4=2;用9根小棒擺了2個(gè)正方形，剩余1根小棒，可以用算式表示為9÷4=2……1;用10根小棒擺了2個(gè)正方形，剩余2根小棒，可以用算式表示為10÷4=2……2;用11根小棒擺了2個(gè)正方形，剩余3根小棒，可以用算式表示為11÷4=2……3。

生4：除數(shù)是4時(shí)，如果有余數(shù)，那么余數(shù)是1、2、3中的一個(gè)。

生5：看來余數(shù)的確小于除數(shù)。

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才擺小棒的過程想一想，余數(shù)有可能是4、5、6、7嗎？

生6：余數(shù)不可能是4、5、6、7。因?yàn)橛鄶?shù)如果是4，就可以再擺出1個(gè)正方形;余數(shù)如果是5，就可以再擺出1個(gè)正方形還余下1根小棒;余數(shù)如果是6，就可以再擺出1個(gè)正方形還余下2根小棒;余數(shù)如果是7，就可以再擺出1個(gè)正方形還余下3根小棒。因此，余數(shù)一定比4小。

師：對(duì)。如果余數(shù)等于或者大于除數(shù)，我們就可以繼續(xù)擺出正方形，直到剩余的小棒不夠再擺出1個(gè)正方形。因此，余數(shù)一定比除數(shù)小。

數(shù)學(xué)操作是學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解算理的重要途徑。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過擺正方形理解了“余數(shù)小于除數(shù)”，同時(shí)，在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果余數(shù)大于除數(shù)會(huì)怎樣？正是通過這種逆向思維，使得學(xué)生深刻理解了“余數(shù)小于除數(shù)”的算理。

二、在生活情境中理解算理

波利亞曾言：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著。”數(shù)學(xué)源于生活，無論數(shù)學(xué)知識(shí)如何復(fù)雜，都與實(shí)際生活有著某種內(nèi)在聯(lián)系。雖然算理是抽象的，但是當(dāng)把算理與生活中的事例進(jìn)行關(guān)聯(lián)時(shí)，就能夠揭開算理那層“神秘的面紗”，使學(xué)生產(chǎn)生一種似曾相識(shí)的親切感，進(jìn)而通過解決實(shí)際問題更好地理解算理，為進(jìn)一步構(gòu)建算法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【例2】教學(xué)“a÷（b×c）=a÷b÷c”

師：1個(gè)人2周可產(chǎn)生約28千克垃圾，那么1個(gè)人平均每天可產(chǎn)生多少千克垃圾？

生1：我的計(jì)算思路是先算出2周一共有多少天，然后再算1個(gè)人平均每天可產(chǎn)生多少千克垃圾。列的算式為28÷（2×7）=2（千克）。

生2：我的計(jì)算思路是先算出1個(gè)人每周可產(chǎn)生多少千克垃圾，然后再算出1個(gè)人每天可產(chǎn)生多少千克垃圾。列的算式為28÷2÷7=2（千克）。

生3：他們的計(jì)算思路不同，結(jié)果卻相同。

師：我們用字母表示上面的式子就是a÷（b×c）=a÷b÷c。

算理融入生活情境中，算理就變得鮮活起來。教學(xué)中，教師并未讓學(xué)生舉大量實(shí)例，而是引導(dǎo)學(xué)生通過解決實(shí)際問題來理解“a÷（b×c）=a÷b÷c”的道理，這就減緩了學(xué)生認(rèn)知算理的坡度，增進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知深度。

【例3】教學(xué)“a+b-c=a-c+b”

師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算158+26-58。

（大部分學(xué)生都選擇了158-58+26這樣的簡便算法）

師：請(qǐng)同學(xué)們說一說，你們是怎樣想到這種算法的？

生1：我先算了184-58=126，然后算158-58+26=126，這兩種算法結(jié)果一樣，所以上面的簡便算法是正確的。

生2：我用幾個(gè)簡單的式子試了試，在驗(yàn)證這種算法正確以后，才利用這種簡便算法進(jìn)行運(yùn)算。比如12+5-2=12-2+5=15，28+6-8=28-8+6=26，這兩個(gè)算式都證明先加再減與先減再加結(jié)果是一樣的。

生3：我想象了一個(gè)場景，假設(shè)一列火車上原來 有158名乘客，當(dāng)火車到達(dá)一個(gè)站點(diǎn)后，上來26人，下去58人，現(xiàn)在火車上有多少名乘客？我考慮到不管是先上來26人再下去58人，還是先下去58人再上來26人，最后火車上乘客的數(shù)量是一樣的。由此，我確定了158+26-58=158-58+26。

師：用字母表示上面的式子就是“a+b-c=a-c+b”。

當(dāng)數(shù)學(xué)和生活密切關(guān)聯(lián)時(shí)，數(shù)學(xué)才是活的，才是富有生命力和吸引力的。教學(xué)中，3名學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)算理的認(rèn)知呈現(xiàn)出明顯的遞進(jìn)性。生1對(duì)“a+b-c=a-c+b”的認(rèn)知處在比較淺顯的層次，知其然不知其所以然;生2能夠運(yùn)用多個(gè)式子來驗(yàn)證“a+b-c=a-c+b”，可見其思維具有一定的嚴(yán)密性;生3把生活實(shí)例與抽象的數(shù)學(xué)算理相結(jié)合，使得對(duì)算理的理解變得更加容易，也更加深入。

三、在幾何直觀中理解算理

課標(biāo)指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。數(shù)學(xué)圖形以其直觀性成為破解數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性的重要手段，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了強(qiáng)有力的幫助。在教學(xué)中，教師合理利用幾何直觀的策略，能夠使抽象的算理變得直觀，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的認(rèn)識(shí)和理解，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

【例4】 “小數(shù)乘小數(shù)”教學(xué)節(jié)選

師：請(qǐng)同學(xué)們看下圖，并試著計(jì)算街心廣場、花壇和地磚的面積。

生1：由長方形的面積公式可以得知，街心廣場的面積是20×30=600（平方米），花壇的面積是3×2=6（平方米），地磚的面積是0.3×0.2，具體得數(shù)我不清楚。

生2：小數(shù)乘小數(shù)應(yīng)該怎么算呢？

生3：0.3米=3分米，0.2米=2分米，3×2=6（平方分米）=0.06（平方米）。因此，0.3×0.2=0.06。

生4：這種轉(zhuǎn)化比較麻煩，而且也不好理解。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看下面的圖形，你能說一說圖形表達(dá)的意思嗎？

生5：根據(jù)圖形可以得知，把面積為1平方米的大正方形平均分割成100個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的邊長是0.1米，面積是0.01平方米。3×2的長方形的長是0.3米，寬是0.2米，面積等于6個(gè)小正方形的面積，即0.01×6=0.06（平方米）。因此，0.3×0.2=0.06。

生6：有了這個(gè)圖形，問題變得更加簡單了。

直觀圖形在促進(jìn)學(xué)生理解算理的過程中具有重要作用。教學(xué)中，學(xué)生通過自主探索，采用轉(zhuǎn)化單位的方式計(jì)算出0.3×0.2=0.06，但是由于缺乏直觀圖形的支撐，學(xué)生對(duì)算理的理解還處在比較朦朧的狀態(tài)。教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析“百格圖”，使抽象的數(shù)學(xué)算理變得清晰可見，學(xué)生對(duì)0.3×0.2=0.06的理解更加深刻。

理解數(shù)學(xué)算理是構(gòu)建數(shù)學(xué)算法、形成計(jì)算能力的重要環(huán)節(jié)。“授人以魚，不如授人以漁”，在計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把計(jì)算建立在對(duì)算理的深刻理解之上，使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)算法更加扎實(shí)穩(wěn)固。學(xué)生只有深刻地理解了算法背后的算理，才能在計(jì)算中靈活運(yùn)用算法，從而穩(wěn)步提升運(yùn)算能力。

（責(zé)編 楊偲培）