多維并舉理解算理，讓數學計算有理可講

沈永青

[摘 要]算理探究是培養學生計算能力，發展學生數學思維的重要途徑，學生只有深刻理解算理，才能更靈活地運算。讓學生在操作、生活情境、幾何直觀中理解算理，能促進學生理解數學，發展數學思維。

[關鍵詞]算理;計算;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0090-02

課標指出，計算教學要引導學生理解算理、掌握算法，通過必要的練習逐步達到教學要求。算理是對算法的解釋，理解算理是構建算法的基礎。如果說算法是解決“怎么算”的問題，那么，算理就是在解決“為什么這么算”的問題。在計算教學中，教師不僅要讓學生學會算法、掌握運算技能，而且要引導學生對算理進行深度剖析，使學生在充分理解算理的基礎上運用算法進行數學運算。學生只有深刻理解算理，才能更加靈活地運用算法進行運算。算理探究是促進學生理解數學、發展學生數學思維的重要途徑。那么，在教學實踐中，如何使學生更好地理解算理呢？筆者結合自身教學實踐，論述在數學課堂中促進學生理解算理的方法，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、在操作中理解算理

心理學家皮亞杰曾言：“活動是認識的基礎，智慧從動手開始。”算理指向的是計算過程中的道理，具有一定的抽象性。小學生以形象思維為主，抽象思維薄弱，這就意味著讓學生理解算理并非易事。如何在算理的抽象性和思維的形象性之間搭建橋梁？動手操作無疑是一種有效手段。數學操作具有很強的直觀性，可以使內隱的算理以可感可視的方式呈現出來，從而促進學生對算理的理解，為構建算法提供原型支撐。

【例1】“有余數的除法”教學節選

師：請同學們觀察下列式子，說一說你的發現。

9÷2=4……1?? ? 8÷3=2……2

10÷4=2……2? 11÷5=2……1

生1：這幾個除法算式都有余數。

師：余數和除數之間有什么關系呢？

生2：余數比除數小。

師：所有的余數都比除數小嗎？

（學生討論）

師：現在我們通過擺正方形的方式來驗證自己的猜想。請同學們拿出小棒，以小組為單位分別用8根、9根、10根、11根小棒擺正方形，并用算式表示擺小棒的過程，擺完后說一說你的發現。

生3：我們小組用8根小棒擺了2個正方形，小棒沒有剩余，用算式可以表示為8÷4=2;用9根小棒擺了2個正方形，剩余1根小棒，可以用算式表示為9÷4=2……1;用10根小棒擺了2個正方形，剩余2根小棒，可以用算式表示為10÷4=2……2;用11根小棒擺了2個正方形，剩余3根小棒，可以用算式表示為11÷4=2……3。

生4：除數是4時，如果有余數，那么余數是1、2、3中的一個。

生5：看來余數的確小于除數。

師：請同學們結合剛才擺小棒的過程想一想，余數有可能是4、5、6、7嗎？

生6：余數不可能是4、5、6、7。因為余數如果是4，就可以再擺出1個正方形;余數如果是5，就可以再擺出1個正方形還余下1根小棒;余數如果是6，就可以再擺出1個正方形還余下2根小棒;余數如果是7，就可以再擺出1個正方形還余下3根小棒。因此，余數一定比4小。

師：對。如果余數等于或者大于除數，我們就可以繼續擺出正方形，直到剩余的小棒不夠再擺出1個正方形。因此，余數一定比除數小。

數學操作是學生認識、理解算理的重要途徑。教學中，教師引導學生通過擺正方形理解了“余數小于除數”，同時，在動手操作的基礎上，教師引導學生進一步思考：如果余數大于除數會怎樣？正是通過這種逆向思維，使得學生深刻理解了“余數小于除數”的算理。

二、在生活情境中理解算理

波利亞曾言：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著。”數學源于生活，無論數學知識如何復雜，都與實際生活有著某種內在聯系。雖然算理是抽象的，但是當把算理與生活中的事例進行關聯時，就能夠揭開算理那層“神秘的面紗”，使學生產生一種似曾相識的親切感，進而通過解決實際問題更好地理解算理，為進一步構建算法打下堅實的基礎。

【例2】教學“a÷（b×c）=a÷b÷c”

師：1個人2周可產生約28千克垃圾，那么1個人平均每天可產生多少千克垃圾？

生1：我的計算思路是先算出2周一共有多少天，然后再算1個人平均每天可產生多少千克垃圾。列的算式為28÷（2×7）=2（千克）。

生2：我的計算思路是先算出1個人每周可產生多少千克垃圾，然后再算出1個人每天可產生多少千克垃圾。列的算式為28÷2÷7=2（千克）。

生3：他們的計算思路不同，結果卻相同。

師：我們用字母表示上面的式子就是a÷（b×c）=a÷b÷c。

算理融入生活情境中，算理就變得鮮活起來。教學中，教師并未讓學生舉大量實例，而是引導學生通過解決實際問題來理解“a÷（b×c）=a÷b÷c”的道理，這就減緩了學生認知算理的坡度，增進了學生對知識的認知深度。

【例3】教學“a+b-c=a-c+b”

師：請同學們計算158+26-58。

（大部分學生都選擇了158-58+26這樣的簡便算法）

師：請同學們說一說，你們是怎樣想到這種算法的？

生1：我先算了184-58=126，然后算158-58+26=126，這兩種算法結果一樣，所以上面的簡便算法是正確的。

生2：我用幾個簡單的式子試了試，在驗證這種算法正確以后，才利用這種簡便算法進行運算。比如12+5-2=12-2+5=15，28+6-8=28-8+6=26，這兩個算式都證明先加再減與先減再加結果是一樣的。

生3：我想象了一個場景，假設一列火車上原來 有158名乘客，當火車到達一個站點后，上來26人，下去58人，現在火車上有多少名乘客？我考慮到不管是先上來26人再下去58人，還是先下去58人再上來26人，最后火車上乘客的數量是一樣的。由此，我確定了158+26-58=158-58+26。

師：用字母表示上面的式子就是“a+b-c=a-c+b”。

當數學和生活密切關聯時，數學才是活的，才是富有生命力和吸引力的。教學中，3名學生對于數學算理的認知呈現出明顯的遞進性。生1對“a+b-c=a-c+b”的認知處在比較淺顯的層次，知其然不知其所以然;生2能夠運用多個式子來驗證“a+b-c=a-c+b”，可見其思維具有一定的嚴密性;生3把生活實例與抽象的數學算理相結合，使得對算理的理解變得更加容易，也更加深入。

三、在幾何直觀中理解算理

課標指出，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。數學圖形以其直觀性成為破解數學知識抽象性的重要手段，為我們解決數學問題提供了強有力的幫助。在教學中，教師合理利用幾何直觀的策略，能夠使抽象的算理變得直觀，從而促進學生對算理的認識和理解，提升學生的運算能力。

【例4】 “小數乘小數”教學節選

師：請同學們看下圖，并試著計算街心廣場、花壇和地磚的面積。

生1：由長方形的面積公式可以得知，街心廣場的面積是20×30=600（平方米），花壇的面積是3×2=6（平方米），地磚的面積是0.3×0.2，具體得數我不清楚。

生2：小數乘小數應該怎么算呢？

生3：0.3米=3分米，0.2米=2分米，3×2=6（平方分米）=0.06（平方米）。因此，0.3×0.2=0.06。

生4：這種轉化比較麻煩，而且也不好理解。

師：現在請同學們看下面的圖形，你能說一說圖形表達的意思嗎？

生5：根據圖形可以得知，把面積為1平方米的大正方形平均分割成100個小正方形，每個小正方形的邊長是0.1米，面積是0.01平方米。3×2的長方形的長是0.3米，寬是0.2米，面積等于6個小正方形的面積，即0.01×6=0.06（平方米）。因此，0.3×0.2=0.06。

生6：有了這個圖形，問題變得更加簡單了。

直觀圖形在促進學生理解算理的過程中具有重要作用。教學中，學生通過自主探索，采用轉化單位的方式計算出0.3×0.2=0.06，但是由于缺乏直觀圖形的支撐，學生對算理的理解還處在比較朦朧的狀態。教師引導學生通過觀察、分析“百格圖”，使抽象的數學算理變得清晰可見，學生對0.3×0.2=0.06的理解更加深刻。

理解數學算理是構建數學算法、形成計算能力的重要環節。“授人以魚，不如授人以漁”，在計算教學中，教師應引導學生把計算建立在對算理的深刻理解之上，使學生掌握的數學算法更加扎實穩固。學生只有深刻地理解了算法背后的算理，才能在計算中靈活運用算法，從而穩步提升運算能力。

（責編 楊偲培）