“生命數學”教學中數學思維的生長之道

【摘 要】教學蘇教版五下《圓的面積》一課，對教材內容進行大膽“取舍”，舍去煩瑣的數數、計算、告知，力求激發兒童猜想、驗證、建模，這有助于知識更自然地進入課堂，喚醒學習潛能，促進兒童的數學思維更好地生長。

【關鍵詞】生命數學;數學思維;猜想;驗證;建模

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）09-0011-03

【作者簡介】周麗琴，江蘇省宜興市陽羨小學（江蘇宜興，214200）教導主任，高級教師，宜興市數學學科帶頭人。

【設計理念】

1.舍“繁”求“趣”，支持“大膽猜想”。

美籍匈牙利數學家波利亞認為，合情推理就是猜想。《義務教育數學課程標準（2011年版）》也明確指出了合情推理的重要性，提出“數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維”。在探究圓面積計算方法的教學中，教師一般會先引導學生把以r為邊長的正方形與圓進行對比，直觀感知圓面積可能是正方形面積的4倍少一些，3倍多一些;然后在教師指導下，分步、分組用數方格和計算的方法得到三個圓的面積;最后得到圓面積和小正方形面積的關系，進而發現圓面積是小正方形面積的3倍多一點。這種按部就班的推導活動，會在一定程度上限制學生的創造性思維。因此，筆者設計了“猜一猜”的環節，讓學生自由說說“這個3倍多一點可能會是哪個數”，直接把關于圓面積的猜想推到了πr2。其間，舍去了多次數方格的煩瑣，壓縮了探究時間，借助“三次猜想”，一步步逼近知識核心。

2.舍“近”求“遠”，支持“殊途同歸”。

在探究新知的過程中，學生應該有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。因此，筆者根據學生的不同起點嘗試通過轉化進行認知突破，大膽舍棄了面積的直接計算，給足時間和空間讓學生經歷實驗過程，感悟公式推導的多樣性，驗證猜想的正確性。學生通過把圓轉化成長方形、三角形、梯形等不同的圖形，動手、動口、動腦，最后殊途同歸得出了圓面積計算公式。這些不同的研究素材既保證了研究對象的豐富性，又保證了學生參與探究活動的積極性。按照教材的安排，本節課要應用圓面積計算方法解決實際問題。為了最大限度地讓學生看到平面圖形之間的緊密聯系（通過剪拼可以相互轉化），充分感受演繹推理的力量，經歷知識結論的形成過程，筆者果斷舍去面積計算的部分，把更多時間放在不同的轉化上，讓學生經歷了完整的“破繭成蝶”的過程，沉浸在思維之旅“原來也可以如此”的興奮之中，真正讓知識進入學生的生命，從而浸潤其生命。

3.舍“魚”求“漁”，支持“曲徑通幽”。

數學是抽象的，怎樣使抽象的知識具象化？如何幫助學生實現意義賦予？是直奔結論地照本宣科，還是曲徑通幽地自主跋涉？無疑，舍“魚”求“漁”的探尋更有利于學生數學思維的培養。建模的過程其實就是歸納的過程。圓的面積和以前學過的平面圖形的面積有著截然不同的思考角度，為什么不可以把兩個完全相同的圓拼成我們學過的圖形？為什么沿著直徑剪圓后不能拼成我們學過的圖形？筆者試著讓學生自己找原因，從而得出：沿著直徑剪開得到的半圓無法拼成我們學過的圖形;沿著半徑平均分成四份，看拼成的圖形，有點像平行四邊形，為了使它更像平行四邊形，平均分的份數應該更多。然后讓學生說出自己想平均分的份數，電腦隨機演示16等分、32等分、48等分、200等分、1000等分……直至學生聯想到把圓無數等分時拼成的就是一個長方形。這種“化曲為直”“化曲為方”的方法，可以幫助學生的思維從“合情”走向“合理”。

4.舍“知”求“識”，支持“思緒放飛”。

本節課，教材的安排是轉化成長方形后推導出圓面積的計算方法，然后運用公式解決實際問題。在大部分學生都能掌握這種轉化的背景下，筆者思考：就一種轉化是否顯得過于單一？這樣的安排是否還是傳統的知識學習課堂？基于此，為了更大限度地拉伸學生思維的張力，釋放學生生命的潛能，體現“生命課堂”的精髓，筆者大膽引導學生多線并進（轉化成長方形、三角形、梯形），經歷了“定向（想轉化成什么圖形）—操作（怎樣轉化）—比較（轉化前后圖形的聯系）—推理（從已知推出未知）”的探究過程，最終殊途同歸，得到圓的面積的計算方法。

【主要教學片段】

1.提出猜想，初步驗證。

（1）提出猜想：以正方形的邊長為半徑畫一個圓，正方形的面積可以怎樣表示？看著圖形猜一猜，圓的面積大約是正方形的幾倍？你是怎么想的？如果每個小方格表示1平方厘米，你能用數方格的方法算出圓的面積嗎？要使得到的面積更準確，你準備怎樣數？

（2）適時小結：我們通過猜測—數方格—計算，最終發現圓的面積總是正方形的面積的3倍多一些。

2.再次猜想，溝通聯系。

（1）繼續猜想：再大膽猜測，這個“3倍多一些”可能會是什么數？

（2）回憶溝通：回想一下，上學期我們學習的平行四邊形面積計算公式是怎樣推導的？由此可見，一種新的圖形的面積計算公式，我們一般可以怎樣推導？那圓的面積計算公式我們可以怎樣推導呢？

（3）探索轉化：看著圓想一想，要把它轉化成我們想要的圖形，你準備怎么辦？（拼一拼）能不能把兩個完全一樣的圓拼成我們已經學過的圖形？（不能）那怎么辦？（剪一剪）怎么剪？（沿著直徑剪）好，聽你的，把它沿著直徑剪開，能不能拼成我們學過的圖形？（不能）那怎么辦？（沿著半徑剪）

（4）感受“化曲為直”：這是沿著半徑把圓平均分成四份，看拼成的圖形，有點像什么？（平行四邊形）為了使它更像平行四邊形，你覺得應該怎么樣？（分得更多）你想把它平均分成多少份？（16、32、48、1000……）繼續這樣平均分成無數份，拼成的就是一個——（長方形）

（5）思索多種拼法：這是把圓平均分成16份后的小扇形，想辦法拼成我們學過的圖形。

3.操作驗證，殊途同歸。

（1）展示拼法：學生拼成的有長方形、梯形、三角形。

（2）推導公式：重點研究轉化成長方形的情況。看著這兩個圖形想一想，拼成的長方形與原來的圓有什么關系？誰來說一說你的發現？

（3）探究其他轉化。

來看轉化成梯形的情況。梯形的面積怎么算？拼成梯形的上下底之和相當于圓的什么？梯形的高又相當于圓的什么？根據梯形的面積計算方法，怎樣計算圓的面積？

再一起來研究拼成三角形的情況。三角形的面積計算公式是什么？你能像研究前兩種情況那樣來研究這種情況嗎？能根據三角形的面積計算方法來計算圓的面積嗎？還有沒有用不同方法也推導出了圓面積計算公式的？（根據一個小扇形的面積再乘16也可以推導出圓的面積計算公式）

（4）溝通不同轉化之間的聯系：剛才，我們把圓轉化成長方形、梯形、三角形，推導出了圓的面積計算公式，從而驗證了我們前面的猜測是正確的。同學們，猜想、驗證、轉化都是數學學習中重要的思考方法，我們在以后的學習中要注意運用它們來探究新的知識。

4.全課總結。

這節課，你有什么收獲？哪些地方給你留下了深刻的印象？

【教后反思】

本節課對教材進行了二度開發，省略了面積計算環節，引導學生對圖形轉化的多樣性進行了探究，使學生的生命潛能得到了釋放，他們有了充足的時間進行自主探索。不少學生反饋，通過本節課的學習，感受到了數學的樂趣，知道了原來再多思考一點可以發現更多更美的風景。當課堂留給學生的不僅僅是知識，還有情感的需求、思想的激勵時，就是生命數學的最大呈現，也是筆者執教這節課最大的收獲。然而，因為一節課時間有限，很多環節未能充分展開，像數方格、公式推導等都未能給更多學生表達的機會。另外，本節課不少問題都具有較強的思考性，如為什么要沿著半徑剪？圓轉化成梯形、三角形后公式怎么來推導？教學時未能顧及大多數學生的接受能力，且因為研究對象的多樣性，影響了一些學生對圓轉化成長方形后的理解。

在以后的教學中，筆者一定注意把“為了人，為了發展師生的生命”作為出發點，把“生成人，生成師生的健全生命”作為落腳點，以期最大限度地釋放學生生命的潛能，促進學生的數學思維更好地生長。