基于數學抽象談初中數學符號意識的培養

【摘 要】與小學數學相比，初中數學的抽象化、符號化特點更加明顯。學生在接觸新的數學符號時，不易理解其內涵，容易混淆概念。造成這一現象的主要原因是學生僅是被動地接受教師的教學，缺乏主動探究的精神，不理解符號的來源。教師在教學過程中可以多途徑、多角度地解讀數學符號，引導學生理解其合理性，從而培養學生的符號意識。

【關鍵詞】初中數學;數學抽象;符號意識;教學設計

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0046-02

數學抽象是數學學科的基本思想，是形成嚴謹的理性思維不可或缺的基礎。數學抽象反映了數學的本質屬性，且能夠運用于其他學科，可以解決很多問題。數學抽象主要指從數量和數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號和數學術語予以表現。而在義務教育階段，符號意識則是數學抽象的最直接體現。符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性[1]。因此，培養學生的數學抽象核心素養，應當重視義務教育階段對學生符號意識的培養。

數學教學活動是數學學科素養培養的主要途徑，教師的教學設計要依據課程標準的要求[2]。在此背景下，本文主要以人教版七年級下冊“實數”章節中的“平方根”為例，探討在數學課堂上培養學生符號意識的教學策略。

1? ?教學分析

1.1? 教材分析

“實數”是人教版義務教育課程標準實驗教科書數學七年級下冊的第六章。實數是義務教育階段數學四大模塊中“數與代數”的重要內容。本章的主要內容有開方運算、平方根、立方根、無理數和實數等概念及其相關基本運算[3]。經過本章的學習，學生對數的認識將從有理數的范圍擴大到實數的范圍，是數的第二次擴充，且完成了義務教育階段數的擴展。義務教育階段課程標準對于實數章節的要求如下：通過教學讓學生了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根;體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，理解實數;掌握必要的運算（包括估算）技能。實數章節是進一步學習二次根式、一元二次方程以及函數等知識的基礎，因此，讓學生正確而深刻地理解實數的概念是非常重要的。無理數的引入和數系的擴展體現了對立和統一的辯證關系及分類思想。本章不僅能完善學生的知識結構，而且還是培養學生想象能力、滲透數學抽象、使學生感受數學符號的有效載體，也是發展學生邏輯思維能力的重要內容。

1.2? 學情分析

本章節即將學習一種新的運算——開方運算，由于開方與乘方是互逆運算，部分學生對于這部分的知識理解會存在一定難度。教學中可以通過圖形展示互為逆運算，突出互逆過程，揭示開方運算的本質，讓學生直觀感受根號的意義。在理解平方根的意義和表示之后，學生能夠類比學習，自主推導出立方根的定義及表示方法。對于實數的運算，基于有理數的運算順序與法則，學生可以在舊知識的基礎上學習新知識，使學習形成正遷移，易于掌握相關運算。且本章不涉及二次根式的內容，雖然數系有一定的擴充，但數的運算法則和運算律都沒有發生變化，所以學生在運算方面不會有太大的困難。

2? ?教學策略

2.1? 課堂引入——感受數學符號的簡潔性

每一個數學符號的出現，都為數學學科注入了新的活力，極大地推動了數學學科的發展。因此，數學的符號化是數學發展的內在動力。世界上現有的數學符號有200多個，義務教育階段就有20多個。數學符號具有簡潔性、抽象性、科學性等特點。如乘號與乘方均可明確地表示代數運算：3×2=2+2+2=3+3，25=2×2×2×2×2;等幾何圖形的符號則抽象出相應圖形基本特征以及幾何圖形之間的關系，表達形象;類似于乘法分配律a（b+c）=ac+bc的符號避免了冗長的語言敘述，也避免文字理解可能產生的歧義，以最簡單的方式體現了運算的規律。而本章學習的（a≥0）表示實數a的算術平方根，比自然語言表達更簡潔，便于揭示開方運算的本質，便于進行實數運算，利于表述、分析和解決問題。

2.2? 問題探究——體會數學符號的合理性

數學中數系的不斷擴充是為了解決生活實際的新問題。為了解決一類問題——已知正方形面積或體積，求其邊長或棱長，根號應運而生。教學過程中，教師以不同面積為例，讓學生求其邊長，并引導學生感受乘方與開方是互逆運算，而后通過圖片（如圖1）直觀地感受互逆運算，有利于學生對概念的理解以及后續內容的學習。

學生每學習一種新的運算，就會認識一個新的數學符號。而每一個數學符號的產生都是經過長時間的發展，才逐漸演變成今日大家所熟悉的符號。如小數點，最開始人們將小數部分降一格寫，但這與整數部分的差別并不明顯。而后改成用豎線隔開，但豎線與數字1又容易混淆。接著改成用逗號隔開，但也容易與自然語言中的逗號產生誤解。因此，最后演變成一個小圓點，避免了以上的困境。而根號的書寫方式也是經過數百年的不斷改進，逐漸完善的。

最開始，數學家用根的首字母，或大寫或小寫來表示如今的根號，但并未完全統一。之后德國人便開始用一個點來表示方根，如·3表示3的平方根，··3表示3的4次方根，這種表示方式較為繁瑣且容易產生歧義。16世紀初，人們用小點帶上一條小尾巴來表示根號，就像一個小蝌蚪，書寫較為困難。1525年，德國數學家魯道夫首次用√8表示8的平方根，雖然這是目前最簡潔的表示方式，但隨之而來的新問題差點釀成大禍，原因是“√”的開方對象并不明確，無法確定它能對后面幾個數字或幾個項進行開方運算。最終，笛卡爾對其進行了改進，解決了此問題。他在小鉤子上方用直線把開方的對象畫在線內，上方直線起到了括號的作用，就變成了現在國際上廣泛使用的根號了。之后，n次方根符號在根號的基礎上也出現了。此部分可由教師為學生提供微課學習資源，供學生深入了解。

2.3? 練習鞏固——強化語言互譯能力

符號意識的培養離不開符號語言、圖形語言、自然語言的互譯。因此，在新知講解之后，教師需要通過練習多方位檢測學生的學習成果。

練習1：下列語句寫成數學式子正確的是（? ）

3? ?回顧反思

學生的符號意識培養不在一朝一夕，教師應當把握每一節數學課堂，精心設計，循序漸進，螺旋上升。對于實數章節，教師可通過多種方式鞏固學生對于根號的理解。在今后的學習中，學生還將接觸二次根式，用根號來表示更為一般化的二次根式的運算規律等。在平時的課堂教學中，教師要對新學習的數學符號進行挖掘和深究，通過多角度、多方位地設計課堂環節，讓更多的學生知其所以然，讓學生了解數學符號的來龍去脈，掌握其本質規律以及應用方法，從而體驗數學符號的優越性與抽象性，促進學生符號意識的發展、抽象思維的形成。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]劉鑫.數學教學，要為新知引入找理由——以“平方根”（第1課時）為例[J].中小學數學（初中版），2021（6）.

[3]劉超.根號的歷史及其啟示[J].中學生數學，2011（10）.

【作者簡介】

林霄霞（1994～），女，漢族，福建莆田人，本科，二級教師。研究方向：中學數學。