整體思想在解決初中數學一元二次方程中的應用

賈應龍

【摘要】在數學教學中，整體思想是學生學習數學知識的一種重要的思想方法.在初中階段，借助整體思想，可以從數學問題的整體形式、整體結構、整體特征對數學問題進行處理，以此來獲得解題方法.所以，在初中階段的數學教學中，對于一元二次方程的教學，教師可以引導學生在掌握其基本概念與知識的基礎上，使用整體思想來解決問題.因此，本文對整體思想在初中數學一元二次方程中的應用進行了分析，旨在幫助學生掌握更多的解題方法.

【關鍵詞】整體思想;初中數學;一元二次方程;應用方法

在初中階段，數學是學生學習的重要學科，在數學教學的過程中，一元二次方程不僅是教學的重難點，同時也是發展學生數學思維的重要途徑.所以，在實際教學中，教師不僅要為學生講解一元二次方程的基礎知識，還要引導學生分析其中蘊含的思維活動，以此來幫助學生形成整體思想.在數學這門學科中，整體思想作為學生學習數學知識的有效思想方法，對于指導學生解決數學問題有著重要的作用.因此，在數學課上，教師就要引導學生在了解一元二次方程基本知識的基礎上，使用整體思想解決數學問題.

一、整體思想概述

整體思想作為一種數學思想方法，其是以問題的整體性為出發點，側重對問題的整體結構進行分析，以此來了解問題的整體結構特點，并使用“集成”的眼光，將一些式子、圖形看作一個整體，從而掌握其中存在的關聯性，然后對問題進行有目的的整體處理.整體思想的表現形式，主要體現在整體觀察、整體代入、整體換元、整體構造、整體聯想等方面，其在代數式的化簡求值、解方程等方面都有著廣泛的應用.

二、一元二次方程教學中存在的問題

（一）忽視學生主體性

在初中階段，數學的教學過于突出知識與技能的傳授，過于凸顯教師的作用，忽視了學生的主體性.一元二次方程作為數學教學中的重點內容，很多教師過于強調基礎知識，并通過大量的習題對學生進行強化訓練，忽視了學生對數學思想方法的掌握，這就難以使學生了解整體思想的作用，難以利用整體思想來學習知識.

（二）忽視整體思想滲透

在初中的數學課上，對于一元二次方程的教學，教師過于重視公式、性質、定理的應用，忽視了學生對知識形成過程的探索，以及學生思維品質的培養.在實際的學習中，學生難以積極主動地參與到數學實踐探索中，對于一元二次方程這些有意義的學習活動難以進行有效的學習，學生就失去了學習數學思想方法的機會，也難以形成整體思想.在這種學習情況之下，學生的實踐與創新能力難以實現有效的發展.

（三）忽視學習方法指導

在新課改背景下進行一元二次方程知識教學的時候，很多教師雖然在不斷進行教學方法創新改革.但是，他們在進行教學方法改革時，卻并沒有認識到學法指導的重要作用，導致教學效果較差，學生雖然掌握了知識，但是卻出現了知其然不知其所以然的情況，自主解決問題能力以及學習能力都不盡如人意.不僅沒有實現預期的教學目標，甚至還對學生數學成績的提升以及綜合素質的全面發展都產生了極大的消極影響.

（四）缺乏精講精練指導

現在很多初中數學教師在開展一元二次方程教學的時候，雖然放棄了題海戰術，想要展開精講精練，但是卻出現了少講少練的情況，沒有深入地分析講解的重難點內容，更多的還是照本宣科地按照教材展開知識的講解，并引導學生死板地進行模仿練習，所提供的練習題目也缺乏層次性與針對性，存在大量的重復題型，學生只會死板地套用定理與公式解題，并不清楚知識間存在的聯系，導致了學生很難應用所學知識解決實際問題.

三、整體思想在解決一元二次方程中的應用方法

（一）整體觀察，尋找解題思路

從整體思想的特點分析來看，它是一種以宏觀的角度來觀察、分析事物的整體結構的思想，側重從整體上來揭露事物的本質.縱觀數學發展史，很多科學家都具備善于觀察的能力，他們能夠在眾多的事物中發現獨特之處，比如縱有千萬人見過蘋果自然掉落，唯有牛頓發現了萬有引力定律.可以說，在數學學習中，觀察是解決數學問題的重要手段，通過對問題的整體觀察，可以使學生發現問題的特點，從中發現某些帶有規律性的內容，從而找出解題思路.

（二）整體代入，簡化數學問題

初中階段是一個承上啟下的階段，此階段的數學教學十分關鍵，所以在此階段，教師必須突破傳統觀念，拋棄理論知識灌輸、布置大量作業、題海戰術等思想，讓學生從數學思想的角度來思考數學問題，引導學生在學習過程中體會整體思想.在數學的整體思想中，整體代入則是其重要的思想之一，它能夠將復雜的問題簡單化，降低數學知識的學習難度，幫助學生有效地掌握數學知識.

例如，對于“一元二次方程”的教學，教師在指導學生學習一元二次方程的基本概念時，為了幫助學生理解整體代入思想，可以通過一道例題將這個思想呈現出來.首先，在上課之初，教師先將例題以板書的形式寫在黑板上：x=25，求x5+x4+x3+x2+2x-1的值.觀察這個算式，若是直接將x的值代入多項式中，不僅運算步驟非常復雜，還非常容易出錯.所以，教師可以為學生提供一些啟示，讓學生思考一下最近這幾節課學習的知識，然后讓學生依據所學知識自己進行演算、化簡，以此來提升學生獨立思考問題的能力.最后，從學生的計算過程來看，很多學生都是直接將x的值代入其中.此時教師可以指導學生探索多種的解題方式，比如對原式進行簡化，并讓學生觀察其中的變化，通過分析學生很快就會得出答案.

從整節課的教學來看，學生逐漸地認識到有些數學問題若是用常規的方法來解決，則很難獲得良好的效果.所以，此時必須轉化解題思路，從宏觀的角度對問題的整體進行分析，將數學問題簡化，降低學習的難度.因此，在實際教學的過程中，教師需要引導學生觀察問題的整體結構，對已知條件進行分析，從中探索有效的、簡便的解題方法.

（三）整體換元，凸顯解題便捷性

在數學整體思想中，整體換元是一種重要的思想.在具體數學問題的解決中，可以將某個式子看作一個整體，并使用一個變量去代替它，以此來實現問題的簡化，此為換元法.從整體換元的實質來看，其就是一個轉化的過程，關鍵在于構造元和設元，其理論依據是等量代換，目的是將研究對象變換，將原有的問題轉移到新對象的知識背景中研究，從而將非標準化問題轉化為標準化問題，將復雜化問題轉化為簡單化問題，使數學問題變得容易處理.整體換元思想可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，在一元二次方程的研究中有著廣泛的應用.

例如，在“一元二次方程”的教學中，一些題目應用整體換元法解方程可以使學生體驗解題的簡便性，培養學生思考的完整性.例1：解方程：（x2-5x）2=36.該方程屬于高次方程，解方程的途徑主要是對其進行降次，將其轉化為低次方程，而元的構造則是比較多樣的，可以依據題目的具體情況進行分析，既可以是單項式，也可以是多項式.例2：解方程：x-3+2x-3=3.解這種根式方程，最優的途徑是將其轉化成整式方程，在這個過程也需要進行換元，對于元的構造建議使用整個被開方式.同時還需要注意二次根式的意義——非負性，因此換的元在取值方面有限制.例3：解方程：3x2+3x=2x2+x+1.解這種分式方程，常規的方法就是通過去分母，將其轉化為整式方程.但是在去分母之后得到的是高次方程，解法有一定的難度.由于分母是二次的，所以可以將分母進行換元，將其化為分母是一次的分式方程，這樣解題會更容易一些.

（四）整體構造，降低問題難度

在初中階段的教學中，利用整體構造法解一元二次方程是數學解題技巧之一，利用這個方法，可以將解方程的過程化繁為簡、化難為易，具有事半功倍的效果.因此，在數學課上，教師要引導學生掌握這種解題技巧，幫助學生掌握一元二次方程的知識和解法.首先，利用方程的定義構造一元二次方程.例如習題：已知兩個不相等實數a，b，滿足條件a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，求ba+ab的值.對于這個方程，若是按照常規的方法來思考，需要從已知的兩個式子中求出a和b的值，但是a與b各有兩個值，這就需要分四種情況進行討論，這樣解起來比較煩瑣.所以，就可以考慮將a和b看作是方程x2-6x+4=0的兩個實數根，然后利用一元二次方程根與系數的關系，計算出：a+b=6，ba+ab=b2+a2ab=7.其次，利用韋達定理的逆定理構造一元二次方程.當題設條件具備x1+x2=p，x1x2=q時，便可以使用韋達定理的逆定理構造一元二次方程x2-px+q=0來解題，即將x1，x2看作方程x2-px+q=0的兩個實根.最后，利用換元法構造一元二次方程.在解含有多個變元的等式時，可以將等式整理成關于某個字母的一元二次方程.

（五）整體應用，解決數學問題

在初中階段，數學教材中有很多較為復雜的算式，對于這些知識的教學，教師可以先引導學生使用整體思想對其進行觀察、分析，然后使用整體思想進行解題.例如，對于“一元二次方程”這節課的進一步教學，教師可以利用習題幫助學生鞏固知識，幫助學生靈活地掌握一元二次方程的知識.例（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值.講解時可以讓學生以小組為單位對問題進行討論，學生會激烈地參與到討論中，盡管課堂氛圍非常活躍，但是學生并沒有抓住解題要領.最后，在學生全面對這個問題進行分析后，教師可以指點學生，讓學生將（a2+b2）看作一個整體，再次進行討論，學生此時就會反應過來，本題的實質就是以（a2+b2）為未知數的一元二次方程的一般形式.從整個問題的分析過程來看，利用問題研究整體形式，并對式子進行處理，這樣就可以使學生較容易理解題目的內涵，學生便可以快速地解決問題.因此，在數學課上，教師在引導學生學習知識時，要幫助學生學會抽絲剝繭，在復雜的問題中發現題眼，將復雜的問題簡單化，這不僅可以提升學生解題的效率，還能夠幫助學生理解整體思想在數學問題中的重要應用.

結束語

總而言之，在學生解決數學問題的過程中，整體思想作為關鍵的解題思想之一，不僅可以完善學生的認知結構，還可以將復雜的問題簡單化，幫助學生實現數學思維的發展.因此，在數學課上，教師要指導學生靈活運用整體思想，幫助學生在掌握一元二次方程基本概念與基礎知識的前提下，體會整體思想在解題過程中的應用，幫助學生掌握更多的解題技巧，以此來提升學生的數學解題能力.

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