分類討論思想在側重教學中的應用策略探討

張進華 朱樹方

摘 要：在初中數學的教學中，解決問題的方法往往不止一種，例如，數學歸納法、建立數學模型法、數形結合、分類討論，等等，而分類討論的方法是一種解決數學問題上一種常用的方法，是一種重要的數學思想。學生在學習數學的過程中往往會因為雜亂的知識點，就認為數學學習起來很困難，而分類討論思想可以將遇到的知識點分類，還可以解決一些問題，例如數字，可以將它細分為“自然數”“無限循環小數”“復數”等等。還有很多例如將代數式進行分類，分類討論思想可以將數學中的復雜問題簡單化，從而提高學生的學習興趣，同時能夠提高教師的教學有效性。

關鍵詞：初中數學;分類討論的思想;分類討論的應用

一、 引言

分類討論的思想就是，將一個復雜的難以解決的問題按照一定的規律拆成很多小問題，將這些小問題逐一分類，拆解的小問題肯定要比最開始的那個大問題簡單，學生解決了每一個小問題，然后不管多難的問題學習都能夠解決，而有一些問題，可能會有多種解決辦法，教師應該引導學生盡可能地考慮周到一點。在教學初中數學時，分類討論的思想的應用特別廣泛，在平常的課后作業、考試試卷上都存在，教師應注重培養學生應用分類討論的思想，將復雜的問題簡單化，教師應該閱讀足夠的書籍，掌握在這一方面的知識，并結合自身的教學經驗，將生活中的一些分類實例帶到課堂上去，多樣化豐富自己的初中數學教學過程，讓學生在解決問題的同時獲得喜悅感和成就感，從而提高對學習數學的興趣，能夠都積極主動地參與到老師安排的教學活動中去。讓學生在學習數學的過程中進行分類討論思想的培養，教師應該將書本上枯燥的例子轉變出一個個生動的場景，好好把握培養學生分類討論的思想的機會。

二、 教師培養學生分類討論思想的策略

首先，對于一個學生從來沒有接觸過的題型，教師可以引導學生將這個陌生的題，拆成學生熟悉的題，而又應該怎么做呢？

（一）對比自己熟悉的題，充分發揮自己的聯想能力

在解決陌生的題之前，學生應該對比自己做過的題目，充分發揮自己的聯想能力，回憶做題用的知識點和方法，還有結論，解決現在能夠解決的簡單問題，在復雜問題中多解決一點自己能夠解決的小問題，原來的復雜問題不就簡單了。

（二）充分理解題給條件，多考慮幾個方面

在數學中解決同一個問題的方法往往不止一個，可以通過很多種方法做出來。學生可以充分運用自己所學習過的知識和自己做題的經驗，有助于學生更加了解這道題的題意，這樣更有利于學生尋找適合這道題的分析和解決方法，從而更快地解決問題。

（三）適當設置輔助參數，降低題目難度

在初中數學題目中，同一種題目可以有很多種表現形式;而在題目條件和已知結論或問題之間，其實存在很多的聯系。所以適當設置輔助參數，可以降低題目難度，建立問題、條件、已知結論的聯系橋梁，將學生不熟悉的復雜題，轉換為學生明白的簡單題。

在學生將題目條件和問題從多個方面分析清楚后，教師可以引導學習進行獨立解題，讓學生尋找問題簡單化的多條路徑，告訴學生簡單化的一種好辦法是“尋找中間環節”，在解題過程中學生可以去尋找一個復雜過程中的簡單的中間過程，教師可以引導學生多去尋找題目的中間過程，去分類討論中間過程。

三、 分類討論法在實際教學的應用

（一）在求解方程系數時，運用分類討論思想

（二）在求解代數式時，運用分類討論思想

代數式在初中數學的教學中是一大難點，代數式比解方程、幾何圖形、函數都難，是因為代數式的靈活性，學生不僅僅需要將代數式的性質、概念、變換法則、公式弄懂，還要懂得靈活運用，所以在解決問題的時候需要學生能夠合理分析題目的所給條件，靈活應用分類討論思想，將分類討論思想變成打開這道題答案大門的鑰匙。

點評：這道題目考查了學生對于絕對值的理解、分析和運用，當絕對值符號中的值大于零，拆掉絕對值符號后，正常帶入其中的值，當絕對值符號中的值小于零，拆掉絕對值符號后，將其中的值改為負值。

（三）在求解點坐標位置題目時，運用分類討論思維

一些題目中的條件不夠明確，導致圖形題目的點坐標求出來不止一個，如果學生沒有考慮全面，會時常發生有的答案沒有解出，將會導致題目不能完全正確。

分析：通過題目所給的條件，可以知道交坐標的兩點分別是（2，0）、（0，-2），由于題目沒有明確指出A、B兩點那個點在x軸，那個點在y軸，就可以分別將（2，0）、（0，-2）設為A點、B點，可以明確知道的是AB是三角形的一條邊，但是不知道究竟是哪一條邊，同時也不知道C點的位置，這時應該運用分類討論法。

解：（1）當AB為三角形的底邊時，點C它一定在AB邊的中垂線上，而且一定與坐標原點重合，即（0，0）;

（2）當AB為三角形的直角邊時，因為C點一定在坐標軸上，所以這時又分為兩種情況：

①點C在x軸上，可以找到（-2，0）這個點;

②點C在y軸上，可以找到（0，2）這個點。

綜上所述，滿足題給條件的C點有3個，分別是（0，0）、（-2，0）、（0，2）所以應該選擇B答案。

點評：學生應該充分挖掘題意，理解出題者的意圖，從多個角度分析題目條件，弄清楚滿足題目各種可能情況，圖形題目學生可以通過畫草圖的形式來加強對題目的理解，最好考慮方向時能夠按照一定的順序來，否則會有的答案沒有考慮到。

（四）在求函數題目時，運用分類討論思維

例4 為增強公民節水意識，合理利用水資源，某市采用“階梯收費”，標準如下表：

如果該用戶5、6月份共用水20m3（6月份用水量超過5月份用水量），共交水費64元，則該戶居民5、6月份各用水多少立方米？

分析：由于題目沒有指明用戶，這5月用了多少水，在6月用了多少水，但是交的水費是知道的，所以可以通過固定的水費來分類討論5月、6月各自的水費。應分情況討論：5月份不超過6m3，6月份10立方米以上;或5月份超過6m3，在6-10立方米之間;以及5月份在10m3以上分別分析即可得出答案。

解：（3）①當5月份用水不超過6m3時，設5月份用水xm2，則6月份用水（20-x）m3，

根據題意得出：

2x+2×6+4×4+8（20-x-10）=64，

解得：x=22/3>6，不符合題意舍去。

②當5月份用水超過6m3時，但不超過10m3時，設5月份用水xm3，

則2×6+4（x-6）+2×6+4×4+8x（20-10-x）=64，

解得：x=8<10符合題意。

③當5月份用水超過10m3時，根據6月份用水量超過5月份用水量，

故不合題意。

所以5月份用水8m3，6月份用水量為12m3。

點評：這道題主要考查的是學生理解題意、列方程的能力，在初中數學中函數是應該讓學生頭痛的類型，主要是因為函數需要考慮的角度實在是太多，一不注意就可能少一到兩點，教師應該加強學生對于解函數題目的能力。

四、 結語

綜上所述，教師應該先弄懂分類討論思想的作用，再通過專項訓練，來培養學生的分類討論思想，引導學生對于陌生的題目，對比自己熟悉的題，充分發揮自己的聯想能力，充分理解題給條件，多考慮幾個方面適當設置輔助參數，降低題目難度，引導學生尋找中間環節，實現復雜問題簡單化，使用分類思想，簡化已知條件，這樣解決陌生復雜的題目速度更快。讓學生在學習數學的過程中進行分類討論思想的培養，教師應該將書本上枯燥的例子轉變出一個個生動的場景，好好把握培養學生分類討論的思想的機會。

參考文獻：

[1]王娟.試論初中數學教學中分類討論思想的應用[J].祖國，2018（5）.

[2]鄭雪梅.分類討論思想在初中數學教學中的應用[J].新課程，2020（36）.

[3]袁霞.分類討論思想在初中數學教學中的滲透[J].數理化解題研究，2015（18）.

作者簡介：張進華，湖北省仙桃市，仙桃市彭場挖溝小學;朱樹方，湖北省仙桃市，仙桃市彭場中學。