分類，讓問題變簡單

張水明

摘要：深化普通高中課程改革高三數學教師培訓活動中，筆者有幸上了一節有關“排列組合”內容的高三復習展示課，得到了與會專家與同行的一致認可。排列組合，在高考中一般以選擇題或填空題的形式出現，屬于中檔題。在考綱中則要求“會用排列數和組合式公式解決簡單的實際問題”。但這道題的得分率很低，究其原因，是學生忽視了最基本的思想方法——分類，或者不知道如何分類。下面對這節課作一個簡要的回顧，與大家探討。

關鍵詞：高中數學；突破思維；形成思維；遷移思維；鞏固思維

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）06-0108

本節課的主題是“排列組合的核心思想”，關鍵詞是核心思想，即遇到排列組合問題首先應該想到的、最重要的思想。本節課的教學目標只有一個——學會分類，學會數數。

一、導入新課，突破思維困境

首先，展示一張“垃圾分類”的宣傳圖片，揭示廣告語——垃圾分類，讓生活更美好。由此，引出本節課的核心思想——分類，讓數學變簡單。其次，復習排列組合的基本思想和基本方法。

基本思想：1.分清分類和分步；2.分類數數最有效；3.特殊優先；4.正難則反。

基本方法：（1）相鄰問題捆綁法；（2）間隔問題插空法；（3）分配名額插板法；（4）均勻分組要除序；（5）順序一定自動排。

分析近幾年的高考真題及各地的模考題，可以發現，高考重視的是對基礎的考查。就排列組合題而言，核心思想有兩條：①分類數數最有效；②特殊優先。

二、例題精講，形成思維

例1. （2019.4金華十校聯考）5位同學分成3組，參加3個不同的志愿者活動，每組至少1人，其中甲乙兩人不能分在同一組，則不同的分配方案有_______種。

解析：看到排列組合題，首先應該想到兩條核心思想：①分類數數最有效；②特殊優先。

而分類的核心在于找分類點，即想不清楚的地方。如例1，有兩個地方我們想不清楚：甲乙兩人分別在哪兩個組？三個組的人數分別是多少？若能弄清楚以上兩個問題，這個復雜的問題就簡單了。因此，我們先對特殊元素甲乙的位置進行分類，共有以下6類（將甲在第一組乙在第二組，簡記為甲1乙2）：甲1乙2、甲1乙3、甲2乙1、甲2乙3、甲3乙1、甲3乙2。根據甲乙對稱性（地位相等），6種情況等價。不妨設甲1乙2。接著，再對各組的人數進行分類，共有以下6類（若第一、二、三組的人數分別為1，1，3，簡記為（1，1，3）：（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1）（2，1，2）（ 2，2，1）（3，1，1）。至此，通過分類到極致，該題就變成簡單的實際問題。

所以，分配方案的種數為6×（1 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3） = 114。

例2.將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組每組至少一人，則不同的分配方案有______種。

解析：排列組合的核心在于分類，甲、乙、丙3個小組的人數我們不清楚，是分類點。抓住這個分類點，我們可以快速解決問題。

①當甲組3人，乙組1人，丙組1人時，方案種數為C35C12= 20。

②當甲組2人，乙組1人，丙組2人時，方案種數為C25C13= 30。

③當甲組2人，乙組2人，丙組1人時，方案種數為C25C23= 30。

所以，分配方案的種數為20 + 30 + 30 = 80。

錯誤解法：第一步，保證甲組2人，乙、丙組各1人；第二步，剩余1人隨機分配。此時，分配方案的種數為C25C13C12·C13= 180。錯誤的原因在于某一組的人分兩次進入，存在先后順序重復。

通過錯誤解法，讓學生實實在在地感受到分類的好處，不僅能夠化復雜為簡單，而且容易檢驗不重不漏，保證正確率。

三、習題演練，遷移思維

練習1.標有1，2，3，4，5數字的五個小球，放入標有1，2，3，4數字的四個不同的盒子中，要求每個盒子都有球，且恰有兩個球的標號與所放的盒子標號相同，求其放法種數。

師：看到排列組合題，首先應該想到的是什么？

生：分類。

師：對，分類讓問題變簡單。那么，分類點是什么？也就是什么地方讓你想不清楚？

生1：我不清楚哪兩個球的標號和盒子是相同的。

師：對，哪兩個標號相同想不清楚，需要分類。還有什么想不清楚？

生2：還有哪個盒子放兩個球不清楚。

師：也對，這些都是分類點。抓住這兩個分類點，問題就變簡單了。分類數一數，輕松搞定。

首先，對哪兩個球與盒子標號相同進行分類：1，2相同；1，3相同；1，4相同；2，3相同；2，4相同；3，4相同。由對稱性可知，六種情況等價，只需算其中一種即可，不妨設1，2相同。

①當1號盒子有兩個球時，共有3種放法。

②當2號盒子有兩個球時，共有3種放法。

③當3號盒子有兩個球時，共有1種放法。

④當4號盒子有兩個球時，共有1種放法。

所以，放法的種數為6×（3 + 3 + 1 + 1） = 48。

練習2.（2017浙江高考）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有______種不同的選法。

師：有什么方法可以把這個問題變簡單？

生3：對服務隊中女生的人數進行分類：女生有1人或者女生有2人。這樣，這個問題就變簡單了。

師：對，這就是分類點，也是這個題的關鍵點。抓住這一點，該題就迎刃而解了。請大家自己動手算一下，最后答案為多少？

學生完成后，電子白板上展示生3的書寫過程并給予表揚。

①當女生有1人時，C12C36·C14C13C22= 480。

②當女生有2人時，C22C26·C14C13C22= 180。

選法種數為480 + 180 = 660。

四、歸納小結，鞏固思維

基本的數學概念、基本的思想方法是高考數學的根，始終是考查的重點。就排列組合題而言，通過分類，可以使數學問題一點一點變簡單。通過本節課的學習，希望學生學會分類，讓數學變簡單，讓生活更美好。

參考文獻：

[1]王逸凡.高中數學分類討論方法的思考[J].高考，2017（36）.

[2]楊嬌娜.簡析分類討論思想在高中數學教學中的應用[J].課程教育研究：學法教法研究，2016（23）：122-122.

（作者單位：浙江省東陽中學322100）