核心素養視角下一道橢圓試題的探究

摘 要：在核心素養視角下，對一道關于橢圓三角形面積和定值問題進行多解探究和拓展探究，立足提升學生的數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養.

關鍵詞：參數;伸縮變換;多解;拓展;核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0017-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：羅文軍（1986.1-），男，甘肅省秦安人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：天水市“十三五”規劃2020年度教育科研課題“在高中數學圓錐曲線習題教學中培養學生數學學科核心素養的研究——以秦安縣第二中學為例”（項目編號：TS（2020）GH126）.[FQ）]

以直線與圓錐曲線的位置關系為背景考查三角形面積問題和定值問題是近幾年高考和各類模考試題中的熱點題型，這類試題可以很好地考查數形結合思想、分類討論思想和函數與方程思想，可以很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力等關鍵能力，可以很好地考查數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養.下面選取了一道關于橢圓內接三角形面積和定值問題的模考試題進行解法探究和拓展探究.

一、題目呈現

題目 （2021年甘肅省蘭州市高三聯考題）已知橢圓x2a2+y2b2=1，O為坐標原點，長軸長為4，離心率e=12.

（1）求橢圓方程;

（2）若點A，B，C都在橢圓上，D為AB中點，且CO=2OD，求△ABC的面積.

這道試題第（1）問考查了橢圓的幾何性質，第（2）問考查了橢圓的內接三角形面積和向量的綜合應用.

二、題目解析

1.第（1）問解析

解析 由題設可得2a=4，所以a=2，e=ca=12.所以c=1.所以b2=a2-c2=3.

所以橢圓的方程為x24+y23=1.

評注 根據橢圓的長軸長和離心率的定義，將已知條件代入解出長半軸長和半焦距的值，再根據b2=a2-c2解出b2值，從而得出橢圓標準方程.

2.第（2）問解析

解法1 設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由中點坐標公式，得D（x1+x22，y1+y22）.

因為CO=2OD，所以（-x3，-y3）=2（x1+x22，y1+y22）.

所以x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2）.

①當直線AB的斜率不存在時，則x1=x2，y1=-y2.所以C（-2x1，0）.代入橢圓方程可得x21=1.則直線方程可設為x=x1.將x=x1代入x24+y23=1，解得y=

±3（1-x214）.

所以|AB|=23（1-x214），S△ABC=12|3x1|·23（1-x214）=33（x21-x414）=92.

②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，聯立y=kx+m，x24+y23=1，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由根與系數關系，得x1+x2=-8km4k2+3，x1x2=4m2-124k2+3，y1+y2=k（x1+x2）+2m=6m4k2+3.

由弦長公式，得|AB|=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[64k2m2（4k2+3）2-4·4m2-124k2+3]=43（1+k2）（4k2-m2+3）4k2+3.所以x3=8km4k2+3，y3=-6m4k2+3.將點C坐標代入橢圓方程x24+y23=1，整理，得4m2=4k2+3.坐標原點O到直線AB的距離為d=mk2+1，SAOB=12|AB|d=12·43（1+k2）·3m24k2+3mk2+1=12·12m24m2=32.

因為CD=3OD，所以S△ABC=3S△AOB=92.

評注 根據中點坐標公式和向量的坐標運算表示出點C的坐標，把AB看成△ABC的底邊，再分直線AB斜率不存在和存在兩種情況計算△ABC的面積，特別地，當直線AB斜率存在時，聯立直線AB和橢圓方程，表示出兩根之和與兩根之積，表示出弦長|AB|和點C的坐標，再運用整體代換的思想可求出△ABC的面積.

解法2設A（2cosθ，3sinθ），B（2cosφ，3sinφ），因為D為AB的中點，所以D（cosθ+cosφ，32sinθ+32sinφ）.因為CO=2OD，所以C（-2cosθ-2cosφ，-3sinθ-3sinφ）.

因為點C在橢圓x24+y23=1上，所以3（-2cosα-2cosβ）2+4（-3sinα-3sinβ）2=12.

整理，得cos（α-β）=-12.所以sin2（α-β）=1-cos2（α-β）=34.

所以|sin（α-β）|=32，SAOB=12|23sinβcosα-23cosβsinα|=3|sin（α-β）|=32.

因為CD=3OD，所以S△ABC=3S△AOB=92.

評注 根據橢圓的參數方程設出點A和B的坐標，再表示出點C坐標，將點C坐標代入橢圓方程后根據三角恒等變換化簡，由同角三角函數平方關系式得出|sin（α-β）|的值，再根據三角形面積公式的有關結論：△ABC中，已知AB=（m，n），AC=（p，q），則△ABC的面積S=12|mq-np|，表示出△AOB的面積，從而得出△ABC的面積.

解法3在變換φ：x′=x2y′=y3下，橢圓x24+y23=1變為圓O：x2+y2=1，橢圓上的點A，B，C對應圓O上的點A′，B′，C′，對應點D′的為A′B′的中點，即C′O=

2OD′，所以坐標原點O既是△A′B′C′的重心又是內心，所以△A′B′C′為等邊三角形.

所以SA′OB′=

12|OA′||OB′|sin∠A′OB′=12×1×1×sin120°=34.

所以S△A′B′C′=3S△A′OB′=334.

由伸縮變換的性質，得S△ABC=abS△A′B′C′=23×334=92.

評注 運用坐標伸縮變換后，將橢圓的內接三角形面積問題化歸為單位圓的內接三角形面積問題，本題運用到的伸縮變換的性質有：兩平行線段或共線線段的比不變（三點共線的比不變）;橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）經變換x′=xay′=yb后，對應圖形的面積變為原來的1ab.

三、題目拓展

通過類比和聯想，對上述試題進行拓展探究，運用伸縮變換法容易得到結論：

已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點A，B，C都在橢圓M上，D為AB中點，且CO=2OD，則△ABC的面積為334ab.

本文從多視角對例題進行多解探究，在習題教學實踐中這樣做有利于啟發學生運用發散思維思考問題，為學生學會解題方法提供多樣化選擇，也有利于培育學生的創新意識和科學探索精神，有利于促進學生深度學習，有利于發揮模考題的最大功效，激發學生的學習興趣，打破題海戰術形成的思維定勢.通過對這道圓錐曲線的多解探究，也提升了學生的數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養.

參考文獻：

[1]羅文軍.一道2020年新高考Ⅱ卷圓錐曲線解答題的探究及探源[J].廣東教育（高中版），2020（12）：32-35.

[責任編輯：李 璟]