高中數學教學中數學建模與數學實驗關系研究

高羽

[摘? 要] 《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確了數學學科核心素養的概念，并且將其劃分為了六個要素. 數學建模是其中一個較為核心的要素，如何有效地引導學生進行數學建模，自然也就成了數學學科核心素養落地無法回避的一個問題. 數學將數學建模與數學實驗銜接在一起，運用數學思維和數學工具是兩者相通的地方. 正是這個相通的地方，使得數學實驗與數學建模之間存在著密切的聯系. 通過數學實驗來演繹數學概念或者規律的得出過程，往往也就與數學建模銜接在一起，于是數學實驗與數學建模就呈現出了一個良好的融合樣態，從而就能夠為包括數學建模在內的所有數學學科核心素養的培育提供非常有益的思考.

[關鍵詞] 高中數學;數學建模;數學實驗

縱觀高中數學教學的發展歷程，可以發現其中的挑戰是很多的，而數學教學的發展也正是在不斷地面對挑戰的過程中發生的. 今天的高中數學教學面臨著核心素養培育這樣一個重要的主題，如何讓核心素養在數學學科教學中有效落地？對于這個問題的回答，《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確了數學學科核心素養的概念，并且將其劃分為了六個要素. 在這六個要素當中，數學建模在筆者看來是其中一個較為核心的要素，因為它的綜合性非常強，會涉及其他五個要素中的若干個，如何有效地引導學生進行數學建模，自然也就成了數學學科核心素養落地無法回避的一個問題. 對于這個問題的解決，筆者的觀點是要尋找到有效的教學途徑，而這里所說的有效，顯然是針對學生而言的，只有學生學習過程有效，才能保證數學建模路徑有效. 應當說在傳統的高中數學教學中，教師的教與學生的學進行得都不是很輕松，有一位教師打了一個比方：現在很普遍的一種教育方式，是將學生當作“終端”，老師不斷通過“鍵盤”向這個“終端”輸入知識，也不管它的“內存”是否無窮大. 學生遇到一個問題就開始“掃描”，如果正好掃描到這個問題的答案，馬上就將答案輸出. 這里所說的是教學方式的影響，同時也是對學生學習過程的一個真實描述，要改變這一現狀，關鍵就在于改變學生的學習方式，于是數學實驗就成了筆者思考的一個重要內容.

筆者認為，數學建模與數學實驗是存在著密切關系的，理解這個關系，并積極運用與實踐，可以很好地培養學生的數學建模素養.

高中數學教學中數學建模與數學實驗的理論關系

從理論的角度來看，高中數學教學中數學建模與數學實驗的關系，首先需要對兩者分解開來理解. 所謂數學建模，就是將現實問題經過量的抽象轉化為數學問題的過程. 毫無疑問，數學建模的核心步驟是建模，數學模型的求解隸屬于數學而非數學建模，數學建模的核心工具是數學. 這樣的判斷當中，有一個重要的觀點就是：只有運用數學這一核心工具去進行建模，才是數學建模.

那什么又是數學實驗呢？傳統認為數學實驗就是以計算機為實驗工具，運用數學思維進行實驗的過程;今天的數學實驗，尤其是中學數學教學事業下的數學實驗，已經不局限于計算機工具的使用，更多的是運用具有數學特征（表現為形或數）的器材進行實驗的過程. 數學實驗的直接目的是促進學生的數學體驗，并讓學生在數學體驗的過程當中積極思維.

綜合以上兩個判斷可以看出，“數學”將數學建模與數學實驗銜接在一起，運用數學思維和數學工具是兩者相通的地方. 正是這個相通的地方，使得數學實驗與數學建模之間存在著密切的聯系. 具體闡述如下：

數學建模的兩端是現實問題和數學問題，基于現實問題進行數學抽象等，使其轉變為數學問題;數學問題的解決需要選擇數學模型，在這個過程中需要數學建模工具，主要依賴于學生的數學思維（計算機運用可以輔助學生建立數學思維）. 在學生建立數學模型的過程中，教師需要注意給學生設計一個簡約而不簡單的情境，筆者以為數學實驗就是這樣的情境. 高中數學實驗主要強調學生的體驗（不需要學生撰寫實驗報告），體驗的過程當中，學生需要操作與思考——運用數學思維，這樣的實驗過程中，包含在實物操作過程中的數學元素齊全，學生有較大的數學建模空間，數學實驗就可以成為數學建模的重要載體.

高中數學教學中數學建模與數學實驗的實踐案例

上面已經提及，數學教學中的數學實驗，就是從給定的實際問題出發，借助計算機和數學軟件，讓學生在數字化的實驗中去學習和探索，并通過自己設計和動手，去體驗問題解決的教學活動過程. 而且特別強調，教學視野下的數學實驗可以更多地依賴于實物，這樣學生的操作有載體，思維有所依，數學建模的過程就可以在這個過程中展開.

例如，在“直線的方程”這一內容的教學中，筆者注意到學生已經具有了在直角坐標系中確定一條直線的幾何要素這些知識基礎，而此前學生在數學學習中也知道“兩點可以確定一條直線”，那么在學習直線的方程的時候，基于數學知識演繹的邏輯，一般來講沒有太大的問題. 但是要注意的是，直線的方程本身是數形結合的產物，用方程去描述直線，對學生來說是一個相對較為新鮮的事物. 學習中學生雖然已經有了初步接觸，但是在一個平面直角坐標系中，明確用方程來描述直線卻不多見. 因此教師在此處的教學定位，應當是把直線的方程式做一個數學模型，讓學生在模型建立的過程中，一方面感悟直線的方程的數學意味，另一方面領略直線的方程的模型意味. 具體教學設計可以分成這樣兩步：

第一步，設計問題情境. 例如，讓學生觀察平面直角坐標系中的點，坐標為（x ，y ）;給出直線的斜率是k，然后讓學生根據斜率公式尋找等量關系. 在這個過程中，學生根據已經學過的知識，一般都可以通過另設一點，坐標為（x，y），然后基于斜率公式得出k= ，即y-y =k（x-x ）.

第二步，設計數學實驗. 根據筆者的實踐，以及在實踐過程中積累出來的經驗，在上述過程中，雖然學生能夠理解邏輯，接受結果，但是這個時候直線的點斜式方程在學生的大腦當中是非常抽象的，如果不能讓學生有形象化的理解，那么相當一部分學生就會在這個知識的學習中形成隱患，從而不利于后面知識的學習. 那么設計一個什么樣的數學實驗可以深化學生對點斜式方程的形象理解呢？筆者的做法是：將“點”與“斜率”形象化，一個簡單的做法就是用筆表示一根直線，并思考兩種情形，一種情形是筆的一端不動，代表著經過一個固定的點，然后改變傾斜程度，表示斜率不同;另一種情形是筆的傾斜程度不變，然后上下左右平移，表示斜率不變，而經過的點發生了改變. 這樣學生大腦當中就有了比較形象的“點”“斜”認識. 在此基礎上再引導學生思考：要描述上述變化，點斜式方程有什么樣的好處？

這樣學生在問題的思考當中，既有了實際的動手操作，又有了充分的動腦思考，數學實驗與數學建模也就結合在了一起，前者成為后者的途徑，后者成為前者的結果，兩者之間相互促進，相得益彰.

高中數學教學中數學建模與數學實驗的教學分析

將數學實驗與數學建模聯系在一起，其實并不是筆者的創舉，從理論與實踐結合的角度來看，數學實驗與數學建模的聯系，理論研究早就走在了前面. 比如就有研究者明確指出：數學實驗、數學建模的思想與方法，正是對學生啟迪心智、培養能力和提高素質的有效結合點. 通過嚴格的學習與訓練，培養學生應用數學知識處理現實世界復雜問題的應變能力和創造能力;養成學生認真細致、嚴謹踏實、精益求精的工作作風;塑造學生頑強拼搏、勇攀高峰的思想品質;培養學生合作共事、團結協作的協調能力. 作為高中數學一線教師，筆者的努力更多地集中在將所學的理論知識運用到教學實踐當中，然后尋找理論與實踐的最理想的結合點.

就數學實驗與數學建模而言，兩者的結合點顯然在于數學思維. 在數學實驗的過程中，學生要通過數學思維去設計實驗、進行操作;在數學建模的過程中，學生要通過數學思維完成數學抽象、邏輯推理等，以使得建立的模型更加科學，更加具有實效性. 在實際教學當中，教師應當更多地研究哪些數學模型可以通過數學實驗來建立，而且教師應當寬泛地理解數學模型，要認識到數學概念以及數學規律得出的過程中，都具有數學建模的思想. 因此通過數學實驗來演繹這些數學知識或者規律的得出過程，往往也就與數學建模銜接在了一起，于是數學實驗與數學建模就呈現出了一個良好的融合樣態，從而就能夠為包括數學建模在內的所有數學學科核心素養的培育，提供非常有益的思考空間.

以上見解來自筆者的實踐與思考，由于這個領域的實踐研究相對比較薄弱，所以筆者的探究難免存在一些缺失，還望同行批評指正.