基于學生認知規律的高中數學建模初探

徐東輝

[摘? 要] 在高中數學教學的傳統中，數學建模一直有著重要的地位. 在數學學科核心素養的六個要素當中，數學建模所起的作用既有承上又有啟下，且具有高度的概括性. 從認知角度看數學建模而言，有著非常重要的啟發，從數學建模策略的角度來看，筆者以為應當有這樣兩點認識：第一，數學建模要考慮學生的認知表征;第二，學生數學建模過程中會運用到模型猜想、模型建構、模型運用、學習反思等等，因此相應的數學建模策略就有模型假設策略、模型建構策略、模型自我監控策略等等. 在數學建模的過程當中，教師除了要積累經驗性認識之外，更應當從學生認知規律的把握與運用角度去引導學生進行高效的數學建模.

[關鍵詞] 高中數學;數學建模;認知規律

隨著最新修訂的《普通高中數學課程標準》的頒布，以數學學科核心素養為關鍵詞的、對數學課程的理解與認識，越來越凸顯出對數學建模的重視. 之所以在這里特別強調數學建模，是因為在高中數學教學的傳統中，數學建模一直有著重要的地位，當數學建模成為數學學科核心素養六個要素之一時，不僅意味著在高中數學課程當中，已然繼承了高中數學教學中對數學建模的傳統性認識，同時也意味著數學建模面臨著新的教學需要——在數學學科核心素養的六個要素當中，數學建模所起的作用既有承上又有啟下，且具有高度的概括性，一個數學模型的建立過程，往往既用到數學抽象，又用到邏輯推理;既涉及學生的幾何直觀，也有可能涉及數學運算與數據分析. 認識到這一點，就能夠認識到數學建模在數學學科知識體系當中的地位. 然而一個不容樂觀的實際情況是，十年來的實踐表明，高中數學建模教學效果并不令人滿意，究其重要原因之一在于，缺乏基于學生認知規律的高中數學建模教學理論指導. 這是一個值得高度重視的問題，只有真正立足于學生的認知規律，去培養學生的數學建模素養，才能為數學學科核心素養的落地奠定基礎.

數學建模的認知基礎

應當說數學建模是需要學生的認知基礎的，從宏觀的角度來看，學生的學習過程是受認知規律支配的，數學建模作為一個思維含量極高的學習過程，自然也是受認知規律來支配的. 只是認識到這一點，還不足以尋找到數學建模的認知基礎. 有研究者基于科學研究方法的選擇，通過對比研究的方法，選擇專家被試與新手被試作為比較的對象進行研究. 研究的結果表明，學生在數學建模的過程中，問題表征、策略運用、思路特點、建模結果及解題效率等方面存在顯著差異. 這種差異對于從認知角度看數學建模而言，有著非常重要的啟發，從數學建模策略的角度來看，筆者以為應當有這樣兩點認識：

第一，數學建模要考慮學生的認知表征. 數學知識有隱性與顯性之分，學生在學習過程中的認知過程，更多的則是隱性的，但這并不意味著學生的認知過程不好把握，恰恰相反，大量的研究表明，數學建模過程中的認知表征有符號表征、方法表征和機理表征三種方式. 符號表征指向學生的形象思維，更多的是用文字、圖形、圖表等等描述學生的模型建立過程，而機理表征指向學生的抽象思維，強調在數學建模過程中對數學建模原理的把握，方法表征介于兩者之間. 當學生用方法表征來體現數學建模過程時，往往會同時運用到形象思維與抽象思維. 如此將思維形式與表征形式結合在一起，也就實現了從內到外對數學建模過程中認知方式的理解.

第二，學生數學建模過程中會運用到模型猜想、模型建構、模型運用、學習反思等等，因此相應的數學建模策略就有模型假設策略、模型建構策略、模型自我監控策略等等. 這些策略都是相對于學生的數學建模過程而提出的，比如模型假設策略，就是考慮到學生在面對現實事物或者現實問題時，他們會通過數學抽象去尋找其中的數學元素，然后猜想可能的數學模型. 此時在學生的認知當中猜想是必然存在的，也正因為有了猜想，學生才有了建構數學模型的動力，在數學建模的過程當中，學生所猜想的模型可能存在一些缺陷，因此需要通過自我監控來進一步優化模型.

由以上兩點可以發現，學生的數學建模過程中，確實有著豐富的認知參與，而基于對學生認知規律的把握，去培養數學建模素養，也應當成為高中數學教師的必然選擇.

基于認知規律的數學建模教學

上面提到數學建模過程中的表征方式，在高中數學教學中面向學優生與一般學生，然后進行比較研究，結果發現，在數學建模問題表征的方式、廣度和方法方面，一般學生都習慣于采用符號表征和方法表征這兩種方式，但優生更多地采用機理表征方式，這就意味著不同學生的思維方式，在數學建模的過程當中表現是有差異的. 進一步比較研究才發現，優生傾向于進行多元表征，一般生傾向于進行單一表征;優生傾向于運用循環表征方法，一般生傾向于運用單向表征方法. 這一研究結果告訴我們，在數學建模的過程當中，優生的思維角度是比較廣的，而一般學生的思維則相對比較狹窄. 同時優秀學生與一般學生在數學建模策略運用方面也有區別，前者一般習慣于運用平衡性假設的策略，而后者習慣于運用精確性假設策略，這是一個非常值得研究的現象. 筆者判斷優秀學生與一般學生在數學建模過程中表現出來的學習信心是不同的，一般學生迫切地想尋找到準確的方向，而優秀學生則相信即使方向模糊，依然能夠完成數學模型的建立. 在自我監控策略的運用上，研究也表明優秀學生能夠運用即時監控策略，而一般生則更多地運用回顧監控策略;優生傾向于運用理論推演檢驗策略和直覺判斷檢驗策略，一般生傾向于運用數據檢驗策略;優生傾向于運用假設調整策略和建模方法調整策略，一般生傾向于運用模型求解調整策略. 從這些認識出發，在具體的教學實踐中，教師設計數學建模的思路也就會更加清晰.

例如，“對數函數”這一概念的教學，筆者就在開門見山提出問題的基礎上，立足于讓學生通過自身的認知能力，去自主建構起對數函數這一模型. 具體的設計包括問題情境的創設與問題的提出：如果我國的人口基數是13億，且人口增長率是1%，就可以根據y=13×1.01 算出任意一年的人口總數;那么反過來能否根據某一年的人口總數，比如說是18億或者20億，去判斷需要多少年呢？

顯然這既是一個實際問題，又是一個數學問題，學生在面對這個問題的時候，能夠順利地經過邏輯推理，判斷出這是一個已知y值要求出x值的問題. 既然x處于指數位置，那么逆過來之后，就變成一個對數問題. 這樣的邏輯推理對于學生而言并不具有很大的難度，因此這里可以讓學生自主探究，自主運用數學語言去描述. 實際教學表明，超過一半以上的學生都能夠在原先的數學知識基礎之上，總結得出對數函數的基本表述，而大多數學生也能夠寫出y=logax這一表達式，至于對數函數的具體表述及定義域與值域，只可以在后續的研究過程當中逐步完善.

從認知發展的角度來看，這樣一個數學建模的過程當中，學生從對數學文字信息的加工，到后來借助于文字信息去描述對數函數，包括再后面的借助于函數圖像去豐富對對數函數性質的理解，實際上都是一個抽象思維與形象思維結合的過程，這也就呼應著上面提到的機理表征;同樣在這一過程中，學生建立對數模型的過程，也有一個猜想、驗證及自我監控的過程，這在客觀上說明上述數學建模策略是有效的.

基于認知規律的數學建模教學的思考

毫無疑問的一點是，為了適應數學教學改革的需求，逐步提升學生的數學文化及綜合應用能力，必須加強數學建模教學. 文章開頭已經提到，數學建模在高中數學及其教學中重要性一直存在，而在數學建模的過程當中，教師除了要積累經驗性認識之外，更應當從學生認知規律的把握與運用角度去引導學生進行高效的數學建模.

同樣可以肯定的是，數學建模過程中學生的認知規律，是可以為教師所把握的. 無論是面對相對形象的生活事例，還是面對相對抽象的數學問題，數學建模的起點，往往就是學生通過數學抽象或者邏輯推理，打開數學建模大門的過程. 在具體的數學建模過程當中，無論是優秀學生采用的模糊策略，還是一般學生所追求的精確策略，都必然存在著猜想過程. 猜想是決定數學建模方向的關鍵，猜想之后就是結合具體的實例進行驗證，驗證的過程當中學生的自我監控心理會發揮作用，這與認知心理中所強調的元認知是一脈相承的. 因此基于認知視角看數學建模，實際上就是一個認知與元認知相結合的過程，這對于高中學生而言是一個非常適宜的認知過程. 如果在數學建模的過程當中，教師能夠給學生提供豐富的問題解決空間，那學生所建立起來的數學模型就可以得到鞏固的機會，這樣從數學模型的建立到數學模型的運用，就可以讓學生的數學建模能力得到充分的生長，包括數學建模在內的數學學科核心素養落地，也就有了充分的保障.