以學(xué)定教，先學(xué)后教，打造高效課堂

何敬房

[摘? 要] 為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、探究能力，讓學(xué)生更自信地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有效地提高課堂效率，文章本著以學(xué)定教，先學(xué)后教的研究思路，以一元二次方程整數(shù)根的求解為例，針對學(xué)生的解題亮點和不足，探討如何打造高效課堂.

[關(guān)鍵詞] 高效課堂;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);先學(xué)后教

教材分析

本節(jié)課是北京版第十六章一元二次方程中的第十課時，能根據(jù)實際題目解決一元二次方程的整數(shù)根問題. 這類問題涉及的知識點較多，思維的要求也較高，所以難度比較大，學(xué)生們往往望而卻步. 本節(jié)課的重點和難點是整數(shù)根的討論問題.

學(xué)情分析

1. 知識背景分析

學(xué)生已在小學(xué)學(xué)過分數(shù)、因數(shù)等概念，含有字母系數(shù)的一元二次方程的解法已訓(xùn)練，分式加減運算都能熟練掌握.

2. 認知難點分析

分式加減逆運算.

教學(xué)目標

能熟練求出一元二次方程的整數(shù)根.

教學(xué)過程

（一）精選習(xí)題，學(xué)生板演（10分鐘）

教師指定四名學(xué)生上黑板做題. 設(shè)計3道習(xí)題：

1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，

（1）求k的取值范圍;（2）若k為大于3的整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.

2.？搖已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

（1）求k的取值范圍;（2）當k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)時，求k的值.

3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0有兩個實數(shù)根，

（1）求m的取值范圍;（2）當m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？

其中第一題與第二題相似，由兩位學(xué)生（思維慢、程度較差）完成;第三題稍微有些難度，也由兩位學(xué)生（思維中等、程度較好）完成，與此同時要求臺下的學(xué)生完成第一題和第三題.

（二）教師講評，總結(jié)規(guī)律（25分鐘）

講師講評分為兩部分，亮點部分和不足部分. 其中關(guān)于亮點部分，教師要大力肯定，大力表揚，使孩子們有愉悅的心情，激勵學(xué)生奮發(fā)向上，越來越喜歡數(shù)學(xué). 關(guān)于不足或者錯誤的地方，教師要傾聽學(xué)生的不同心聲，讓黑板上板演的孩子說出自己的想法或困惑，教師找合適的切入口將復(fù)雜、深刻的知識口語化、簡單化，即將生硬的數(shù)學(xué)知識講得通俗易懂.

對于一二題，學(xué)生的亮點：能清楚理解判別式Δ與根的情況;基本步驟規(guī)范，分類思想應(yīng)用比較扎實. 學(xué)生的不足及改進地方：整數(shù)根與Δ是否被開方開盡或開不盡之間的關(guān)系不清楚. 第一題中，當k=4時，Δ=24-4×4=8，所以± =±2 ，故直接舍去;第二題中，k=1時，Δ=-4×1+12=8，直接舍去. 這樣極大地節(jié)約了解題的時間. 計算最終結(jié)果未化簡徹底，x = =3+ ，遇到計算題時，還需謹慎對之.

教師問題1：為什么需要把k=4，k=5分別代入方程求解？

學(xué)生1答：因為代入后求出結(jié)果容易看出來該方程的根是不是整數(shù)根. 如果不是就舍去，如果是就保留.

學(xué)生2答：可以分別代入，但是如果按照老師講的，先求出判別式的平方根，如果平方根是帶有根號的無理數(shù)，那方程的根肯定不是整數(shù)，所以直接舍去就可以了，這樣至少會節(jié)約2分鐘時間.

教師點撥：復(fù)習(xí)一下無理數(shù)、有理數(shù)的概念以及整數(shù)的分類，將知識系統(tǒng)化.

實數(shù)有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)零負整數(shù)？搖 分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)？搖 ？搖? ？搖

教師問題2：x = 為什么需要約分？

學(xué)生3答：因為x = 不是最簡形式，分子分母有最大公因數(shù)2，所以要化成最簡.

教師點撥 復(fù)習(xí)因式分解的基本步驟，分數(shù)、分式約分解題技巧.

因式分解的基本步驟：一提（提取公因式），二套（完全平方公式、平方差公式），三化簡（最簡形式）. 分數(shù)分式約分解題技巧：系數(shù)部分尋找各系數(shù)的最大公因數(shù)，字母部分尋找相同字母的最低次冪.

對于第三題，學(xué)生的亮點：能清楚理解判別式Δ與根的情況;基本步驟規(guī)范，分類思想應(yīng)用比較扎實，尤其是通過分子分母變形分離，將問題只研究一處（分母中含有字母）變化，思路非常好. 學(xué)生的不足及改進地方：一元二次方程首要限制條件二次項系數(shù)不為0，即m-1≠0忘記先寫. 整數(shù)化簡時，未寫等號（對于代數(shù)式的化簡記憶模糊）. 教師在課堂巡視時，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對 不知如何處理. 教師重點講解本部分，因為對于 分子、分母都含有變量m，故研究起來比較復(fù)雜，如果用試驗法，無窮下去試驗，不僅浪費時間，而且缺少數(shù)學(xué)思維要求的邏輯嚴密性，所以固定分子，研究分母變化即可. 因為 = = + =1+ ，又方程的兩個根都是正整數(shù)，所以 是正整數(shù)，所以m-1=1或2，所以m=2或3.

教師點撥 掌握分數(shù)與分式的關(guān)系;掌握分式加減運算的逆用.

由于分數(shù)和分式具有類似的形式，因而也具有類似的性質(zhì)和運算，重視化歸思想的滲透. 比如 這是一個分式，求這個分式為正整數(shù)且m也為整數(shù)時的m的值.

分數(shù)角度：2÷m商為正整數(shù)→m為除數(shù)→2為被除數(shù)，即商與除數(shù)的乘積→m=1，m=2.

分式角度： 正整數(shù)→m為2的因數(shù)→2的因數(shù)為1和2→m=1，m=2.

分式加法：1+ = + = + = .

變式一： = = + =-1+ .

變式二： = = - =2- .

通過 ， ， ， ，讓學(xué)生感受因數(shù)的意義以及以分母為參照物改變分子的解題技巧在這類習(xí)題中的應(yīng)用體現(xiàn).

（三）小結(jié)梳理？搖學(xué)生記憶（5分鐘，PPT展示）

1. 無理數(shù)、有理數(shù)的概念以及整數(shù)的分類;

2. 因式分解的基本步驟，分數(shù)、分式約分;

3. 分數(shù)與分式的關(guān)系，分式加減運算逆用.

總結(jié)評價

本節(jié)課的目的是向?qū)W生傳達一元二次方程整數(shù)根的解法步驟，并理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，教學(xué)內(nèi)容看似簡單，但如不能合理處理教學(xué)中的幾個問題，很容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中思維停滯. 通過學(xué)生先學(xué)先練，教師再教的步驟，使學(xué)生親身體驗，親自投入，讓學(xué)生真正地思考起來，真正地動起來，感受解題的過程和思路，體會知識的運用，由此發(fā)揮學(xué)生的主體性. 在不足之處，教師在課堂教學(xué)過程中處理好新知與舊知的聯(lián)系，利用不足之處的問題來驅(qū)動教學(xué)展開，引導(dǎo)學(xué)生充分理解相關(guān)知識間的聯(lián)系，理解化歸思想在解決此類問題中的本質(zhì). 學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. 教師應(yīng)創(chuàng)造機會，讓學(xué)生有足夠的時間和空間經(jīng)歷計算、推理、驗證等活動過程，由此達到教學(xué)目的，打造高效課堂.