初探極限思想在小學數學教學中的滲透策略

易常朝

摘 要：極限思想屬于推理思想中較低層次的一種數學思想。教師在教學中滲透極限思想可以加深學生對數學概念、定律、法則等的理解。據此，探討在小學數學教學中滲透極限思想的策略。

關鍵詞：小學數學;極限思想;滲透策略

數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。多數專家認為數學思想是對數學知識的本質認識、理性認識。參與《義務教育數學課程標準（2011年版）》撰寫及《義務教育數學課程標準（2011年版）》解讀的專家學者認為，數學思想是有層次的，較高層次的基本思想有三個：抽象思想、推理思想、模型思想。極限思想是屬于推理思想中較低層次的一種數學思想。在小學階段所能滲透的數學思想方法中，極限思想是最為抽象、最難被理解與接受的一種數學思想，也容易被老師忽略。本文以“數與形”（例2）的教學為例，談談在小學階段滲透極限思想的一些愚見。

一、極限思想的概念及其重要性

極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極的概念。極限的思想方法為建立微積分學提供了嚴格的理論基礎，為數學的發展提供了有力的思想武器。極限可分為數列極限和函數極限。極限概念是非常抽象的，在小學數學教學中不曾涉及。作為專業的數學教師，要對其概念把控于心，細心琢磨，把這些抽象的概念轉化成數學思想，循序漸進地滲透給小學生，絕不可以忽視它。

“數學廣角”是人教版教材獨有的內容。人教版教材安排“數學廣角”的主要目的是向學生滲透數學思想及方法。教材根據學生的年齡特點從二年級開始每一冊都安排了“數學廣角”的內容。由王永春（2014）的研究可以看出，極限思想在“數學廣角”中編排的例題只有一個，但不代表滲透極限思想的機會只有一次。極限思想在小學階段滲透的機會不多，筆者梳理了人教版小學數學12冊教材，發現可以滲透極限思想的內容如下表所列。

從上表可以看出，人教版教材針對數學思想方法專門編排了教學內容，但數學思想方法的滲透又不局限于“數學廣角”這一類教學內容，需要教師在平時的教學中發掘與提煉。《義務教育數學課程標準（2011年版）》把數學思想方法作為數學“四基”中的“第三基”，并對數學思想方法的滲透做了明確的要求，也表明了它的重要性。

二、極限思想的滲透途徑

小學生的年齡特點決定了他們對數量有限的具體事物容易理解，對數量無限的抽象事物較難把握。學生的生活經驗、數學知識還比較貧乏，因此理解“無限逼近”一個數時用“等于”來表示是認知難點。筆者認為，滲透極限思想可以通過以下三個途徑達成。

1.通過“有限”想象“無限”

有限是具體的，可觀察的，可計量的，也是小學生接觸最多的數量形式。對于無限，小學生也不陌生，例如一年級認識自然數時就知道一直往下數是可以不停止的，到了大數的認識時，進一步知道0是最小的自然數;五年級接觸到循環小數，又知道一個數也可以是寫不完的，它的位數是無限的;在認識圖形時知道直線和射線是可以無限延伸的。有限與無限在本質上區別很清楚，但我們都習慣用“有限的”眼光去看“無限的”的問題，課前的一個小測試就證明了這一觀點。出示比大小的題目：0.999…○1，學生的作答結果如圖1，幾乎所有學生都選擇了小于號，這也說明學生對“極限思想”的敏感度為0。0.999…這個循環小數是一個寫不完的小數，他們認為：這個數不管后面有多少個9，總是要比1小一點點，是不可能等于1的。既然學生有此習慣，那就依學生的習慣設計活動，引導學生從“有限”走向“無限”。

【片段】以人教版義務教育教科書數學六年級上冊15頁的“你知道嗎？”為題干，學生可以快速地解決此“有限”問題，用連加的方法列式并計算出來，并說明理由。

為了下一步的學習，教師有必要引導學生發現算式中相鄰加數以及得數與最后一個加數的關系，再拋出三個問題引導學生想象“無限”。

（1）如果繼續往下加，下一個加數應該是多少？

（2）如果一直這樣無限地加下去，算式該如何寫？

（3）你算得完嗎？你能根據前面的規律想象出這個算式的得數嗎？

少數學生可以大膽地猜測是一個接近1的數，他們的理由是：得數總等于1減去最后一個加數，而分母越來越大，那就和1就越來越接近。

學生用了“最后一個加數”這一詞組，說明學生是把算式當作有限的加法進行思考的，但學生也知道找不到最后一個加數，就只能利用規律發現得數接近1。在這里，學生知道通過“有限”來想象“無限”了。

2.感受無限收斂

極限思想是用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想，這里要抓住兩個關鍵語句：一是變化的量是無窮多個的，另一個是無限變化的量趨向于一個確定的常數。兩者缺一不可。例如，自然數、奇數、偶數等是無限的，但它是趨向于無窮大，不趨向于一個確定的常數，因而它們沒有極限;再如一個循環小數，它的小數部分的數字是寫不完的，是“無限的”，但它也是沒有極限的。反之，離開“無限”談“極限”是毫無意義的。

“無限≠極限”的原因在于無限變化的量有兩種形態：發散的與收斂的。前述兩個例子雖然是無限的，但它們是發散的，因此它們沒有極限，只有當變化的量是無限收斂時才存在極限。在計算圓的面積時，先把圓平均分成若干等份，再拼成一個近似的長方形。注意，這里是說一個“近似的”長方形，它不是一個真正的長方形，所以，不能按照長方形的面積計算方法來求圓的面積，把這個圓繼續有限地平分下去，哪怕最小的扇形看起來只有一條線一樣那么小，都無法拼成一個真正的長方形，只能讓學生感受到這個圓被這樣無限平分后拼成的圖形無限地接近長方形，就把圓的面積當作長方形的面積進行計算而得出圓的面積的計算公式。學生可能無暇顧及把近似的長方形當作是長方形進行計算是否合理，但可以讓學生積累一些感性認識，埋下“極限”的種子。

3.理性認識極限

學生對片段中的算式，發現它的得數接近1是不難的，如果告訴他們是等于1，大多數人是無法接受的。他們認為，不管分到什么程度，總是會有剩下的，不可能全部被分完。又如前面所述例子中的0.999…這個無限循環小數，有的人認為它的位數是無限的，總比1相差一點點，不可能等于1。其實，這是一種錯誤的觀點，是因為用“有限”的眼光看待“無限”所造成的。這時，就需要借助極限思想，這也是極限思想的關鍵所在。

在推導圓的面積計算公式過程中，把這個圓無限地平分下去，拼成的圖形就無限地接近一個長方形，因此，長方形的面積是圓的面積的極限。對于0.999…這個無限循環小數，大家都已經認為它是接近1，要進一步地證明它等于1也不難。例如，一般來說，無限循環小數都可以化成一個最簡分數，但0.999…這個無限循環小數無法化為一個最簡分數，因為它等于1。一般有以下兩種方法證明。

0.999…=0.333…×3=1/3×3=1;

設：x=0.999…;則10x=9.99…，10x-x=9，9x=9，x=1。

學生顯然無法全部接受或理解“無限逼近”就是“等于”，從“無限逼近”到“等于”是很多人跳不過去的一道坎，因而證明“等于”顯得很有必要。

三、小結與展望

學生數學思想的形成是靠不斷的積累、不斷的運用來形成的，能夠主動運用數學思想解決問題是學生數學素養的具體表現，它應該貫穿數學學習的始終。用一節課就把極限思想滲透到學生腦海深處，那是不可能的，但至少要引起學生的注意，使之在以后的學習中遇到“無限”問題時不至于停留在“有限”的層面。

極限思想在小學階段有一定的應用，不要求學生掌握極限思想，只要滲透即可。滲透該思想的機會要靠教師自己去把握，而且要準確把握滲透的度，以免增加學生的學習負擔。在小學階段有意識地滲透基本數學思想是課標要求，也可以加深學生對概念、公式、法則、定律的理解，拓寬學生的解題思路，提高學生的數學素養，也是素質教育的內涵所在，能為小學生數學思想方法的學習打下較好的基礎。本文所論述的內容，希望能為廣大同行拋磚引玉。

參考文獻：

[1]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3]高麗娟.淺談小學數學極限思想方法及其教學[J].軟件（電子版），2014（12）：290.

[4]孫國元.對小學數學中極限思想的探討[J].教育實踐與研究，2013（22）：78.