中學數學教學中滲透數學思想方法的實踐與思考

劉爽　盧林霞

【內容摘要】中學數學是一門融知識教育、思想教育、能力教育于一體的學科，具備數學思想有利于初中生實現全面發展。因此，只有將數學知識與思想教育相結合，才能學好數學學科，有效提高教學效率和教學水平，這也是初中數學課堂的重點內容。基于此，本文就中學數學教學中滲透數學思想方法開展探究與分析。

【關鍵詞】初中數學? 思想方法? 數形結合? 化歸思想? 分類討論

隨著新課程改革的深入，數學素質教育的良性發展離不開數學思想的構建上。從小學數學教育到高等數學教育，每個階段都有專家學者總結的關于數學思想構建的經驗和感悟，數學思想也越來越系統①。初中數學是銜接階段，數學思想的融入是引導學生將理論聯系實際的真正開始，也是培養學生運用數學知識解決實際問題的重要基礎。因此，廣大教師應重視數學思想的滲透作用，并制定有效的教學策略，以期更好地促進學生形成數學核心素養。

一、數形結合思想的滲透

1.以形化數

初中數學知識在一定程度上具有抽象性和邏輯性，主要是通過數量關系所體現，但學生往往會很難理解數量關系。而圖形具有一定的直觀性和形象性，教師在開展初中數學教學活動時，可以建立圖形與數字的特定結構關系，然后將數量問題轉化為圖形問題，將代數語言轉化為幾何語言，從而避免減少復雜的推理或計算，幫助學生深入理解抽象的代數關系②。

例如，在講解魯教版七年級數學下冊“不等式的解集”一課時，在之前的研究中，學生已經對“不等關系”的相關概念有了初步的了解，教師可以引導學生借助多次試值方法認識到不等式解的無限性，從而引出“解集”的概念。為了讓學生更直觀的理解不等式的解集，教師可以將數軸融入概念教學中，讓學生可以直觀地理解不等式解集與方程解的區別。在“一元一次不等式組”的教學中，數軸圖形的優勢得到了更充分的體現，教師可以根據不等式組中兩個不等式的性質，引導學生在數軸上找到這兩個不等式的解集，最后結合數軸的直觀呈現，學生可以總結出：“x>大數，x>小數，則解集為x>大數;x<大數，x<小數，則解集為x<小數;x>小數，x<大數，則解集為小數大數，則無解。”為了方便學生記憶，教師傳授學生口訣：“同大取大，同小取小，小大大小中間找，小小大大無處找。”通過這種以形化數方法，能夠使學生對不等式相關知識點有更直觀的認識，并幫助學生形成數形結合思想。

2.以數變形

雖然圖形在表達形式上具有直觀、生動的優勢，能夠有效地呈現抽象知識點，但學生在定量計算時還是需要用代數方法表示③。也就是說，單純的圖形通常沒有實際意義，尤其是面對一些簡單或相對復雜的圖形，需要學生挖掘圖形中的隱含條件，從觀察中得出結論或規律，將幾何問題轉化為數量問題，通過推導或計算來解讀圖形的內在含義，所以在代數和圖形的組合方式中，學生具有以數變形思想也尤為必要。

例如，在講解魯教版七年級數學上冊“探索軸對稱的性質”一課時，教師可以引導學生借助平分線儀的基本原理，探索用尺子畫角平分線的基本方法。然后，教師可以組織學生們進行折紙實踐，在操作過程中觀察折痕的數量，以對角平分線的性質有大致理解。在學生掌握基本概念和性質后，教師可以讓學生思考：“在一張1：200M的地圖上，四條公路相交成四個角，如果想建一個物流中心，而且距離每條公路都為300米，那么物流中心應該建在哪里？請在圖片中標出具體位置。”根據關于角平分性質的知識，學生應運用以數變形思想獨立回答這個問題。

二、化歸思想的滲透

1.新舊知識結合，化陌生為熟悉

在初中數學學習過程中，學生經常面臨從未見過的數學題，存在無從下手的局面。對此，教師可以采用新舊知識結合的方法，幫助學生構建知識體系，從而增強解題能力④。例如，x2+y2+4x-4y+8=0，求x和y的解。本題有兩個未知數，但只有一個方程，大多數學生不知道如何求解。教師可以先把另外兩個數學題展示給學生，然后再解決問題。數學題一：x2+4x+4=0，求x的值;數學題二：y2-4y+4=0，求y的值。學生可以通過轉化思想在短時間內正確解決這些數學問題。第一個問題是（x+2）2=0，得出x=-2，第二個問題是（y-2）2=0，得出y=2。然后，教師引導學生解答最開始的問題，但是很多學生仍然不能正確回答。在這一點上，教師可以告訴學生：“其實剛才你們解答的兩個問題，已經得出了最開始問題的正確答案。”學生覺得不可思議，教師可以給學生展示：x2+y2+4x-4y+8= （x+2）2+（y-2）2=0，其實這就是方程的變形，讓學生不費吹灰之力就能得到正確答案。雖然在學習過程中很多新題型學生沒有見過，但這些題型都是最基本的知識逐漸演變而來，所以學生應熟練掌握基礎知識，逐漸形成劃歸思想，從而提高知識應用能力。

2.深入分析問題，化復雜為簡單

在解決數學問題中經常應用的方法是簡單地處理復雜的問題，利用研究和觀察，可以把復雜的問題簡化為許多簡單的問題，這種劃分方式學生很容易接受，也很容易逐一進行解決⑤。初中數學教師可以通過這種方式引導學生分析問題，降低問題的難度，使學生可以感受到劃歸思想，從而培養學生數學思維能力。

例如，在講解魯教版八年級數學下冊“一元二次方程的解法”時，教師可以先要求學生按照由簡單到繁瑣的原則學習解題步驟，了解方程變形的目的。一元二次方程具有一定的難度，教師應引導學生想辦法把方程轉化成一元一次方程，最后變為x=a的形式，也就是方程的解，使復雜的一元二次方程變得簡單。這種化復雜為簡單的方法大部分學生都能接受，教學效果也非常顯著。再比如，在解答：“半徑為1的五個圓，它們的圓心依次是A、B、C、D、E。求圖中五個圓形成的扇形陰影總面積？”很多學生第一次接觸到此類問題，按照常規的解題方法是先算出每個扇形陰影面積，然后相加得出問題答案。這個過程極其復雜和困難，但只要學生深入思考，不難發現既然圓的半徑已知，那么學生在確定了扇形圓心角的度數后，就可以根據可以得到答案。

三、分類討論思想的滲透

1.明確分類討論對象及分類標準

與數字或公式有關的問題是初中數學中常見的問題，其中絕對值、算術平方根等問題比較簡單，分類討論思想可以應用其中，只需要涉及兩三個討論部分即可得到答案，這種簡單的分類討論適合于知識結構的構建⑥。在滲透分類思想過程中，教師應重點培養學生如何確定分類對象和分類標準，使解題思路更加清晰，避免出現過多的干擾條件。當學生通過簡單的問題掌握分類討論后，當遇到函數、圖像、不等式等復雜問題時，可以更好地發現問題中的有用信息，提取分類對象，從而正確回答問題⑦。因此，為了讓學生更好地形成分類討論思想，教師應該注意教學過程的由淺入深，讓學生通過通俗易懂的問題掌握分類討論方法，然后應用到解決復雜問題的過程中。

例如，在討論x在|x-3|>3和|x|>3中的取值范圍時，教師可以引導學生進行分類討論。在討論|x|>3的分類時，會發現可以直接得到x>3或x<3的結果，而在討論|x-3|>3中x的范圍時，則需要完成計算才能得到x>6或x<0的結果。通過比較兩個絕對值不等式的解題過程，教師可以向學生講述|x|>3能夠直接得出x的值域，是因為絕對值中只有未知數x，所以x就是分類討論的對象。但一般情況下，分類的對象是由絕對值決定的，而不是由未知數x決定的，教師應引導學生明確分類討論對象，為后續探究做好鋪墊。

2.強調答案驗證的重要性

分類討論的結果并不都可以作為最終答案，由于問題中的一些限制性條件，從全范圍分類討論中獲得的答案不具合理性，而應縮小范圍，控制在限制性條件內。學生在實踐中做題時，往往忽略不合理或重復的答案，導致解題過程正確，但結果錯誤⑧。因此，教師在用分類討論的思想教學生如何解決數學問題時，應強調答案驗證的重要性。

例如，在講解魯教版七年級數學下冊“等腰三角形”一課時，教師可以為學生設計思考些問題：“已知等腰三角形一角為30°，問另外兩個角的度數。”因為不確定已知條件“一角為30°”是頂角度數還是底角度數，所以最終答案不具有唯一性，教師應引導學生進行分類討論，最終學生得到兩個結果，即頂角為120°、底角為30°，或頂角為30°、底角為75°。此時，教師將問題進行延伸：“如果已知一個等腰三角形的一角分別為45°、60°、100°時，是否仍然存在兩種情況？”并引導學生畫圖驗證答案。最后學生會發現，只有一角為45°時才有兩種結果，而當角度為60°時，可以確定等腰三角形的三內角都為60°;當角度為120°時，因為三角形內角和存在180°條件的限制，不能存在兩個鈍角，所以答案只有一種。

結束語

綜上所述，數學思想對初中數學教學和學生的發展有很大的影響，數學思想的滲透不僅積極響應新課程標準倡導的要求，而且為學生未來的發展奠定了基礎。因此，初中數學教師要積極更新教學理念，通過滲透數學思想培養學生的數學思維能力，提高學生的綜合能力，讓學生體會到數學知識的魅力，能夠更靈活地應用所學知識。

【注釋】

① 孫榮. 在教學中如何滲透初中數學思想和方法[J]. 中學課程輔導（教學研究），2020，14（10）：41.

② 白輝. 數形結合思想在初中數學教學中的滲透[J]. 科學咨詢，2020（15）：220.

③ 王小忠. 數形結合思想在初中數學教學中的滲透解析[J]. 學周刊，2020，9（9）：83-84.

④ 文維峰. 初中數學教學中如何滲透數學思想方法研究[J]. 百科論壇電子雜志，2020（1）：427-428.

⑤ 王新艷. 在初中數學教學中應滲透數學思想和數學方法[J]. 百科論壇電子雜志，2020（1）：471-472.

⑥ 王錫凡. 試析化歸思想在初中數學教學中的應用[J]. 文理導航·教育研究與實踐，2020（3）：142.

⑦ 代顯蓉. 初中數學教學中數形結合思想方法的應用探討[J]. 文理導航·教育研究與實踐，2020（2）：176.

⑧ 田麗紅. 淺談初中數學教學中應重視數學思想方法[J]. 百科論壇電子雜志，2020（2）：64.

（作者單位：山東省淄博市張店區實驗中學東校）