多元表征 整體建構

李國良

【摘? ?要】事物往往處在復雜的統一整體里，在整體的關系網絡中理解才會更加清晰透徹。通過對一年級學生減法意義的概念理解情況進行調查，根據學生對減法意義的建構、對減法模型的理解程度等，提出在減法意義的教學中，要整體構建減法的三種模型，通過多元表征促進學生對減法意義的理解。

【關鍵詞】減法;表征;整體構建

在“減法的認識”教學過程中，教師一般把重點放在計算或解決具體問題上，較少關注學生對減法意義的理解和減法模型的建構水平。為了解這兩方面的真實情況，筆者通過分析教材、前測等方式對學生進行了調查研究。

一、調查前的思考

（一）“減法模型”有哪些類型

依據問題中的關系可以把減法模型分成三類，分別是“部分—部分—全體”型問題、“改變型”問題、“比較型”問題（如圖1）。

1.“部分—部分—全體型”問題

這類問題指的是將一個整體分為若干個部分，已知全體和其中的某部分，求其他部分的問題。如：數學興趣小組有5名學生，其中有3名男生，有幾名女生？

2.“改變型”問題

這類問題指的是起始數量（起始量）增加或減少了一部分（改變量），得到了一個結果（結果量）的問題。在減法中，根據未知量的不同可以分為三種形式——求減少后的量、求增加前的量以及求改變量。如，求減少后的量：小紅有5只蘋果，吃了3只，還剩幾只？求增加前的量：小紅有一些錢，媽媽給她3元后，小紅有5元了，小紅原來有幾元錢？求改變量：小紅有3元，媽媽給她一些錢后，小紅有5元了，媽媽給她多少元？

3.“比較型”問題

這類問題指的是對兩個量進行比較產生的問題。比較時會有較小、較大和差異三個不同量，在這三個量的關系中，有兩種類型的問題要用減法解決：一種是求相差量，另一種是求較小量。如，求相差量：小明有5元錢，小紅有3元錢，小明比小紅多幾元？求較小量：小明有5元，小紅比小明少3元，小紅有幾元？或小明有5元，比小紅多3元，小紅有幾元？這兩種求較小量的問題，對學生來說，體現出的思維層次不同，前一種題目，學生的認知結構和題目呈現的邏輯結構一致，可稱作“求較小量的順向問題”;而后一種題目，學生的認知結構和題目呈現的邏輯結構不一致，可稱作“求較小量的逆向問題”。逆向問題對學生的思維水平要求更高。

（二）教材中如何呈現

根據減法意義的三種模型，對現行人教版教材一至六年級中有關減法的例題進行了梳理與分類。

1.減法意義以板塊式分布

小學教材中與減法直接相關的知識點主要涉及整數減法、小數減法和分數減法。與減法意義相關的內容集中安排在一、二年級的整數加減法中，也就是學生會在一、二年級初步理解減法的意義，而到四年級“四則運算”單元中才學習減法的概念。

2.減法模型以穿插式構建

教材以穿插的方式呈現減法的三種類型。第一次出現減法是在一年級上冊“1～5的認識和加減法”中，情境是：4個氣球飛走1個，還剩幾個，即教材中關于減法意義的內容是從“改變型”問題（拿走）開始呈現的;隨后在本單元練習中出現了借助于數數及一一對應來學習的“比較型”問題，情境是：上面一排5只小雞，下面一排3只小蟲，問題是小雞比小蟲多___;第5單元開始出現“部分—部分—全體型”問題，情境是通過圖文呈現，一共有6只企鵝，可以看到右邊有4只，左邊被東西遮擋住了，問左邊有幾只。綜上可見，一上年級已經呈現了減法的三種模型。值得注意的是“比較型”問題在一年級中只呈現求相差數的問題，到了二上年級，在“100以內加減法（二）”中出現了“比較型”問題中求較小量的順向問題，到五上年級“簡易方程”單元中才出現“比較型”問題中求較小量的逆向問題。

另外，三種減法模型（除“比較型”問題中求較小量以外）都出現在“數的認識”知識點后，教材呈現時都借助了情境圖，以幫助學生更好地理解減法意義。因此，教學時要關注數數、數的組成等內容，并借助這些內容幫助學生理解每一種減法模型的意義。

二、學情調查與分析

選取同一區域內134名學生，從兩個層面、四個維度對他們理解減法意義的情況進行調查。第一層面是考查學生用圖示或情境來表征減法意義的情況;第二層面是考查學生將圖例或文字描述抽象成算式的水平。

（一）用圖示表征減法意義的水平分析

測試中，要求學生用兩個不同的圖示表征“5-3”的意思，以考查學生用圖示表征減法意義的情況，統計結果如表1所示。

從表1中可以發現：能用兩種不同方法表征減法意義的學生只占學生總人數的29.9%，而40.3 %的學生畫了兩個圖示，但表征的內容屬于同一類型，說明多數學生還沒有建立對減法的“類”的感知。同時，在226份表征圖中，有186份采用“改變型”問題的方式（用畫去、圈走等方法）來解釋減法的意義，僅有40份采用了“部分—部分—全體型”問題的方式來解釋5-3的意思，而沒有學生采用“比較型”問題的方式來解釋減法。這說明在用圖式表示減法意義的三種模型時，學生最熟悉的是“改變型”，而“比較型”和學生的心理距離最遠。同時，用“改變型”解釋減法意義的圖示，多數（178份）都是用圓圈等具體的圖形來表示數，極少數（8份）采用小棒圖或計數器來表示（如圖2、圖3），或許在其中可以看到教學對這部分學生產生的影響。

（二）用情境描述減法意義的水平分析

測試內容為：要求學生根據算式“5-3”編寫兩個不同的情境來闡述算式的意義。以考查學生用情境描述減法意義的情況，統計結果如表2所示。

從表2的數據中可以看出，97%的學生都能用一種或兩種情境描述減法的意義。但與用圖式表征不同的是，用情境描述減法意義時，學生的表征類型集中在“改變型”問題和“比較型”問題上，卻沒有學生采用“部分—部分—全體型”。其中，編寫出的218道題目中，有101道是“……飛走了（吃掉了）……還剩幾個？”這種求還剩多少的類型，占總題數的46.3%，有95道是直接用文字表達“5比3多幾個？”或“3比5少幾個？”占總題數的43.6%。

在上述兩個維度的書面調查后，教師有針對性地選取了每班5位（共20位）學生進行訪談。訪談的內容為“你覺得什么是減法？”訪談中發現，78%的學生能模糊地說出“從一堆東西里拿掉一部分”，也就是學生對減法意義的理解更多建立在“拿走、飛走、吃了”等生活中的動態思維中，這是減法產生的原基礎。

（三）將圖例表征抽象成算式的水平分析

為考查學生根據圖例，寫出相應的減法算式的能力，對學生進行了“看圖寫算式并計算”的調查。調查試卷中共有10道題目，其中7道需要用減法解決。統計結果如表3所示。

從表3中發現：學生解決“部分—部分—全體型”問題（第3小題）與“改變型”問題（第1、2、4小題）時，正確率都比較高。尤其是第1小題，正確率為100%，這與前文中，請學生用圖式表征減法意義，學生更喜歡用畫去圓形的方法表征減法意義相一致。這幾道題目中，相對來講，求改變量的第4小題有9%的學生出現錯誤，錯誤率較高。仔細分析發現，其中6.0%的學生把求結果量與求改變量相混淆，寫成了“10-4=6”，也就是說他們對起始量、改變量與結果量三者之間的關系是清晰的，只是表征關系的算式與“習慣”不符，只有3.0%的學生把算式寫成了“10+6=16”，這3%的學生才是對三種量之間的關系理解不到位。

第5、6、7小題屬于“比較型”問題模型，分別是求差異量、求較小量的順向問題和求較小量的逆向問題。其中，第7小題是所有題目中錯誤率最高的題目，有70.1%的學生將算式列成“5+3=8”，訪談中發現，題目中的“多”字對學生的影響很大，也就是說，這部分學生對誰與誰比、誰比誰少中，哪一個“誰”才是比較的標準還不夠清晰。

（四）將文字描述抽象成算式的水平分析

為考查學生將純文字表征的題目抽象成算式的能力，進一步了解學生對減法意義的理解，對學生進行了“先用圖式表示題目內容，再列式計算”的測試，與“將圖例表征抽象成算式”的測試一樣，共測試10小題。統計結果如表4所示。

測試結果同樣顯示學生解決“部分—部分—全體型”問題（第3小題）與“改變型”問題（第1、2、4小題）時，正確率較高，而解決“比較型”問題尤其是“求較小量的逆向問題”（第7小題）出錯的人數最多，正確率只有77.6%。同時發現，學生用算式解答的正確率高于用圖式表征題目意思的正確率，尤其是第7小題，沒有學生能用圖式正確表征出題目的意思，這當然可能與教材的安排有關，但同時也說明比較型問題涉及兩個量之間的關系，一上年級學生要理解兩個量（兩個數）之間存在的關系確實有困難。

三、調查后的啟示

（一）要整體構建減法意義三種模型

所謂整體思維，就是要把各個部分按照一定的秩序組織起來，以整體和全面的視角把握對象。本次調查與分析，雖然是根據減法意義的三種模型，從不同角度展開，但事實上，減法意義的分類與模型的建構，并不是讓減法意義的理解從類型的角度割裂開來，而更需要教師用整體的視角有深度地去把握，去架構不同模型，使學生能從一種模型聯想到另一種模型，達到模型間的互相連通，真正把減法的意義理解透徹。

教學時，可以從減法的生活原型（拿走的）入手，把“改變型”問題與“部分—部分—全體型”問題建立起一個整體框架（如圖4）。

“改變型”問題中的起始量相當于“部分—部分—全體型”問題中的總量，當把拿走的部分看作是一種改變時，另一部分就是剩余量;如果把一部分看作是結果量，那么另一部分就是改變量。

“比較型”問題的三種形式也可以與“部分—部分—全體型”問題構建起一個框架（如圖5）。

這樣學生會對減法有一個整體性的感知，對減法的認知過程會成為一個系統化的過程，能凸顯減法知識內外縱橫的結構關聯，突出減法認知過程和思維方式深入的融通，結構化地理解減法意義。

（二）要重視引導學生經歷多元表征過程

在數學學習活動中，數學表征起到了極其重要的作用，數學表征能力發展在很大程度上影響著學生的認知水平。模型、文字、符號等是基本的表征形式，每一種表征都能用來表達任意一種運算的關系，幫助學生發展運算意識。如算式“5-3”，圖形表征方式可以是5個圖形整體圈去3個，實物表征可以是5個學具中拿去3個，當然也可以用文字等形式來表征。學生能否用多種方式表征，與學生的理解程度存在正相關。在教學時，特別是在解決問題的過程中，運用不同的表征才能真正加深學生對數學的理解，更好地提升數學思維能力。教師可以在教學中有意識地設計一些信息較多且相互之間關系較為復雜的問題，讓學生經歷并體會到運用數學多元表征的豐富性和必要性，在這個過程中逐步梳理數學信息、對象之間的關系，促進學生對意義的內化、理解。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教學應該以學生的認知發展水平和已有的知識經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。”對一年級學生進行減法概念理解的調查正是基于這樣的思考，讓學生在減法意義、模型建構中借助豐富的現實情境，經歷從具體情境到抽象算式的歸納過程，并能從算式中聯想到具體情境，深刻感知減法不同形式的表達;最后，讓學生通過語言表述、符號表征和算式表達等方式進行融會貫通，便于整體性、立體化理解減法的本質意義。

（浙江省杭州市蕭山區夾灶小學? ?311247）