模式直觀：小學數學運算教學新轉向

任建波

摘要：運算教學是數學教學的基礎之基礎，運算素養是數學核心素養的重要構成部分。然而“機械地搬用運算公式”等運算教學的困境卻始終難以擺脫，導致其滋生了“只在運算中教學運算”的病癥，突出表現為與模式直觀的割裂。數學思維的“原始形態”“純粹數的直覺”等天然的教學價值，是模式直觀教學意蘊的具體體現。當下小學數學運算教學要想克服病癥，培養出具備良好思維品質、扎實運算技能和成熟運算素養的人，迫切需要轉向模式直觀，探索常識性模式直觀、遷移性模式直觀、和諧性模式直觀和符號性模式直觀的價值和功能。

關鍵詞：模式直觀;運算教學;教學變革;學科核心素養

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）02A-0013-06

運算教學是九年義務教育階段的數學教學的基礎之基礎 [1]。運算教學研究一直在進行，但其困境卻始終難以真正擺脫。比如：“機械地搬用運算公式”[2]，“在中低年級都把標準的豎式計算作為計算教學唯一的歸宿”[3]，學生計算無“策”缺“謀”[4]63，等等。可以看到，已有研究極少觸及模式直觀。而真正的創造性的數學推理過程，即數學思維的原始形態，充滿著模式直觀[5]2。另外，心理學和神經學的研究結果表明，最有效的學習方法是左右腦并用，使用右腦進行“整體的”“直覺的”“形象的”思維，同時使用左腦進行“分析的”“邏輯的”思維[6]。這反映了當下的運算教學至少受限于兩點：一是對數學思維原始形態缺少全面把握;二是對人的全腦（特別是右腦）缺乏充分認知。運算教學滋生了“只在運算中教學運算”的病癥，突出表現為與模式直觀的割裂。

一、小學數學運算教學對模式直觀的遺忘

模式直觀是一種比幾何直觀更為廣泛的直觀思維途徑，直觀并非一定離不開幾何圖形。小學數學運算教學選擇了對模式直觀的視而不見，導致其滋生病癥。

（一）小學數學運算教學中數學思維“原始形態”的離場

現代生物學的有關結論表明，人與生俱來的“直觀”的物質基礎確實是存在的，這種東西至少以兩種方式存在：基因和大腦。“直觀并不是一成不變的，隨著經驗的積累其功能可能逐漸加強”“只有把‘先天的存在與后天的經驗有機結合起來，才能形成人的直觀能力。”[1]這說明人的“直觀”的物質基礎——基因和大腦的真實存在，是可以也應該隨著人的經驗的不斷積累被激活與逐漸加強，直至形成人的直觀能力。數學思維的原始形態，充滿著模式直觀。我們通常看到的作為結果的數學，只是“冰冷而美麗”的數學的學術形態[5]2。當運算教學聚焦在“程序”上，這種“程序”就會富含運算的定義、法則、性質、定理與規律，運算學習必然要遵循上述“程序”所富含的元素與要求，運算技能的形成只能靠“三算”能力的提升與運算習慣的培養，運算素養關照的也僅僅是在問題解決過程中所體現出的運算所賦予的支撐力度。也就是從運算學習開始，到運算素養的形成，強化的是學習者如何嚴密地遵循“程序”所要求的一切。比如，在筆算整數加法時，就要遵循整數加法的法則，“數位對齊、個位加起、滿十進一”。至于學習者面對具體筆算式子時由直觀認知而產生的非遵循法則的算法，則可能不被認可，無論結果正確與否、理由是否充分。這種“不被認可”的數次重復，直接導致了學習者的自我懷疑，學習者個體充滿著模式直觀的思維的“原始形態”不僅未被激活，反而頻遭打擊。進而，學習者為了保護學習自尊開始控制自我思維“原始形態”的主動暴露，降低“不被認可”的風險，開始主動迎合運算學習的“程序”，并盡力遵循其所富含的一切，直至學習者數學思維的“原始形態”所飽含的模式直觀悄然離場。

（二）小學數學運算教學與“純粹數的直覺”的割裂

龐加萊把對于代數概念的本能的接受能力稱為“純粹數的直覺” [8]5。“純粹數的直覺”與簡單、自然的算術運算法則相關聯。完全脫離運算的“數的直覺”是沒有意義的[8]6。同樣，缺少“數的直覺”參與的運算學習是不完整的。“數的直覺”與運算學習的天然聯系，首先表現在“數的直覺”的思維準備狀態與運算素養所反映的思維品質，二者同處于思維層面，體現從思維雛形走向思維成熟的一種階段性。“數的直覺”是學習者在不受運算法則、性質、定理等束縛下而產生的一種本能的思維感覺和想象，是非常規的，還可能是跳躍式的。學習者的運算素養體現的是面對真實性、個性化問題時能夠相機選擇運算程序或策略的能力，這種能力反映學習者思維的簡潔與靈活。由于二者同處思維層面，需要在教學過程中不斷加強它們之間的銜接。另外，這種天然聯系還表現在，通過經驗的積累，“數的直覺”可以逐漸形成一種能力，并將成為運算能力的重要構成部分。“數學唯一來源于直覺……這個直覺不過是一種能力，可以分別處理各種概念以及做出正規地出現于通常思維之中的那些推理。”[8]8可見，“數的直覺”不僅可以做出概念之間的推理，還可以做出“通常思維之中的那些推理”，比如運算過程中法則的遵循、定理的適用、策略的優化。在從“數的直覺”發展成為運算能力所包含的一個重要元素的過程中，若“數的直覺”不被喚醒與激活，這樣的運算能力將是不完整的。現實是，上述兩種天然聯系在教學實踐中并未受到重視：一是教學資源設計中少有學習者的思維準備狀態的存在，預設較多的是學習者根據前置問題做出規范應答，而少有“數的直覺”;二是教學評價的指標體系中，少有“數的直覺”作為指標點或過程要素，更多的評價指向運算的結果、方法與技巧性。這導致了小學數學運算教學與“純粹數的直覺”的割裂。

（三）小學數學運算教學中模式直觀的缺失

與幾何直觀借助視覺感官不同，模式直觀則是借助抽象思維的層次而展開。在較高層次的思維過程中，我們可以利用較低層次的直觀形象為背景構建推理模式[5]1。模式直觀是人們對事物之間邏輯關系的一種比較直接的、形象的推斷和理解。從對整數四則運算的概念學習開始，到法則、規律，再到小數（分數）四則運算的學習，強調的恰恰是運算學習的“間接性”與“邏輯性”。比如，四則運算概念、法則、定理與規律的間接性，這種間接性體現在學習內容的規定性，即所呈現的是“冰冷而美麗”的運算知識的學術形態。這種“冰冷而美麗”的學術形態在進入教學流程中也較少得到“直接”的改造。這種邏輯性更多地體現在運算程序的嚴謹性上，即學習者必須按照既定的運算順序、法則、定理與規律而展開。然而運算能力的培養、發展的過程是豐富的，由具體到抽象、由法則到算理、由常量到變量、由單向思維到逆向、多向思維[9]。一方面教材編排會嚴格遵循運算能力發展的過程豐富性，從低年級段到高年級段，螺旋上升地編排、設計運算學習內容板塊;另一方面教學實施會嚴格遵循運算能力發展的過程程序性，考慮運算知識、方法、策略和思想等的前延后續、結構關聯。也就是在教學實踐層面：首先，學習者面對的是“嚴格遵循運算能力發展過程豐富性”的“冰冷而美麗”的運算知識的學術形態，學習者對內容要素之間邏輯關系的一種比較直接的推斷和理解難以介入;其次，學習者面對的是“嚴格遵循運算能力發展的過程程序性”的“基于各種前延后續、結構關聯”的設計流程，學習者對內容要素之間邏輯關系的一種比較形象的推斷和理解也難以發揮作用。最終造成模式直觀在小學數學運算教學中的遺憾缺失。

二、小學數學運算教學中模式直觀的教學意蘊

面對“只在運算中教學運算”的病癥，運算教學需要思考學習者模式直觀的被發現、被激活與主動介入問題，深度開發模式直觀的學習價值，尋找新的學習路徑。

（一）數學思維的“原始形態”對小學數學深度學習的教學價值

所謂模式直觀，是指通過相對比較具體的、先前已經熟悉的、具有普遍協調感的、容易接近的模式作為背景，使得人們能夠進一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對象[5]1。小學數學的深度學習是在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心參與、體驗成功、獲得發展的有意義的數學學習過程[10]55。小學數學深度學習的過程是強調學習者對各種思維活動的經歷、探索和體驗，這需要學習者良好的思維狀態作為根基。充滿著豐富的模式直觀的人之數學思維的“原始形態”，為小學數學的深度學習提供了可能。

另外，深度學習追求一種高品質、高效率的課堂教學，深度學習的主要價值在于通過學科核心內容的重點探究過程，使學生在掌握學科核心知識的同時，培養學生的高階思維能力和問題解決能力，實現學科教學中的少量主題的深度覆蓋[10]53。深度學習的高品質、高效率，集中體現在“少量主題的深度覆蓋”。“少量”意味著學習者所面對的學習資源是經過加工設計、有效凝練的，這種“少量”必須能夠把握知識的脈絡體系與框架結構。“深度”反映的是“少量”對知識整體與本質的涵蓋，更重要的，是體現學習者思維的參與程度、被激活程度與新思維的生長性。人之數學思維的“原始形態”所飽含的豐富的模式直觀，是通過“少量”走向“深度”的天然載體。模式直觀在學科核心內容的重點探究過程中，促進學習者直接、形象地明晰學科核心知識，有層次地不斷形成高階思維能力和問題解決能力。

（二）“純粹數的直覺”對小學數學“整體性”學習的教學價值

最好的學習就是整體學習。有效的記憶和理解總是在一個整體的知識框架里頭，它能誘導別的知識，別的知識也可以誘導它[11]。綜合性是數學運算的顯著特點，數學運算能力不可能獨自發展，它總伴隨著邏輯思維能力、空間想象能力、推理能力的發展而發展[4]62。運算學習的綜合性特點與促進學習者開展“整體性”學習不謀而合，“純粹數的直覺”摒棄碎片化，溝通運算學習在一個整體性知識框架內部的相互“誘導”，在運算學習所需的不同的思維層次間螺旋上升，高一層次的思維展開需要以低一層次的思維模式為基礎，這一較低層次的思維基礎即為模式直觀。學習者“純粹數的直覺”的教學價值體現在兩個方面。一方面是對運算教學中本質的直接感知，即透過現象看到本質。比如在教學“9加幾”時，把1+9=10，2+9=11，3+9=12……9+9=18這9道等式排成一列后，學習者通過觀察發現，“和的個位數總是比第一個加數少1”，追問：“為什么會少1？”或“這個1跑到哪里去了？”“這個1與9合成了10。”這就是“純粹數的直覺”透過現象看到本質的一個例子，是建立在整體（9道等式組成一個有外在特征的一類現象）之上的運算學習，是一次整體性數學學習（在整體性的基礎上研究獨立性）。反之，若不借助整體的呈現，則較難發現問題并追問其原因。另一方面是對運算教學中不同事物（現象）之間聯系的直接感知，即在把握本質的同時建立聯系（也是聯結，走向大概念）。還以“9加幾”為例，追問“為什么會少1”還不是最后一問。在學習者找到了這個原因之后（這當然也是借助了整體性），還應該進一步探索：這一組（9道）等式之間有怎樣的聯系？這是從整體性出發的另一個視角（在整體性的基礎上研究關聯性），以第1道等式為觀察基點，用第2道、第3道……第9道與之對比，包括第1個加數的比較、第2個加數的比較、和的比較，還包括運算符號的比較、加數個數的比較，等等。發現一個加數不變，另一個加數增加（或減少）幾，和就增加（或減少）幾。若運算教學探索能如此進行，運算學習促成的思維迭代與聯結將不再困難，充滿無限可能。

三、小學數學運算教學的“模式”轉向

張廣祥、張奠宙將模式直觀初步分為四類：常識性模式直觀、遷移性模式直觀、和諧性模式直觀和符號性模式直觀[5]1。以下據此分類，分別闡述相關實踐。

（一）常識性模式直觀的教學探索

常識性模式直觀是指人們借助一般的生活實踐做背景，隨著生活經驗的積累而被固定下來的、廣為接受的推理過程[5]2。運算學習可以利用生活經驗中被固定的、廣為接受的推理過程展開新的理解與學習，是更直接的、更形象的思維生長過程。比如，在探索“減法各部分之間的變化規律”時，可以將被減數看作是倉庫里原有物體的數量，減數是被拿走物體的數量，差就是剩下物體的數量。這樣可以得到且容易理解以下三種情況：若被減數（倉庫原有的）不變，減數（被拿走的）增加（或減少），則差（剩下的）就減少（或增加）;若減數（被拿走的）不變，被減數（倉庫原有的）增加（或減少），則差（剩下的）就增加（或減少）;若差（剩下的）不變，被減數（倉庫原有的）增加（或減少），則減數（被拿走的）就增加（或減少）。這樣借助生活中的常識性經驗使得原本非常抽象且難以理解的三種變化關系就變得更加容易理解，這就是常識性模式直觀在發揮作用。

（二）遷移性模式直觀的教學探索

人類的抽象思維，需要有較低層次的、相對具體、形象化的實際背景作為支撐。同時人們又不斷地將已經比較熟悉的情景，遷移到較高的思維層次，這樣有助于產生新的、更為抽象的推理，這是遷移性模式直觀[5]3。這種遷移突出表現為，運算學習過程中新知識生長點的尋找與建立。比如，在小數四則運算的學習過程中，對整數四則運算的概念、法則、性質和規律的遷移性運用。以“小數加法”的學習為例，首先對整數加法法則進行回顧，在經歷了對小數加法的探索后，發現小數加法與整數加法的法則有一致性，整數加法法則對學習者而言是“比較熟悉的情景”（或較低思維層次），而小數加法法則則是在此基礎上通過遷移而產生的新的推理（從整數加法的邊界向小數加法的突破）。生長點即為從原來的“數位對齊”變成了“小數點對齊”。

（三）和諧性模式直觀的教學探索

“美學觀念”在理解符號及其運算的學習過程中發揮重要作用。我們能夠通過模式直觀，用“美學的”“和諧的”“合理的”思考方式，幫助學生理解這些規則。這是和諧性的模式直觀[5]4，這也是數學美的一種體現。比如，在探究圖1這道試題時，可以采用化繁為簡的策略，從最簡單的9×9=18開始觀察（如圖2）。

從上往下看，隨著兩個因數的變化（即9的個數的增加），積也隨之發生變化（9與0的增加）。整體上看，這個圖呈三角形形狀，是有美感的;積隨著因數的變化而變化的規律又呈現一種和諧美;在分析前面幾道式子乘積規律的基礎上探索最終的結果，又是合理的。再比如，借助天平作為實物模型來理解方程的“平衡性”，也體現了和諧性模式直觀的教學價值。等號的平衡關系是方程的核心思想[2]。等號從連接運算結果，到表示一種平衡關系、一種等價關系，是由算術思想到代數思想的轉變。學習者借助如何保持天平的平衡來理解等號兩邊必須同時增加（或減少）相同的數量，才能保證等號兩邊的平衡。這既是和諧的，又是合理的，否則天平（等式）的平衡必將遭到破壞。這反映了和諧性模式直觀在發揮作用。

（四）符號性模式直觀的教學探索

被固定下來的符號與算式已經發展成為數學中的“直觀模式”，它們在數學思維中所發揮的作用與它們外在形式的簡潔優美是分不開的。這一來自代數中的模式直觀，我們歸諸為符號性模式直觀[5]4。模式直觀是建立代數想象力的基礎[5]1，符號性模式直觀的教學價值突出體現在其簡潔性與符號化。像等差數列求和公式，運算律的字母表達式等，是結果化的符號性模式直觀，其過程化的教學價值主要體現在對符號（或算式）的探索與聚焦過程中的比較、評價、建模等方面。比如，在學習簡單的周期時，呈現情境圖后讓學生表達自己的發現，有用漢字的“藍花、黃花、紅花、紅花，藍花、黃花、紅花、紅花……”，有用圖畫的“△、□、○、○，△、□、○、○……”，有用數字的“1、2、3、3，1、2、3、3……”，有用字母的“A、B、C、C，A、B、C、C……”，等等。接著出示問題“第15盆是什么顏色的花？”這時有先發現4盆為一組，用除法算式15÷4=3（組）……3（盆）得到答案。這個除法算式也是問題解決的模型。再比如，學習加法結合律時，情境圖呈現的是“28個男生跳繩，17個女生跳繩，23個女生踢毽子”，所求問題是“跳繩和踢毽子的一共有多少人？”可得兩種求法，（28+17）+23和28+（17+23），因為這兩種求法的結果相同，可以將這兩個式子寫成等式，即（28+17）+23=28+（17+23）。此時引導學生發現等號的左右兩邊有哪些相同點，有哪些不同點。據此個案提出猜想，“先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。”接著寫出更多具有上述特征的等式。當寫出的等式既符合上述特征，又驗證相應的猜想，則可以嘗試表達出規律是什么。可以是漢字描述：（甲+乙）+丙=甲+（乙+丙），可以是畫圖描述：（△+□）+○=△+（□+○），可以是字母描述：（a+b）+c=a+（b+c），等等。經過比較，選用字母來描述加法結合律最簡潔、最直觀。

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責任編輯：趙赟