數學核心素養的主題教學實踐與反思

唐和平

【摘要】本文以直觀想象、邏輯推理、數學運算三大核心素養為導向，以數形結合、化歸與轉化數學思想為主線，以學生能力的培養為目標，以“點到直線的距離”為例進行主題教學設計，并注重教學要素分析與現代信息技術的使用，構建邏輯連貫的教學過程.

【關鍵詞】距離;核心素養;數學思想;主題教學

《普通高中課程標準（2017年版）》高中階段的數學核心素養具體確定為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六方面[1].數學核心素養的給出回答了未來數學教育要“培養什么人”的問題.但無論怎樣培養，都需要樹立正確的教育觀念.從教材層面看，可以通過教師“理解好”教材、“利用好”教材，讓數學核心素養“落地生根”;從教學觀層面看，可以通過觸及數學知識本質、關注學生思維深層次參與的深度教學，讓數學核心素養“開花結果”[2];從教學操作層面看，教師要注重教學設計，重視情景創設與問題設計，促進學生對數學本質的理解.《普通高中課程標準（2017年版）》給出了主題教學設計的一般模式：確定主題內容、分析教學要素、編制主題教學目標、設計主題教學流程、設計反思與修改[1].

根據新課標發布后兩年多的教學實踐，我以“點到直線的距離”為例加以分析說明.

一、教學要素分析

1.教材內容分析

對于平面幾何，我們可以對直線進行定量研究.引入平面直角坐標系后，我們用方程表示直線，直線的方程就是直線上每一點的坐標滿足的一個等式，即二元一次方程.這樣，我們可以用代數方法來研究直線上的點，對直線進行定量研究.

2.學情分析

學生在前兩節課已經學習了兩條直線交點坐標的求法，以及兩點間距離的求法，這為本節課求點到直線的距離提供了學習的工具.但學生對直角三角形中“等面積法”求距離使用很少，且多數學生已經遺忘，故要在課前適當復習.

3.重點、難點、核心素養分析

根據點到直線的距離的概念，學生容易想到的是過點作直線的垂線段，所求距離為垂線段的長度，求解思路：寫出垂線段所在直線的方程，與已知直線聯立成方程組，求出交點坐標即垂足坐標，再利用兩點間的距離公式求出結果，這是典型的坐標法.這種思路是重點，但求交點坐標、求距離是難點，學生幾乎無法進行運算，故回歸到幾何的本質，采用幾何法——“等面積法”求距離，這是本節課教學的重點.同時要在教學中滲透直觀想象、邏輯推理、數學運算的數學核心素養.

4.教學方式分析

本節課通過以下程序：提出問題——分析問題，選擇方法——合作交流，解決問題——反思解決問題的過程——優化解決問題的方法——簡單應用，鞏固知識，設置教學流程.在教學中，教師設置問題，學生通過小組合作、師生合作，探究出求點到直線距離的坐標法，并利用多媒體對圖形的變化進行展示，尋找求點到直線的距離的幾何法——等面積求距離法，從而順利推導出點到直線的距離公式.

二、教學流程設計

1.創設情境，提出問題

師：上節課我們已經學習了兩點之間的距離公式.如圖1所示，已知點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則兩點間的距離P1P2等于多少？

生：P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

師：任意給出兩個點的坐標，可以用代數的方法計算出兩點間距離.如果將上述問題中的一個點不變，另一個點的坐標換成一條直線的方程，那么怎樣求點到直線的距離呢？即：如圖2所示，已知點P0（x0，y0），直線l的方程為Ax+By+C=0，求點P0到直線l的距離d.

設計意圖：復習上節課知識，類比提出本節課要解決的問題，體現了知識的延續性.

2.分析問題，選擇方法

師：點P0到直線l的距離怎么表示？

生1：過點P0作直線l的垂線，垂足為Q，則線段P0Q的長就是點P0到直線l的距離，如圖2所示.

師：很好！怎樣求呢？

生2：已知點P0的坐標，求出點Q的坐標即可.

師：怎樣求點Q的坐標呢？

生3：由直線P0Q與l的方程聯立可求出點Q的坐標.

師：直線P0Q的方程怎樣求呢？

生4：點P0坐標已知，只需求出垂線P0Q的斜率kP0Q，再用“點斜式”求出方程即可.因為P0Q⊥l，所以kl·kP0Q=-1，直線l的斜率已知，所以可以求出kP0Q，這樣問題就得到了解決.

師：直線l的斜率怎么求？

生5：kl=-AB.

師：他的回答正確嗎？

學生討論.討論后，發現當B=0，A≠0時，直線l的斜率不存在，但直線l的方程變得更簡單，為x=-CA，此時d=x0+CA（如圖3所示）;當A=0，B≠0時，直線l的方程為y=-CB，此時d=y0+CB（如圖4所示）.

設計意圖：讓學生學會“以退為進”，這實際上也是轉化與劃歸思想的體現.

5.簡單應用，鞏固知識

對教材例5的說明：比較簡單，直接利用公式求解即可.

對教材例6的說明：它是兩點間距離公式、直線方程、點到直線的距離公式、面積公式等綜合的應用題.若時間允許，則可以考慮用其他方法求解.

三、教學反思

1.利用層層遞進的問題情境，降低思維難度

有人說，課堂提問是課堂教學的靈魂.課堂提問由淺入深，層層推進，環環相扣，學生在教師的引導下，不斷發現問題和解決問題.好的提問必然能體現前后知識的連貫性和邏輯性，但解決的問題又揭示了本節課的難點——代數運算.通過探究問題情境，“退”到兩點間距離求法的源頭，降低了思維難度.

2.利用現代多媒體技術，提升數學核心素養

合理利用多媒體技術，可以提高教學效率.比如，前兩種方法的推導只需展示給學生，讓其體會推導過程的艱難即可，但多媒體與板書也要結合起來使用，這樣才能讓學生對重點內容有深刻的印象.比如，第三種方法的推導，教師就需要給出詳細的板書，以此培養學生的邏輯推理能力、數學運算能力，進而提升直觀想象的核心素養.

3.利用課堂教學的舞臺，滲透數學思想方法

數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”本節課在推導點到直線距離公式時，利用多媒體展示圖形，以形助數，提高了學生的感性認識，學生的動手推導與教師的板書相結合，又提升了學生的理性認識，以此完美地滲透數學思想.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：4.

[2]王沛鈺，李祎.高中生數學核心素養的培養需樹立的幾種觀念[J].數學通訊，2019（08）：1-3，31.