新高考背景下的數學教學散思

曹廣福

摘要：不管高考怎么命題，數學教學僅靠“刷題”和“套路”都是不行的，必須認真思考如何真正培養學生的數學思維能力。要培養學生的思維能力，關鍵不是呈現解題步驟，而是講清楚并讓學生體會到解題思路。為此，數學教學要傳授數學思想，努力達成“應試”與“素質”的平衡。

關鍵詞：新高考;數學教學;思維能力;解題思路;數學思想

一、“刷題”和“套路”不行了：從“八省聯考”數學卷說起

2021年的“八省聯考”數學卷讓眾多學子鎩羽而歸，也讓很多教師感到不適應——靠“刷題”和“套路”似乎不能解決問題了。比如，這套試卷的壓軸題：

已知函數f（x）=ex-sin x-cos x，g（x）=ex+sin x+cos x。

（1）證明：當x>-5π4時，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a。

很多人覺得這道題很難，尤其是第（2）小題。同時，也有不少人給出了這道題的多種正確解答，但是，這些解答方法如同霧里看花，解題者是如何想到的？似乎尚沒有一個使人感到邏輯自然的解答。也就是說，解題者沒有將解題思路講清楚，我們很難從解答中看到清晰的解題思路，更不要說它所體現的通性通法或思想方法了。

那么，這道題真的很難嗎？非也！找到合適的思路，真是一點兒也不難。

第（1）小題是平常題目，姑且按下不表。對于第（2）小題，首先按順序思考如下3個問題：

問題1：這是一個什么樣的問題？

這是對題目的辨析，不搞清楚它，就會感到無從下手。答案很簡單：一個固定函數的圖像被一些直線從下方“支撐”住了。

問題2：這些直線是些什么直線？

這仍是對題目的辨析。直線y=2+ax ，過一個定點（0，2），換言之，這是過點（0，2）的一個直線束。

問題3：需要解決什么問題？

求出所有能“支撐”住函數y=ex+sin x+cos x圖像的直線的斜率a的范圍。

解決了這3個問題，第（2）小題的辨析過程就完成了。但要徹底解決第（2）小題，還需要做進一步的分析。因為所有直線都與y軸交于一點，我們自然應該弄清楚第4個問題：

問題4：所有直線都過點（0，2），那么，函數的圖像與y軸有沒有交點？交點是什么？

這個問題并不難回答：g（x）的圖像與y軸交于點（0，2）。因此，直線束與函數圖像有一個交點，即點（0，2）。

接下來的第5個問題很自然地就產生了。

問題5：直線y=2+ax如何才能“支撐”住g（x）的圖像？

顯然，直線如果穿過曲線，則不可能成為曲線的“支撐”;直線如果與曲線交于另外一點，除非在那一點與曲線相切，否則也不可能成為“支撐”。

有了這些分析，估計所有熟悉函數圖像的人都清楚“支撐”函數圖像的直線應該是什么樣的直線了。

我們可以做一個“大膽猜測”：只在一種情況下，直線才可能“支撐”住函數的圖像，這就是：直線在點（0，2）處與函數的圖像相切，即a=g′（0）=2。

這個猜測合情合理，雖然它不能作為正式的證明，但是它無疑給了我們證明的基本思路。接下來的事情自然便是“小心求證”了。

有了上述一系列的分析、思考，是不是有一種撥云見日的感覺？

二、“刷題”和“套路”之外：解題能力的核心是思維能力

很多一線教師喜歡尋找“套路”，即“分類”;很多參考資料都在進行各種各樣的“分類”。“分類”有沒有用？可以肯定地說：有用。原因是，面對高考卷那么大的題量，不具備一定的熟練度，沒有一定的“套路”，很難應付。但“套路”的作用終究是有限的，題目千變萬化，永遠會有你沒有見過的“套路”，尤其是面對素養立意的新高考。所以，“套路”之外，我們還需要別的東西。這個東西不僅對應試大有裨益，對于一個人未來的人生也是十分重要的，它就是人們常常掛在嘴邊，卻看不見、摸不著的“思維能力”。這是數學素養的根本，包括數學直覺與數學思辨。

善于解題本身就是一種能力，這一點不容置疑。不同的人掌握解題方法的途徑有所不同。靠“刷題”和“套路”積累經驗、歸納題型，可以有效地提高解題速度。因此，面對大題量的試卷，適當的“刷題”和“套路”是必不可少的。但是，一味地依賴“刷題”和“套路”，會帶來兩方面的問題：其一，過量的“刷題”容易使人產生疲勞，久而久之就會把本來充滿直覺和思辨的數學變成機械化的技能訓練，只會幾個“練熟了的動作”;其二，僅尋找“套路”容易限制思路，久而久之就會削弱思維的靈活性，無法應對題目的變化。

也就是說，靠經驗和題型解題與靠直覺和思辨解題是兩種完全不同的解題方式，各有優缺點：前者可以有效提高解題速度，后者可以應付從未見過的題型，兩者缺一不可。一線教師切莫被誤導，從一個極端走向另一個極端。

事實上，不管高考怎么命題，僅靠“刷題”和“套路”都是不行的。作為教師，必須“兩條腿走路”：一方面，指導學生適當地“刷題”，總結“套路”;另一方面，認真思考如何真正培養學生的數學思維能力。這才是數學教學的正道。

三、培養思維能力：思路比技巧更重要

“道勝于術，無招勝有招。”解數學題也是這個道理。一個好的解題方案不應該以玩技巧為重點——雖然技巧必不可少，但更重要的在于思路。這個思路應該可以重復，具有一般性，即屬于通性通法，體現思想方法。如果把解題過程看作一部運行的機器的話，技巧就是機器的潤滑劑，思路才是發動機。在科學實驗中，偶然性結果不能當成真理，只有經過重復實驗可以再現的結果才能稱得上真理。可以重復、具有一般性的思路可以幫助解題者以不變應萬變：任它題型千變萬化，我自有應付之策。

當然，要培養學生的思維能力，關鍵不是呈現解題步驟，而是講清楚并讓學生體會到解題思路。甚至，很多時候，題目無所謂好壞，不知所云的解答才是更糟糕的，它會把學生引向歧路——說到底，是把一個充滿直覺和思辨的問題變成了純粹的玩技巧的問題。

再回頭去看上述“八省聯考”數學卷的函數與導數壓軸題，相信大家都能理解上文給出的5個思考問題形成的邏輯鏈條，也比較容易從中找到解題的基本思路——它的每一步都是基于自然的思考。正所謂“道法自然”。

我們不妨用類似的方法來解決下面這道2021年廣東省廣州市一模數學卷壓軸題：

已知函數f（x）=xln x-ax2+x（a∈R）。

（1）證明：曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l恒過定點;

（2）若f（x）有兩個零點x1、x2，且x2>2x1，證明：x21+x22>4e。

對于第（2）小題，不妨也按順序思考如下5個問題：

問題1：如果函數有兩個零點x1與x2，這兩個點滿足什么條件？

問題2：如何尋找x1與x2的關系？

問題3：函數的兩個零點滿足條件x2>2x1，如果將x2用2x1代替，ln x1+1x1與ln 2x1+12x1應該是什么關系？

問題4：既然有ln x1+1x1=ln x2+1x2，x1與x2有可能位于x=1的同一側嗎？

問題5：回到問題3，ln x1+1x1與ln 2x1+12x1應該是什么關系？

這里，只要想清楚了問題2，對問題3中的兩個代數式就一點兒也不會感到奇怪。而問題4則是對函數圖像及特殊點與圖像位置關系的分析。可見，解決函數問題離不開對函數幾何特征的分析。

上述5個問題弄清楚了，這道題便迎刃而解。

四、傳授數學思想：努力達成“應試”與“素質”的平衡

檢驗學生對某類知識的掌握程度，方法主要有兩個：一是考試，二是實踐。實踐環節很難在學校學習階段完成：雖然可以通過課外實踐、創新大賽等形式在一定程度上有所體驗，但那只是對部分學生的局部性檢驗，不具備一般性。根本的實踐環節需要在學生走向社會、參與實際工作之后完成。因此，作為高校選拔學生的方式，考試無疑是目前最重要、最公平的途徑。從這個意義上說，離開應試談素質教育是沒有意義的。作為數學教學“指揮棒”的數學高考，命題應該遵循什么原則？充分體現數學思想。2021年“八省聯考”數學卷的壓軸題就充分體現了這樣的原則。

那么，數學課堂教學如何適應新高考的要求？根本方法只有一個：回歸數學教育的本質。數學教育的本質是什么？傳授數學思想，培養數學直覺和思辨能力。有效路徑是什么？有限的“再創造”，讓枯燥的數學知識回歸為解決問題過程中有趣的思考，讓學生深刻領會數學知識背后的數學思想，最終達到將數學思想轉換成解題方法的目的。為此，教學中需要重視以下兩個環節。（1）審題。審題具有兩個基本功能，一是搞清楚題目在說什么，清晰理解題目的條件與結論;二是對問題有一個初步的感知，明確是什么類型的問題。在上述“八省聯考”數學卷壓軸題的思考過程中，問題1到問題3都屬于審題過程中的思辨。（2）解題。在上述“八省聯考”數學卷壓軸題的思考過程中，問題4和問題5則是解題過程中的思辨。正是通過這樣的思辨，才有了后面的直覺猜測。

而且，這樣思辨的過程，充分體現了微積分中的局部化思想，用微積分的常用術語來描述，即微分近似公式。然而，機械地記憶微分近似公式（切線代替曲線）是遠遠不夠的，需要對這一公式的本質有深刻的理解，即清楚地了解函數與一階近似式的誤差是一個高階無窮小量。換言之，這個誤差與自變量的增量相比可以忽略不計。在理解問題本質的前提下，需要尋找運用初等方法解決問題的途徑。

改革并非否定傳統的教學，而是糾正過去的偏差。數學思想需要傳授，數學技巧也必不可少，關鍵在于二者如何兼顧。為此，我們還需要做到：（1）概念課不可以一帶而過，因為沒有對概念內涵的深刻理解，就無法面對相對復雜尤其是模棱兩可的問題;（2）原理課一定要闡述清楚原理，讓學生了解原理的來龍去脈（為了解決什么問題）以及蘊含的深刻思想，否則，學生在面對新的問題時將一籌莫展，不知道如何運用已經具備的數學工具。

五、寫在最后

雖然筆者不反對教師在課堂教學中，幫助學生總結解決常見問題的一般方法并進行歸納分類，這在基本功訓練過程中是行之有效的，對于應付大題量的考試也大有助益;但這不是數學教育的根本，數學教育的本質是傳授數學思想，教學生學會思考。

面對新高考，用一個教育心理學家常說的詞來概括，學生更需要“元認知”能力，他們需要知道怎么想到用某個方法來解決某個問題。

思維能力的培養不是一句改革口號，也不是專家寫文章才需要的專業術語，它需要教師在課堂教學中不斷摸索，真正讓學生在面對各種問題的時候，做到“無招勝有招”。