縝密思考，啟迪智慧，巧妙假設(shè)，破解難題

熊家昌

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)題題型多，解題方法多而靈活，在避免盲目刷題的前提下，數(shù)學(xué)題是鍛煉學(xué)生思維的好素材。就解題方法而言，假設(shè)法是一種重要的方法。文章以幾道小學(xué)典型應(yīng)用題的求解來(lái)闡述假設(shè)法在小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)題;解題方法;假設(shè)法

中圖分類號(hào)：G623.5?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：2095-624X（2021）11-0073-02

例題一：一件工程，甲單獨(dú)完成需要20天，乙單獨(dú)完成需要30天。現(xiàn)在甲、乙兩人合作， 乙中途休息了若干天，到完成工程時(shí)用了16天，求乙中途休息了幾天？

簡(jiǎn)析：本題進(jìn)行合理化假設(shè)（可理解為“題述情況未發(fā)生”），即假設(shè)“中途無(wú)人休息”（ 因該假設(shè)總工作量大于1而似悖于常理但不影響問(wèn)題的求解，這恰顯假設(shè)法的巧妙之處），則由假設(shè)情況下所完成的總工作量減單位“1”，再除以請(qǐng)假者的（工作）效率，即求出其中途休息天數(shù)。即本質(zhì)上，這一超單位1部分的工作量是由請(qǐng)假者不請(qǐng)假（則）本可完成的。

假設(shè)“中途無(wú)人休息”這是在求解工程類問(wèn)題時(shí)常可用的一個(gè)技巧。本題通過(guò)假設(shè)避免了設(shè)參數(shù)，求解過(guò)程更加明了。

例題二：學(xué)校食堂運(yùn)回一批糧食，其中大米占糧食總質(zhì)量的? ? ，當(dāng)吃了36千克大米后，剩下的大米占剩下的糧食總質(zhì)量的? ? 。運(yùn)回的這批糧食共多少千克？

簡(jiǎn)析：本題假設(shè)“等比例地吃”，由一定（量）的剩下的大米與（兩種吃法情況下）剩下的其他糧食的比不同來(lái)進(jìn)行求解。類似問(wèn)題中也可假設(shè)“不同比例” “不同量”為相同“值”來(lái)進(jìn)行求解。本題求解過(guò)程靈活運(yùn)用了比例的思想。

針對(duì)性練習(xí)題1：A與B兩種商品成本共200元，A商品按40%的利潤(rùn)定價(jià)，B商品按30%的利潤(rùn)定價(jià)，后來(lái)銷售時(shí)各打八五折，仍獲利28.65元，問(wèn)：A與B兩種商品的成本各是多少？

提示：假設(shè)兩種商品均按40%的利潤(rùn)定價(jià)，則可先算出A商品的成本;反之，假設(shè)均按照30%的利潤(rùn)定價(jià)，則可先算出B的成本。對(duì)這類經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題利用假設(shè)法求解可簡(jiǎn)化運(yùn)算（避免了設(shè)參數(shù)）。

例題三：瓶中裝有濃度為14%的酒精溶液1000克，現(xiàn)在又分別倒入100克和200克的A、B兩種酒精溶液，瓶里的溶液濃度變成了12%。已知A種酒精溶液濃度是B種酒精溶液濃度的2倍，那么A種酒精溶液濃度是多少？

解：由于后來(lái)分別倒入的100克和200克的A、B兩種酒精溶液存在質(zhì)量和濃度方面的倍數(shù)關(guān)系，易求出它們的混合液的濃度，據(jù)此可假設(shè)一虛擬的中間（兌制）操作（過(guò)程）即將它們先混合，這樣本題的求解就變簡(jiǎn)單了。即假設(shè)后來(lái)倒入的兩種酒精溶液不是直接倒入原1000克酒精溶液，而是這兩種溶液先混合，再倒入原1000克酒精溶液。這樣對(duì)這一中途混合得到的溶液和原1000克酒精溶液的濃度，運(yùn)用十字相乘法即可快速求出答案。

在求解溶液相關(guān)問(wèn)題的常可合理假設(shè)一中間配制（兌制）操作，使問(wèn)題明朗化，且常可從這一中間配制（兌制）操作得到的溶液順藤摸瓜，避免一葉障目。假設(shè)法往往巧在假設(shè)，準(zhǔn)在推導(dǎo)，難在（解答時(shí)）準(zhǔn)確、到位地表述。用十字相乘法解題是一種重要的方法。

針對(duì)性練習(xí)題：有酒精含量為50%的酒精溶液若干，加了一定量的水后稀釋成酒精含量為40%的溶液，如果再繼續(xù)稀釋到25%，那么還要加水的量是上次加水量的幾倍？

提示：本題基本解法是抓住溶質(zhì)不變這一特點(diǎn)（抓不變量是一種重要的解題思路。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中抓“變與不變”有時(shí)也是解題的關(guān)鍵），利用三種情況下的溶劑間的數(shù)量關(guān)系求解。但也可假設(shè)兩個(gè)參照的溶液兌制操作進(jìn)行比對(duì)求解。第一個(gè)（操作）由含量為50%的酒精若干，加一定量的水稀釋成酒精含量為40%的溶液。第二個(gè)（操作）由含量為50%的酒精若干，加一定量的水稀釋成酒精含量為25%的溶液。對(duì)兩假想兌制操作而言，對(duì)濃度運(yùn)用十字相乘法可知道50%的酒精和所加水之比分別是4：1和4：4，因此題述兌制過(guò)程中第二次加水量是第一次加水量的3倍。本題的求解關(guān)鍵在于（合理）假設(shè)了兩個(gè)相關(guān)參照的溶液兌制操作，這使求解更加清晰、快捷。

例題四：如下圖，甲、乙兩人分別在A和B兩地相向而行，于E處相遇后，甲繼續(xù)向B地行走，乙則休息了14分鐘，再繼續(xù)向A地行走，甲和乙到達(dá)B地和A地后立即折返，仍在E處相遇。已知甲每分鐘行60米，乙每分鐘行80米，求出A和B兩地相距多少米。

解：設(shè)A和B兩地間的距離為S。假設(shè)相遇后乙未休息（即題述情況未發(fā)生），則經(jīng)分析可知甲和乙下一次相遇將在EB之間距離E地不遠(yuǎn)處的地方。而實(shí)際情況則是在E處相遇。對(duì)甲而言（兩種情況的不同之處在于）實(shí)際比假設(shè)情況多走了8分鐘（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）才再次遇到乙，所以? ? ? =60×8， S=1680米。

簡(jiǎn)析：本題的常規(guī)解法是對(duì)兩次相遇進(jìn)行整體分析然后利用比例關(guān)系進(jìn)行求解，計(jì)算過(guò)程稍難，數(shù)學(xué)處理略顯復(fù)雜。用假設(shè)法求解則計(jì)算簡(jiǎn)單。用假設(shè)法解題，找出假設(shè)情況與實(shí)際情況不同的原因常是解題的關(guān)鍵。本題的差異之處在于第二次相遇點(diǎn)（位置）改變，原因則為由于乙的休息導(dǎo)致甲（實(shí)際比假設(shè)情況）多走了8分鐘。緊扣此（原因）題目即得解。在行程問(wèn)題（尤其是兩個(gè)及以上運(yùn)動(dòng)對(duì)象背景題型）中，常可假設(shè)未發(fā)生返回、（中途）停車等情況，推導(dǎo)假設(shè)情況導(dǎo)致的相關(guān)結(jié)果并與實(shí)際比較，分析差異原因，近而求解問(wèn)題。

針對(duì)性練習(xí)題：甲乙兩地的公路長(zhǎng)195千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行30千米，中途乙車出現(xiàn)故障，修車用了一小時(shí)。兩車從出發(fā)到相遇經(jīng)過(guò)了幾小時(shí)？

提示：本題類似例題一的工程問(wèn)題（其實(shí)本質(zhì)相同），同樣地假設(shè)乙車未出現(xiàn)故障，則相遇時(shí)兩車的路程之和為225（即195+30）千米，所以兩車從出發(fā)到相遇所用時(shí)間為225/（45+30）=3小時(shí)。對(duì)本題而言，合理假設(shè)乙車未因故障而耽擱并不影響兩車相遇時(shí)間（點(diǎn)）。其實(shí)本題也可理解為一個(gè)以行程問(wèn)題為背景的工程問(wèn)題。從本題可看出，小學(xué)工程類問(wèn)題的內(nèi)容廣泛，也包括行程、水管注水等內(nèi)容。也再次說(shuō)明小學(xué)數(shù)學(xué)題綜合性強(qiáng)，對(duì)鍛煉學(xué)生思維大有裨益。

例題五：一個(gè)圓柱體容器內(nèi)放有一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊。現(xiàn)打開(kāi)水龍頭往容器中灌3分鐘的水，水恰好沒(méi)過(guò)長(zhǎng)方體的頂面，再過(guò)18分鐘水灌滿容器。已知容器的高為50厘米，長(zhǎng)方體的高為20厘米，求長(zhǎng)方體的底面面積和容器面積之比。

解析：經(jīng)分析易知本題若設(shè)相關(guān)參量進(jìn)行求解則推導(dǎo)過(guò)程略顯煩瑣，但結(jié)合等效的思想進(jìn)行合理假設(shè)則經(jīng)推理可得解。具體來(lái)說(shuō)，由水面恰好沒(méi)過(guò)長(zhǎng)方體的頂面后再灌（水）18分鐘容器灌滿（即18分鐘灌圓柱體容器30厘米高的體積），可知若圓柱體容器內(nèi)沒(méi)長(zhǎng)方體鐵塊則最初灌（水）的3分鐘可管灌圓柱體容器5厘米高的體積，但實(shí)際情況是這3分鐘灌了內(nèi)含鐵塊的圓柱體容器20厘米高（即鐵塊高度）的體積（產(chǎn)生差異與矛盾），所以（本質(zhì)上）實(shí)際圓柱體容器（20厘米高以下）的“有效底面積”僅為? ? （即? ? ?），因此長(zhǎng)方體的底面面積和容器面積之比為3：4。

簡(jiǎn)析：本題從題述圓柱體容器20厘米高度（線）上下灌水速度的差異入手，假設(shè)圓柱體容器全空來(lái)求解問(wèn)題。誠(chéng)然，本題也可以這樣的思路解：18分鐘灌圓柱體容器30厘米高的體積，則圓柱體容器20厘米及以下部分灌滿理論上需要12分鐘，而實(shí)際只用了3分鐘，所以這部分的“有效體積”只是? ? ，因此長(zhǎng)方體的底面面積和容器面積之比為3：4。本題求解過(guò)程注重演繹推導(dǎo)，計(jì)算相對(duì)較少。在本題求解過(guò)程中，充分運(yùn)用了“等效”思想，通過(guò)假設(shè)，進(jìn)而推導(dǎo)，解題步驟較簡(jiǎn)潔。

從以上幾題的求解可看出假設(shè)法的應(yīng)用場(chǎng)合較多，是一種較重要的小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法。其使用比較靈活，常和其他方法（如十字相乘法、比例法）、思想（如等效思想、整體思想）配合使用，使用中根據(jù)題目特點(diǎn)巧妙大膽假設(shè)往往可以破解難題。其使用更多地依賴于學(xué)生思維的靈活性和日常練習(xí)積累。因而，在教學(xué)中，教師要多示范假設(shè)法的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)假設(shè)法解題的思路和步驟。教師可拓展設(shè)置循序漸進(jìn)的練習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方法的掌握。教師還要鼓勵(lì)學(xué)生將此方法用到更多的題型和知識(shí)模塊中去，提升學(xué)科素養(yǎng)。假設(shè)法也是求解初中物理電路故障分析和高中動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的重要方法。它還是高中化學(xué)計(jì)算中常用的思維方法和解題中常用的技巧。因而，小學(xué)生學(xué)好假設(shè)法也可為初高中理科學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總之，在避免盲目刷題的前提下，適度練習(xí)靈活運(yùn)用各種解題方法求解小學(xué)數(shù)學(xué)題目（包括巧妙、靈活運(yùn)用假設(shè)法解題）對(duì)鍛煉小學(xué)生數(shù)學(xué)思維大有裨益。教師可通過(guò)這些方法提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和綜合能力。

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[2]王姜玲.妙用“假設(shè)法” 巧解數(shù)學(xué)題——用“假設(shè)法”解決小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的策略[J].小學(xué)教學(xué)研究，2019（27）.

作者簡(jiǎn)介：熊家昌（1979— ），男，云南賓川人，講師，本科，研究方向：中學(xué)物理教學(xué)。