初中數學陰影面積的求法

林思語

摘要：幾何知識是初中數學的重要組成部分，同時也是我們學生進行深入學習的基礎，求陰影部分的面積是初中幾何常見的題型，也是幾何知識應用的難點。初中平面陰影部分面積一般是由幾個圖形互相疊加而產生的不規則圖形，這就要求同學們要對所求陰影部分的面積進行思考，并分解或組合成新的規則圖形，從而求出陰影部分面積。本文將初中求陰影部分面積的幾種方法與大家進行探討。

關鍵詞：初中數學;幾何試題;陰影部分面積;解題策略

中圖分類號：A ?文獻標識碼：A ?文章編號：（2021）-22-449

求不規則幾何圖形陰影面積是初中幾何的難點，同時也是高中幾何概型知識的基礎，幫助同學們掌握幾何體陰影部分面積的解題方法，不僅能讓同學們對平面幾何有深入的了解，同時也能提升同學們的思維品質，促進同學們數學思想的提升，為我們以后的學習奠定基礎。下面就結合具體試題對幾種求陰影部分面積的試題方法進行論述：

一、 和差法

和差法是求平面圖形陰影面積的有效方法，通過幾個規則的圖形的相加、相減得出所求陰影部分的面積。和差法又可以分為直接和差法和構造和差法，對于一些比較簡單的圖形組合，同學們可以用和差法進行直接分析和解決，而對于一些復雜的圖形組合，需要同學們做輔助線構造和差法，從而有效地解決問題。

（一）直接和差法

直接和差法的問題一般比較簡單，我們直接就可以看出其中的圖形組合，從而通過幾個規則圖形的加減就可以達到解題的目的。

【例題】 如圖所示，以五邊形 ABCDE 的頂點為圓心，分別做半徑為1的五個圓，已知這五個圓互相不重合，那么，圖中陰影部分的面積是多少？

分析：由于陰影部分的面積由5個不規則扇形組成，不能直接計算。通過觀察可以發現，5個扇形對應的圓心角為五邊形的內角，則可以直接將這5個不規則扇形進行相加，從而求出陰影部分的面積：

（二）構造和差法

對于比較復雜的陰影部分面積的求法，不能直接進行圖形的加減，這就對我們的思維提出了新的要求，要求同學們能夠通過做輔助線來構造和差法，將不規則的圖形轉化為規則的圖形，有效的解出陰影部分面積。

【例題】 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，若BC=42則圖中陰影部分的面積為?（ ）

A. π+1 ? ?B. π+2

C. 2π+2 ? D. 4π+1

分析：本題所求的陰影部分面積不能直接通過和差法算出，需要同學們做輔助線，連接OD，將所求的陰影部分轉化為三角形和扇形的面積之和，從而根據已知條件可以得出正確答案為B。

二、 割補法

所謂割補法，就是將陰影部分的面積分成幾個部分，要求我們有一定的數學思想，能夠對問題進行綜合分析，將復雜的未知圖形通過“割”“補”轉化為簡單的已知圖形，從而再運用公式或和差進行問題的解答。初中常用的割補法有轉化、全等、旋轉、移動等，主要是將未知的圖形或面積與已知的圖形面積之間建立起關系，從而有效地解決問題。

（一）轉化法

在對一些求不規則陰影部分面積的試題的時候，我們要運用幾何知識，將未知的陰影部分轉化為已知的非陰影部分，從而構造出規則的圖形，運用公式進行計算即可。這就要求我們對幾何面積的轉化要有靈活的運用，能夠從具體的問題中進行分析和解答，從而有效的提升大家的學習能力。

【例題】 在圓O上有A、B、C、D四個點，已知AC、BD是圓O的直徑，在ABCD所圍成的四邊形中，假如∠BAC=36°，AC=10cm，求圖中的陰影部分面積。

分析，根據題意可知ABCD所圍成的四邊形為矩形，并且AO=BO=CO=DO，所以對角線將矩形分成的四個三角形面積相等，這樣所求陰影部分△AOB和△COD面積就可以轉化為△AOD和△BOC，這樣根據∠BAC=36°，可以得出∠AOD=72°，則根據公式可以順利地求出陰影部分面積為10π。

（二）平移法

有些陰影部分面積不能直接求出，這就要求我們根據問題進行分析，將其中的某一部分進行平移，構造出直觀的量，與已知的條件建立起聯系，這樣就更容易將其中的陰影部分面積求出，拓展同學們的思維，幫助同學們掌握數學的思想方法。

【例題】 如圖所示的兩個半圓中，其圓心分別為M、O，已知在大半圓O中有一條直線AB，與圓O的直徑CD平行，并且與半圓M相切于E點，AB=8cm，那么圖中陰影部分的面積是多少？

分析：本題只有一個有數據的已知條件，在圖中并不能直接的算出陰影部分的面積，因此可以將小圓M平移，讓M點和O點重合，這樣連接OE和OB，就構造出一個直角三角形，根據勾股定理可得：而圖中陰影部分面積是大半圓面積減小半圓的面積之差，因此可以得出代入得8π。

割補法是求陰影部分面積的常用方法，其中還有全等、變形、旋轉等方法，其主旨就是通過對圖形進行割補，將陰影部分的面積轉化為已知圖形的面積，這樣通過公式就可以順利地求出了。

總之，求平面圖形陰影部分面積是初中知識的重點，同時也是教學的難點，我們要由淺入深的逐步掌握各種幾何圖形組合的本質，通過旋轉、變形、轉化等數學思想來對所求的陰影部分進行轉化，將其轉化為規則的圖形，并和已知條件通過幾何或是代數的關系建立起聯系，這樣不僅能提升我們的思維能力，同時也能提高我們的問題分析和解決能力。

指導老師：蘇來旺

參考文獻

[1]沈凌云.初中數學教學中數形結合思想的培養[J].數學教學通訊，2014（31）.

[2]杜遠堂.數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].語數外學習（初中版下旬），2014（07）.