淺談高中數學教學中數形結合法的應用

楊麗嫻

【摘要】數少形時少直觀，形缺數時難入微。數與形是數學世界的兩大基礎之石，而兩者之間既彼此獨立，又相互關聯，呈現出彼此交融呼應的關系。高中數學教學中，數學現象、數學原理、數學思考、數學問題，均可以從數與形的轉換、提煉及演變中切入。文章結合教學工作經驗，從以數導形、以形助數兩個方面，淺談高中數學教學中數形結合法的應用。敬陳管見，以期拋磚引玉。

【關鍵詞】高中數學;數形結合;應用策略

數形結合法在高中數學課堂教學中的應用，可有效釋放數學學科的魅力，讓學生們感受到數學的豐富與有趣，從而點燃學生們的學習熱情。數形結合法的應用，有利于驅動學生思考，引導學生們將已學的幾何知識、數量知識融會貫通，從而達到舉一反三的良好狀態。數形結合法的應用，能極大拓展學生們的數學學習視角。學生們在數學學習中，可通過應用數形結合思想，從“因”找“果”，由“果”找“因”，讓學生們的數學學習更加多元與高效。在具體的教學活動中，教師在應用數形結合法時，應遵循數形結合思想的思維類型，循循善誘，幫助學生們掌握數形結合法的應用方法，從而達到“不教”的根本目的。

1、以數導形

借助于數量關系，從而推導出圖形的“樣貌”，以圖形的大小、形狀、特征等，直觀而具體的映射出需要求解的數量關系，進而可快速加以計算，減少誤差，提高學生們的解題效率，讓學生們的數學學習變得自信且快樂。事實上，在高中學習中，學生們學習的大量知識點，如函數中的三角函數、常數函數、一次函數、二次函數、對數函數、指數函數、冪函數等等，都可以通過數量關系，或者是函數中出現的關鍵信息，在搜集、判斷、提煉、整合后，轉化為圖形，以圖形加以判斷、歸類、推理、計算，刪繁就簡，降低數學學習的難度。比如說，函數f（x）=2x+3在[2，5]上的最大值和最小值。最值問題，是高中數學學習中司空見慣的問題。求解函數的最值，乃至于對于函數模塊知識的學習，對于學生們來說可謂“幾家歡喜幾家愁”。有的學生不善于應用數形結合思想，在數學學習中“按部就班”的加以計算，或者是通過“代入式”的方法展開計算，這不但導致學生們在函數知識學習中費時費力，且產出效益不大，錯誤率居高不下。

不難想象，當學生們對題目投入大量時間和精力，其結果卻是錯誤的，這無疑極大打擊到學生們的學習興趣，有的學生不善于情緒調節，有的學生缺乏學習的柔韌性，在學習中受阻后，難免自怨自艾，或否定自我，或畏懼數學。其實，通過簡單的圖形轉換，如圖1所示，可一目了然看出函數具有單調遞增性，因此，在[2，5]內，在x=2時，函數取得最小值;當x=5時，函數取得最大值。在具體的教學活動中，無論是簡答的題目，還是較為復雜的題目，都應引導學生們學會從數量關系中畫出草圖，以數助形。讓學生們養成畫圖分析的良好學習習慣，這對于學生們的數學學習深入利莫大焉。除函數外，方程類知識點，如直線方程、圓的方程、圓錐曲線等，統計、概率知識，空間幾何體等重點內容的學習，都離不開數形結合思想的有效應用。

2、以形助數

以形助數，顧名思義，通過圖形對數量關系加以研究，讓數量關系變得直觀具體。相對來說，以形助數難度較以數導形更大一些，需要學生們具有一定的數形轉換能力，抽象思維能力和創新能力。比如說，在集合知識的學習中，出現以下題目：三年二班共有50名同學參加學校組織的甲、乙兩項競賽活動，每人至少參加其中一項。其中，參加甲項的同學有30名，而參加乙項的學生有25名。那么，僅僅參加一項競賽活動的學生共有多少人？對于這個題目，學生們在常規思維作用下，一般是設置未知數x表示參加甲乙兩項的學生，列出計算式：（30-x）+x+（25-x）=50，求得x=5。當然，這個問題不算復雜，學生們即便不借助圖形，一樣可以快速解答。但是，對于復雜一些的題目，以形助數的價值就極大體現出來。且通過以數助形，還可以對解題過程加以檢驗，從而讓整體題目都變得“清晰”起來。

比如說：一個公司有48人，都參加公司舉辦的趣味性小活動，活動分為A、B、C三項，每人至少參加其中一項。報名結果統計下來，參加A項的員工28人，參加B項的員工25人，參加C項的員工15人。同時參加AB兩項的員工8人，同時參加AC兩項的員工6人，同時參加BC兩項的員工7人。請問，參加ABC三項的員工有幾人？對于這個題目，有的學生不假思索，套用公式，以P為全集：P（A）+P（B）+P（C）-P（A∩B）-P（A∩C）-P（B∩C）+P（A∩B∩C）=48，因此，28+25+15-8-6-7+P（A∩B∩C）=48，求得P（A∩B∩C）=1。果然如此嗎？學生們沒有應用數形結合思想，盲目套用公式，使得運算結果出錯。而畫出圖形，如下圖2，我們可以將計算的結果代進去，再反過來加以驗算。此時，不難發現，當P（A∩B∩C）=1時，僅僅參加A項活動的員工為13人，僅僅參加B項活動的員工為9人，僅僅參加C項活動的員工為1人。而公司開展的活動，按照圖2所示，一共可劃分為7種項目，這樣一來，求得公司總人數是45人，并非48人。看似套用公式立刻得出的答案，其實在應用圖形分析后，不能反推，這就說明公式的套用存有缺漏之處，亦或者題目的設置出現問題。數學學習，能正向求解，亦能反向推理，這才能真正的分析問題，深入了解問題。

結語：以數導形，以形助數，隨著學習的深入最終發展為數形變換，這對于學生們的數學學習意義重大。在具體的教學活動中，應用數形結合法，應培養學生們實事求是，嚴謹客觀，善思善問的良好學習習慣，助力學生數學學習的長遠發展。

參考文獻：

[1]數形結合方法在高中數學教學中的應用[J].胥婷.數學大世界（中旬）.2021（03）.