提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的必備策略

張建軍

摘要：著名數(shù)學(xué)家賴登塔爾表示：反思是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的核心和動(dòng)力，沒有反思，學(xué)生的理解能力就不可能從一個(gè)水平升華到另一個(gè)水平。本文就反思的作用和如何反思談幾點(diǎn)看法。

關(guān)鍵詞：反思 高效 數(shù)學(xué)思維

2017版課標(biāo)將6個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)分為三個(gè)水平，其中每個(gè)水平層次最后都是通過交流與反思表達(dá)出來，由此可見反思的重要性。高中數(shù)學(xué)對一部分學(xué)生來說是一門高難度，高耗時(shí)的學(xué)科，不少學(xué)生都反映明明自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上花了很多時(shí)間，但成績就是不理想，而一般情況下老師的指導(dǎo)意見是多做題，但這不是學(xué)生想要的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)解題是必不可少的，但超負(fù)荷，重復(fù)性，低水平地做題只會(huì)使學(xué)生興趣減少，喪失信心，如何實(shí)現(xiàn)輕松的學(xué)習(xí)，高效的復(fù)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程最優(yōu)化的目的，筆者認(rèn)為反思是其中最重要且必不可少的環(huán)節(jié)。下面筆者就反思談幾點(diǎn)自己的看法：

一、什么是反思

反思，回頭、反過來思考的意思。近代西方哲學(xué)中廣泛使用的概念之一。反思，就是思考過去的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。海涅說：反思是一面鏡子，它能將我們的錯(cuò)誤清清楚楚的照出來，使我們改正。將海涅的話應(yīng)用到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上同樣是適用的。數(shù)學(xué)本身是抽象的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程必須反復(fù)訓(xùn)練，當(dāng)然訓(xùn)練不只是為了做題，而是為了反復(fù)思考，而反思是對“思考本身的思考”。要不斷去提煉題目中的精髓，去偽存真，去粗存精，使問題簡明，抓住問題本質(zhì)。

二、反思的作用是什么

（一）反思使概念明確

數(shù)學(xué)的概念往往抽象且不易理解，一般情況下，第一遍學(xué)不能理解其深意，但能通過做題，練習(xí)加深對它的理解，這時(shí)的適當(dāng)反思對概念的理解將起到事半功倍的效果。例如：若f′（3）=5，則求limh→∞f（3+h）-f（3-h）5h的值，本題學(xué)生在初學(xué)導(dǎo)數(shù)時(shí)，可能會(huì)認(rèn)為它的值就是5。因?yàn)楹瘮?shù)值與自變量的變化量都趨向于0，但根據(jù)定義仔細(xì)一分析可以看出導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)值的變化量與相應(yīng)的自變量的變化量的比值的極限值，此處的“相應(yīng)”要注意。所以上式只是f′（3）的25倍。所以答案是2。

（二）反思使思路清晰

有些題目第一遍做時(shí)，也能跌跌撞撞做出來，但學(xué)生并不能清楚地理解題目的做題過程，從而下一次做到同類的題甚至原題仍然不是太順利。例如學(xué)生在做下面題目：

例1 已知函數(shù)y=f（x+1）的定義域是-2，3，則y=f（2x-1）的定義域?yàn)椋?）

A.-3，7

B.-1，4

C.-5，5

D.0，52

本題學(xué)生在做的過程可能會(huì)出現(xiàn)以下幾種錯(cuò)誤情況：

①認(rèn)為-2，3是y=f（x+1）中的（x+1）的范圍;

②認(rèn)為y=f（2x-1）的定義域就是y=f（x+1）的定義域或者認(rèn)為它們沒關(guān)系。

產(chǎn)生這些錯(cuò)誤的原因通過反思之后就會(huì)很明了。顯然是函數(shù)的定義沒搞清楚，要搞清楚y=f（x+1）與y=f（2x-1）中x才是自變量，而對于法則f來說總體是一樣的，它們根本不是同一個(gè)函數(shù)但有關(guān)系。當(dāng)清楚這一點(diǎn)本題太容易了，下次遇到就能很快解決了。這種思考的過程就是反思。

（三）反思使學(xué)習(xí)高效

筆者告訴學(xué)生“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要不是看做了多少題，而看動(dòng)了多少腦筋”。一味做題，沒有反思，只是重復(fù)勞動(dòng)，但茫茫題海，你所做的不過是滄海一粟，不可能有太多收獲。題目條件稍有變化就可能會(huì)無從下手，若通過反思總結(jié)，做到知其然也知其所以然，就可避免重復(fù)勞動(dòng)，從而有條理有目標(biāo)的做題，得到大幅度的提高復(fù)習(xí)效率目的。另外通過反思，也能使我們再解做過題目時(shí)，有一定解題套路，從而省時(shí)省力，還能有很高的正確率。

三、反思什么

（一）反思解題過程中所涉及基本知識、基本概念是否清晰

數(shù)學(xué)解題過程往往有很多是基本知識、基本概念的應(yīng)用。這些內(nèi)容不會(huì)太難，但出題人一般都會(huì)從某些細(xì)節(jié)上下功夫，都是一些我們平時(shí)不太注意的地方。其目的是加深我們對基礎(chǔ)知識的理解，也是我們做題最容易出錯(cuò)的地方。要想把會(huì)的題做對、做全，那我們就應(yīng)該時(shí)刻在解題中、解題后自我反思。

（二）反思解題方法的多樣性及多個(gè)題目之間的聯(lián)系

解題需要有一定的目標(biāo)意識，不光要認(rèn)認(rèn)真真地“低頭拉車”，還不能忘了去“抬頭看路”。重點(diǎn)專題要梳理，難點(diǎn)突破要積累，才能使知識系統(tǒng)化，思維過程清晰化，方法策略明確化，促進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)步，提升解題能力。找出多個(gè)題目的共性，從而把解題系統(tǒng)化。從不同角度去思考一個(gè)題目往往能出現(xiàn)我們意想不到的收獲。解題過程多種方法解同一題，以及多個(gè)題目的同一解法，題目條件的變式，思路靈活。

（三）反思解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤

找到錯(cuò)誤的根源。糾錯(cuò)是進(jìn)步的重要節(jié)點(diǎn)。有些學(xué)生解題后，不進(jìn)行反思，錯(cuò)后反思防止一錯(cuò)再錯(cuò)，改進(jìn)優(yōu)化，提煉解題流程，使解題流暢。有些同學(xué)總是丟三落四，總是在細(xì)節(jié)上丟分，解題最主要地方都解對了，別人想不到地方也想到了，但總出現(xiàn)一些很低級的錯(cuò)誤。比如設(shè)直線方程斜率的存在，比如區(qū)間的開閉等小錯(cuò)，我們常進(jìn)行反思，可減少錯(cuò)題發(fā)生的可能性。反思錯(cuò)誤可以多方面進(jìn)行，比如審題，基本知識，運(yùn)算量解題方法，細(xì)節(jié)錯(cuò)誤等等。

（四）反思我們的解題過程，提高思維的批判性

美國著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞有一句耳熟能詳?shù)拿裕赫莆諗?shù)學(xué)就意味著善于解題。不是“多”而是“善于”，因此當(dāng)我們解題之后，要自我反思這道題為什么要這樣去解;還有沒有其他別的解法;這道題是否有其他的變化形式，這道題目的解法是否還可以解決其他類似的問題等等，這些都能充分說明反思的重要性。

例2 在《通用技術(shù)》課上，某小組同學(xué)準(zhǔn)備用一個(gè)棱長為6的正四面體坯料制作一個(gè)正三棱柱模型（其底面在正四面體一個(gè)面上），要求削去的材料盡可能少，則所制作的正三棱柱模型的高為（ ）

A.263

B.463

C.4

D.26

本題中正三棱柱放在正四面體內(nèi)部，并且底面在正四面體的一個(gè)面上，考慮到正三棱柱的上下底面平行，所以反思后想到可以使用相似比解決，而體積的最值求解則考慮使用導(dǎo)數(shù)或不等式解決。

做完本題之后，對這題我們可進(jìn)行如下反思：

①正四面體的高如何求？正三棱柱的體積公式是什么？（基本知識反思）

②本題圖形如何畫？正三棱柱在正四面體的什么位置？削去的越少等價(jià)于正三棱柱體積越大嗎？（解題策略反思）

③本題解題的步驟是什么？（方法總結(jié)反思）

④本題我還會(huì)用其他方法解決最值嗎？（解題方法優(yōu)化反思）

總之，反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的重要環(huán)節(jié)，從不同角度，不同層次進(jìn)行反思是提高復(fù)習(xí)效率的重要途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]何則興.強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)反思 提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率[J].教學(xué)創(chuàng)新，2008（7）：13-15.

[2]王赟.培養(yǎng)學(xué)生解題反思習(xí)慣 提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率[J].長三角（教育），2012（05）：40-41.

[3]劉新春.反思使復(fù)習(xí)高效[J].新高考，2015（5-6）.