關于貝葉斯公式的一種教學設計

任傳榮

【摘要】貝葉斯公式是“概率論與數理統計”中的一個重要公式，也是教學中的一個重難點.教學中，結合實例給出應用背景和應用原理，引導學生理解貝葉斯公式內涵和應用，可以獲得理想的教學效果.

【關鍵詞】貝葉斯公式;概率;教學設計;教學效果

貝葉斯公式這一節教學內容在“概率論與數理統計”中占有重要的地位，是這門學科的教學重點與難點之一.這個公式無論是在我們日常生活中，還是科學技術領域都有著廣泛的作用.學生在學習這塊知識內容時，一方面搞不清這個知識怎么用，另一方面容易和前面所學習的全概率公式發生混淆，不能理解它的思想，掌握它的作用.筆者就貝葉斯公式這一節內容采取了一種新的教學設計，并應用于課堂教學，取得了不錯的效果.

一、教學內容的引入

（一）回顧舊知識

首先來復習一下前面學的條件概率、乘法公式、全概率公式.

這些公式能不能解決下面的歷史問題呢？

（二）應用背景導入——核潛艇沉沒搜救事件

1968年5月22日，美國“天蝎號”核潛艇在大西洋亞速海海域神秘沉沒，艇上99人全部遇難，美軍憑經驗在海底進行了長達五個月的搜索，結果一無所獲，最后聽從了數學家Craven的建議，經過幾次搜索，在爆炸點西南方3200米深的海底發現其殘骸[1].

這位數學家給出的建議是什么呢？可以用前面的公式理論來解決嗎？答案是不能，但是我們可以通過一個簡單例子來感受一下所用的原理.

（三）引例

例1 某個興趣班，把班上學生分成三組進行討論，其中第1小組有3個男生和4個女生，第2小組有4個男生和3個女生，第3小組有1個男生和6個女生，現在老師在三個小組中任選一組，從中任意選擇一名同學進行發言，如果這名同學是女生，求該同學來自第1小組的概率.

選取的這個例題比較簡單，通俗易懂.這是一個已知結果的產生，尋找導致這種結果的來源或者原因的概率的問題.生活中類似的例子很多，如病人發燒了，尋求導致發燒的因素，次品產生了，找出是哪條流水線生產的產品等，都可以歸結為這類由果尋因事件的概率.所以將（1）式一般化便可得到貝葉斯公式.

二、貝葉斯公式

（一）定理

（二）定理的注解

1.上式稱為貝葉斯公式，公式的推導類似于例1的推導，由條件概率公式及全概率公式即可得，初學者也很容易接受.貝葉斯公式由英國數學家托馬斯·貝葉斯（1702—1761）提出，他生前是受人尊重的牧師，自學成才的數學家，在數學方面主要研究概率論.他首先將歸納推理法用于概率論基礎理論，創立了貝葉斯統計理論，對統計決策函數、統計推斷、統計的估算等做出了貢獻[6].他的著作有《論機會學說問題的求解》（1763）和《機會的學說概論》（1758）.歷史上有些數學家雖然名氣不大，著作很少，但影響深刻，貝葉斯就是這樣一個典型的代表人物[3].

三、貝葉斯公式的應用

（一）典型例題

例2 《三國演義》中有個著名的故事是“諸葛亮揮淚斬馬謖”，原因是“街亭失守”，現在我們來分析馬謖要不要承擔主要責任.我們主要考慮影響這次街亭之役的三個主要因素：（1）主帥缺少才能，不堪大任;（2）將帥不和，難服人心;（3）敵眾我寡，兵力懸殊.哪個可能大，各占多大比例？

通過計算的結果，我們得知“街亭失守”的主要責任在主帥馬謖.舉這個例子既可以增加課堂教學的趣味性，又可以初步理解貝葉斯公式的意義.

例3 某地居民肝癌發病率為0.003，采用甲胎蛋白法進行普查，患者對這種檢查結果呈陽性的概率為0.94，而未患肝癌的被檢查者呈陽性的概率是0.05，現有一批人甲胎蛋白檢查結果呈陽性，問此批人是肝癌患者的概率有多大？[3，4]

接下來我們進一步分析本題結果的意義.這一地區的普通人群肝癌發病率是0.003;患者對甲胎蛋白測試結果呈陽性的概率為0.94，不是100%，這說明這種檢查對患者存在漏診;未患病的檢查者對甲胎蛋白測試結果是陽性的概率為0.05，說明這種檢查存在誤診情況.那么這種甲胎蛋白檢查對于診斷被檢查者是否患有肝癌有無意義呢？如果不做這種檢查，抽查一人，他是患者的概率P（C）=0.003（先驗概率），這是檢查前根據臨床資料統計而得出的.檢查出現陽性反應后，此人是患者的概率為P（C|A）=0.0535（后驗概率），概率增加了約18倍.也就是說這個人從普通人群上升為“疑似”人群，這說明這種檢查很重要，很有意義.另一方面，檢查出甲胎蛋白結果是陽性來判斷病人是否患肝癌，它的準確率是很低的，因為P（C|A）=0.0535，也就是說100個人檢查是陽性，約5人是肝癌患者，即使某人檢出陽性，也不能過早下結論此人患有肝癌.這和我們的直覺不一樣！原因是P（A|C）=0.94，P（C|A）=0.0535這兩者均為條件概率，但區別很大.前者是正向概率，原因導致結果的概率;而后者是逆向概率，由結果推原因的概率.那么為什么這個結論和我們的直覺相差這么大呢？是因為先驗概率P（C）=0.003的值比較小，在貝葉斯公式計算中，分子作為分母的一部分所占的權重低，所以最終后驗概率數值不大.本題中抽查一個人是陽性，雖然不一定是患者，但此人從普通人群也上升到“疑似”人群了，接下來該怎么辦呢？復查！這時先驗概率已更新為P（C）=0.0535，則P（C-）=1-0.0535=0.9465，運用貝葉斯公式可得

這個概率值比較大了，可以說此人是“高度疑似”病患了.如果第三次復查結果仍為陽性，先驗概率再一次更新為P（C）=0.5152，再次運用貝葉斯公式可得

這個概率值已經很大了，可以說此人基本確診.而事實上先驗概率為0.3時，后驗概率值就接近0.9了，幾乎可以確定是患病了，需要趕快治療.通常醫生總是先采取一些其他簡單易行的輔助方法進行檢驗，當他懷疑病人有可能患有肝癌時，才建議用甲胎蛋白法檢驗，這時，如果病人出現陽性結果，那么他患病的可能性就很高了.