高中數(shù)學(xué)學(xué)考常見不等式基本思路

沈麗莉

【摘要】通過對(duì)近兩年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試卷的研究發(fā)現(xiàn)，其習(xí)題類型與高考題型基本相同，難度較高于會(huì)考，但低于高考，很多試題都涉及不等式知識(shí)，在錯(cuò)題研究中也發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)錯(cuò)誤集中在基本不等式內(nèi)容方面。因此，掌握好基本不等式的解題方法具有重要的作用。

【關(guān)鍵詞】學(xué)考;高中數(shù)學(xué);基本不等式

一、引言

通過對(duì)近幾年的學(xué)考分析發(fā)現(xiàn)，考試題型和難度相差不多，但依據(jù)學(xué)考考試準(zhǔn)則，處于全省后百分之五的學(xué)生是不允許通過的。這對(duì)于參加高考但基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說是一個(gè)十分巨大的挑戰(zhàn)。在學(xué)考分析中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)考丟分主要集中在不等式這一塊，尤其體現(xiàn)在基本不等式方面。因此，掌握基本不等式的解題思路具有十分重要的意義。

二、不等式考查的重要性

不等式在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，基于其知識(shí)內(nèi)容特性，高中數(shù)學(xué)學(xué)考的考查形式相對(duì)豐富，與當(dāng)下學(xué)考全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況的形勢(shì)相契合。其綜合性較強(qiáng)的特征，使得學(xué)生在實(shí)際解答問題的過程中需要調(diào)動(dòng)各項(xiàng)基礎(chǔ)知識(shí)，將數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化為具體的解題過程。在時(shí)代與教育發(fā)展驅(qū)動(dòng)下，高中數(shù)學(xué)學(xué)考發(fā)生了一定變化，即以邏輯思維、推理判斷、數(shù)學(xué)運(yùn)算等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能力為首要考查內(nèi)容。不等式題目不局限于特定的證明推理或證明演繹形式，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)高考發(fā)展趨勢(shì)相呼應(yīng)。

基于上述變化的高中數(shù)學(xué)學(xué)考不等式考查內(nèi)容，不僅可為各高校提供比較全面的招生參考標(biāo)準(zhǔn)，而且便于學(xué)生借助學(xué)考內(nèi)容梳理不等式學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整復(fù)習(xí)規(guī)劃，填補(bǔ)相應(yīng)漏洞。因此，學(xué)考中的不等式考查內(nèi)容除學(xué)考自身功能外，還兼具促進(jìn)學(xué)生合理開展數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的功能。

三、學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)明確

高中基本不等式主要知識(shí)較少，但相關(guān)題型較多。在解答問題中，學(xué)生需要掌握基本不等式的知識(shí)，能進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化與推導(dǎo)，且理解幾何意義。同時(shí)，學(xué)生要具有縝密的邏輯思維，能注重基本不等式的取值范圍與取等號(hào)條件等細(xì)節(jié)知識(shí)。由于不等式題目一般綜合性較強(qiáng)，調(diào)用單一散落的不等式知識(shí)點(diǎn)不僅不利于學(xué)生提升考場(chǎng)解題效率，而且使其在相對(duì)混亂的思維模式下難以及時(shí)尋求不等式證明的最優(yōu)解，導(dǎo)致錯(cuò)誤率居高不下。因此，基于學(xué)科考查內(nèi)容，學(xué)生需要以數(shù)學(xué)思維為框架，以各類不等式專項(xiàng)問題為節(jié)點(diǎn)，針對(duì)不等式知識(shí)內(nèi)容建立完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)這一知識(shí)時(shí)，應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和情境教學(xué)等方式，從不同角度論述基本不等式以及它成立的條件[1]。

四、考試標(biāo)準(zhǔn)要求

理解與這兩個(gè)公式的形成過程;具有將兩個(gè)正變量的和或者積轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值問題的能力;具有靈活運(yùn)用和變化基本不等式的能力。

五、條件及應(yīng)用

（一）成立條件

第一，，必須是正變量;第二，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，。

（二）最值問題記清條件與目標(biāo)

確保，為正變量。第一，如果，之積為常數(shù)，則當(dāng)，相等時(shí)，兩者之和的最小值為;第二，如果，之和為常數(shù)，則當(dāng)，相等時(shí)，兩者之積的最大值為。

（三）巧用“拆”“拼”“湊”等方法求解最值

在基本不等式問題中，有時(shí)候變量取值范圍難以滿足基本不等式“一正二定三相等”的使用條件，這時(shí)可以運(yùn)用“拆”“拼”“湊”等方法轉(zhuǎn)化不等式，從而滿足使用條件[2]。

六、高中數(shù)學(xué)學(xué)考不等式常見思路

高中數(shù)學(xué)學(xué)考不等式常見思路包括分析法、比較法、放縮法和綜合法四種方法。學(xué)考題目考查形式以重基礎(chǔ)、偏廣度為主，在不斷變化的高中數(shù)學(xué)學(xué)考命題形勢(shì)下，上述解題思路仍是主要考查內(nèi)容。

七、常見問題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)考中，不等式的考查內(nèi)容難度并不大，主要可以分為三種類型，分別為恒成立、證明和求最值。在這三種類型中，主要運(yùn)用與這兩個(gè)公式，考查內(nèi)容集中在它的注意條件“一正二定三相等”。在試題研究中發(fā)現(xiàn)，不等式問題的錯(cuò)誤原因有很多，比如過度將精力集中于解題過程，忽略等式成立的條件等，所以在解答不等式問題時(shí)要十分細(xì)心[3]。

（一）恒成立問題

例1：對(duì)于任意的，，都有恒成立，求不等式中正實(shí)數(shù)的最小值.

分析：從“恒成立”三個(gè)字可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)恒成立問題，但是這道題主要是運(yùn)用基本不等式求最值，解答這種問題的最好方式是展開。這是學(xué)考中不等式的基礎(chǔ)考查形式，側(cè)重考查學(xué)生對(duì)不等式基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況。

解：

由基本不等式得：

解得，所以的最小值為4.

例2：對(duì)于任意的，，有不等式恒成立，求其中實(shí)數(shù)的最小值.

分析：這種帶有參數(shù)的不等式恒成立問題，可以采用較為簡(jiǎn)單的分離參數(shù)方法，求證其中的最小值，考查學(xué)生移項(xiàng)處理不等式的數(shù)學(xué)能力，屬于學(xué)考中的進(jìn)階不等式恒成立問題考查形式，同樣考查學(xué)生對(duì)不等式證明基礎(chǔ)變形的掌握程度。

解：

通過移項(xiàng)變化可得：

根據(jù)基本不等式，可知：

所以的最小值為-4.

（二）證明問題

例3：對(duì)于任意的，，證明以下正確：（1）;（2）.

分析：針對(duì)這兩個(gè)問題，運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解就可以，但是需要注意運(yùn)用條件為，，且兩邊相等時(shí)，。

解：（1）因?yàn)閷?duì)于任意的，，所以.

（2）因?yàn)椋?

習(xí)題補(bǔ)充：當(dāng)，當(dāng)取什么值時(shí)，可以取到最小值并且這個(gè)最小值為多少？

解：由基本不等式可知，當(dāng)時(shí)，可以取到最小值，所以時(shí)取到最小值4.

習(xí)題反思：這一習(xí)題充分體現(xiàn)了基本不等式的運(yùn)用，并詮釋了其使用條件“一正二定三相等”中每一項(xiàng)的意思。

例4：如果，，且，求證.

分析：這一題主要考查基本不等式，當(dāng)，時(shí)，，同時(shí)注意其中的使用條件。這一題還包含一個(gè)重要考點(diǎn)，就是1的替換，即運(yùn)用這一性質(zhì)，替換中的系數(shù)1。

解：，當(dāng)時(shí)，可以取得等號(hào)，經(jīng)計(jì)算可知，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.

（三）求最值問題

例5：已知，求的最小值.

解：，

因?yàn)椋?

例6：已知，若，求的最小值.

解：因?yàn)椋?

運(yùn)用不等式公式需要求證范圍，因?yàn)椋裕郧遥?

所以當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值為9.

無論何種考查形式，“一正二定三相等”的題目條件分析，以及“積定和最小”“和定積最大”的有效分析，都是學(xué)考中不等式題目的解題重點(diǎn);同時(shí)，最值問題、證明問題也是不等式問題的重要考查內(nèi)容。缺乏基本解題思路是導(dǎo)致學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)考中不等式解題錯(cuò)誤的主要因素。學(xué)考命題設(shè)計(jì)呈現(xiàn)的不等式考查內(nèi)容以正確應(yīng)用思考模式與規(guī)范解題步驟為主，凸顯了學(xué)考為高考服務(wù)的功能，為學(xué)生應(yīng)對(duì)不斷變化的高考中的不等式內(nèi)容給予了一定的學(xué)習(xí)方向指導(dǎo)，為學(xué)生開展數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

上述不等式問題是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)學(xué)考中常見的不等式問題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)變化影響下，學(xué)考中的不等式考查類型與形式并不局限于上述。并且基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作，高中數(shù)學(xué)學(xué)考中的不等式問題將與其他章節(jié)知識(shí)相結(jié)合，以增強(qiáng)考查的全面性與科學(xué)性，在強(qiáng)化學(xué)考功能的同時(shí)，便于學(xué)生及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)目標(biāo)，采用正確的策略進(jìn)行復(fù)習(xí)。

八、結(jié)語(yǔ)

高中學(xué)考的考試方向和側(cè)重點(diǎn)還處在不斷摸索中。在復(fù)習(xí)階段，應(yīng)以基本內(nèi)容作為主要的復(fù)習(xí)內(nèi)容。不等式的考查依然是圍繞基礎(chǔ)知識(shí)展開，因此在復(fù)習(xí)基本不等式時(shí)要掌握好基礎(chǔ)題型與解題方法，避免不必要的失分。

【參考文獻(xiàn)】

李世桂.細(xì)說基本不等式求最值問題的常見結(jié)構(gòu)與方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（34）：47-49.

夏麗娟，胡廣宏.例說求解不等式恒成立問題的常見策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（21）：15-17.

林雪.例析高中數(shù)學(xué)基本不等式常見解法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（15）：136.