基于云班課的概率論與數理統計課程的教學研究

蔣春梅 王群智 楊東紅

【摘要】傳統的概率論與數理統計課程的課堂教學難以滿足現代大學生的學習需求，結合新興的互聯網+信息教學技術和移動教學平臺，對概率論與數理統計課程的課堂教學改革是教學研究的重點。基于云班課的教學平臺，采用混合式的教學模式應用于概率論與數理統計課程的課堂教學設計及案例實施中。教學實踐表明，線上線下混合的教學方式有助于提高學生學習的積極性和主動性，也促進教師更新教學理念和方法，達到提高課堂教學質量的效果。

【關鍵詞】云班課? 概率論與數理統計? 混合式

【中圖分類號】G642;O21-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）06-0122-03

一、研究背景

概率論與數理統計課程是各大院校理工和經管類各專業的基礎必修課程之一，是一門應用性極強的數學學科。課程側重培養學生的隨機思維、數據意識和科學的思維能力，所提供的數學理論知識、思想方法不僅是學生學習后繼課程的重要工具，也是培養學生創新應用能力的重要理論保障。概率統計教學基本以課堂教學為主，而課堂教學是高校人才培養的主陣地，《中共教育部黨組關于加強高效課堂教學建設提高教學質量的指導意見》要求各高校適應新時期課堂教學的特點，抓好課堂教學的關鍵環節。該門課程中的許多概念、公式、定理等理論知識比較抽象難懂，需要一定的大學數學基礎知識儲備，學生學習起來會感覺比較枯燥、乏味。

目前，概率論與數理統計教學以“教師講，學生聽”的單向課堂為主，學生往往不知道為什么要學習相關理論知識，容易跟不上老師的思路和節奏，感到所學知識與實際工作所需要的技能、素質嚴重脫節，他們在課堂投入的智力和情感程度較低，更難以滿足“互聯網+”時代下企事業單位對人才數學思維能力的要求。如何使抽象的數學內容具體實例化，以激發學生學習的興趣，如何加強課堂對學生學習效果的管理和監測，實現以教師為中心、學生被動接受的傳統模式逐漸轉變以教師為主導，學生為主體的教學模式轉變。結合實際教學經驗，本文以“數學期望”教學內容的設計為案例給出新的嘗試，通過混合啟發式、互動式、討論式教學方法，線上線下相結合的教學模式，引導學生回歸數學的本質，從理解概念的來源、期望概念的實際應用和它的各類計算方法，設計問題來吸引學生的注意力，提高利用數學思維來分析和解決實際問題的能力。

二、混合式教學模式在概率論與數理統計課程教學中的

設計和實踐

線上線下混合式的教學方式是將網絡學習優勢和傳統教學模式優勢相結合的教學模式，這種教學模式既能發揮教師在引導、啟發、管理學生學習方面的主導作用，又能充分調動學生的主動性和積極性，滿足學生差異化學習的需求。開展混合教學模式首要條件就是網絡平臺課程資源的搭建，在此基礎上才能設計實施混合式教學方案。本文主要借助云班課智能教學助手為學生進行自主學習和移動學習提供平臺，其中包括課程電子教案和課件，練習與測驗供學生課前預習、課堂熟練、課后鞏固提高，課程拓展資源等內容，為課程打造為校級精品課程做籌備。下面以數學期望為例說明基于云班課的混合式教學模式的實踐應用過程。

1.課前任務。數學期望是概率統計課程里非常重要的概念，它是學生后續學習統計推斷的常用數學工具。針對本節教學目標和重難點要求，教師課前在云班課平臺布置兩個預習任務：（1）回憶中學里平均值的含義，猜測離散型兩點分布隨機變量的平均值;（2）一個隨機變量與常數之間如何進行比較呢？預習小任務可以讓學生帶著問題進行自主學習，開始思考數學期望概念最開始的出處，它是平均值的推廣和一般化。

2.基于問題導入新課的內容。通過兩個引例，射擊訓練中的平均射中環數和嘉年華中經典的擲三骰子游戲引入數學期望概念的來源，第一個引例學生很熟悉，將平均環數的數學形式變形成所有取值與其比例的乘積，來啟發學生加深對平均值的再認識——隨機現象的各種結果與其取值概率乘積的全求和。第二個引例，首先你需要下1美元的注，接著你可以擲三個骰子，如果結果中至少有一個骰子是6點，你將獲得2美元，如果結果中沒有一個骰子是6點，你沒有任何收益，問：值得玩此游戲么？教師先引導學生預料這個游戲可能的結果：（1）收益2美元，其概率為P{至少有一個骰子是6點}=1-=;（2）沒有收益，其概率為P{沒有一個骰子是6點}=，由引例1的經驗提問學生，玩一局游戲可期待的收益為多少？不難得出結果2×+0×=0.84美元。對比投入1美元的，顯然收益對商家更為有利。為進一步理解這個式子，繼續提問學生擲三個骰子有多少種不同的等可能結果？63=216，其中53=125種結果的收益為0美元，63-53=91種結果的收益為2美元，如此=2×+0×，確實表示玩一局游戲的平均收益。

兩個引例直觀形象，與中學的平均值自然銜接，由此引入數學期望概念的含義。假設某隨機變量可能出現的數值為x1，x2，概率分別為p1，p2，這時的平均值就表示為x1p1+x2p2。更為普遍的情況，若隨機變量可能出現的結果有x1，x2，…，xn，相應的概率為p1，…，pn，則這個隨機變量的平均值為x1p1+x2p2+…+xnpn。學生初步建立平均值是以概率為權重的加權平均思想，數學期望的概念即來源于此，從而誘導出離散型隨機變量數學期望的定義。

3.數學期望的定義及理論應用。1657年，惠更斯將他和帕斯卡、費馬的討論整理成《關于賭博中的推斷》一書。書中，惠更斯明確提出數學期望的初始形式：數學期望是簡單算術平均的一種推廣，它也稱為均值。實際生活中平均值的概念廣泛存在，如某課程考試的平均成績，某國家人口的平均壽命，一段時間內某城市新售商品房的平均單價等。下面來看離散型隨機變量數學期望的定義：

定義3.1 設X為離散型隨機變量，其分布律為P{X=xk}=pk（k=1，2，…）若級數xkpk絕對收斂，則稱此級數為隨機變量X的數學期望，記為E（X）。

這里解釋一下學生可能的困惑：條件中級數xkpk絕對收斂的原因，它是為保證級數求和與次序無關。教師啟發學生注意到數學期望是一個數字，不再具有隨機性。并指出數學期望的統計意義，它反映隨機變量眾多取值的中心位置，隨著對隨機變量觀察次數的增加，大量觀察值的平均值會越來越接近其數學期望E（X）。接下來以彩票中獎問題為例，彩票共100萬張，每張5元。頭獎8個，獎10萬元;二等獎100個，獎5000元;三等獎1000個，獎200元;四等獎100000個， 獎10元， 問買彩票是一種投資方式嗎？通過計算一張彩票的平均收益，學生發現買彩票并不是一種投資，只是一種獻愛心的行為。這里切入課程思政教育——大數據時代，不抱僥幸心理，有限的時間花在更有意義的事情上來。離散型中最常見的泊松分布作為練習題，學生自行練習，師生一起探討它的數學期望求解過程。

有了離散型隨機變量的數學期望的概念，自然要問連續型隨機變量的數學期望的概念，這也是本節教學內容的難點。這里我們通過類比、轉化和遷移的常用思想方法，將連續問題離散化來引導學生理解連續型的數學期望定義。設X是連續型隨機變量，其密度函數為f（x），-∞

定義3.2? 設X為連續型隨機變量，其密度為f（x），若廣義積分xf（x）dx絕對收斂，則稱xf（x）dx的值為連續型隨機變量X的數學期望，記為EX。

教師啟發學生觀察3.1和3.2，兩種類型的數學期望定義雖然形式不同，究其本質卻是相同的，即隨機變量的所有可能取值與相應概率乘積的全求和。然后，以連續型中最常見的正態分布為例介紹的數學期望的具體求解方法。接下來，給學生預留時間自行練習指數分布的數學期望，將簡要思路圖片上傳至云班課里，便于教師及時反饋到學生的課堂學習效果和掌握程度。這里以柯西分布為例開闊學生的認知，數學期望也有不存在的情形。

繼續研究隨機變量的數學期望問題，由問題引入隨機變量函數的數學期望問題，如已知風速V～U（0，a），飛機機翼受到的壓力W=kV2，其中k是正常數，問機翼受到的平均壓力為多大？它歸納成這樣的數學問題：已知X的概率分布，Y=g（x）為連續函數，若Y=g（X）也是隨機變量，那么如何計算Y的數學期望？以X～E（1），Y=2X為例，啟發學生思考。首先，引導回憶求解隨機變量函數分布的方法，可以求得Y的密度函數，fY（y）=fX（）·，再利用期望的定義得到E（Y）=yfY（y）dy。這里我們將其形式變形E（Y）yfY（y）dy=yfX（）dy2x·fX（x）dx=g（x）·fX（x）dx啟發學生觀察最后的形式，它依然滿足數學期望概念的本質——隨機變量的所有可能取值與相應概率乘積的全求和。在一般情形下，求解隨機變量函數的分布過程往往比較復雜，這個結果告訴我們能根據已知隨機變量的分布直接表示出其函數的數學期望，避免求解隨機變量函數的分布。推廣至一般情形，順理成章地得到隨機變量函數的數學期望的定理，并舉例使學生充分體會定理的理論優勢。

（4）應用舉例。數學期望的概念不能只停留在數學層面，還要回到實際層面，即需要引導學生利用所學知識解決實際問題。以經典的“血液分組檢測問題”為例，第二次世界大戰期間，數千萬的美國應征者在入伍前進行了梅毒測驗，預計大概有幾千人感染了這種病。化驗血樣是一個非常耗時而昂貴的過程，哈佛經濟學家羅伯特·陶福曼建議采取——分組檢驗法。讓我們看看這種方法背后的數學原理。可設計問題如下，假設獨立選取20人一組，每個人患某病毒的概率為0.01。師生一起分析，方案一：逐一進行化驗，需要20次;方案二：20人為一組混合他們的血液在一起化驗。若結果為陰性，只需化驗一次，結果為陽性，需要化驗21次，如何與方案一呢？需要求方案二的平均化驗的次數。設X表示方案二所需的化驗次數，要先求X的分布律。通過學生討論得到X的分。從而EX=1×（1-0.01）20+21×（1-0.9920）≈4.6，每組平均化驗次數不到5次。

結合當前熱點問題，武漢市5月14日至23日的10天時間，完成了900多萬人次的采樣和657.4萬人次的檢測，這種千萬級別檢測在十天內完成也是采取的分組檢測法。國內據官方披露的消息來看，謹慎地采取了每組最多混合五份樣本。

5.課后任務。教師根據課堂講授和學生互動情況精心選擇課后練習并上傳至云班課學習平臺，如聯系實際，舉例期望概念在實際生活中的應用，并查閱有關均值—方差投資組合模型問題案例，讓學生動起來。

三、結束語

基于云班課的線上線下混合教學模式，整合了傳統課堂教學和互聯網教育的雙重優勢，互相補充和促進，教師能及時掌握到學生的反饋信息，學生在課堂的參與度較高，以實現教師為主導，學生為主體的雙主教學結構。為鞏固課堂教學效果，如何開展課外的線上學習指導也是后續值得探討的地方。線上輔助教學是一個不斷完善的過程，需要進一步的研究和探索，最終實現全面提升課程教學效果、培養學生概率統計思維及綜合分析問題的目標。

參考文獻：

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[3]高姍.混合式教學模式在概率論與統計課程中的應用探究[J].廊坊師范學院學報（自然科學版），2020，20（3）：101-103.

作者簡介：

蔣春梅（1981年-），女，漢族，江蘇省淮安市人，碩士研究生，副教授，研究方向：隨機過程。