立足高效課堂 培養核心素養

陳暢

摘 要：2016-2020年全國高考數學解析幾何題發現，注重考查邏輯推理、數學運算、數據分析等三大數學學科核心素養，而培養學生數學核心素養的主陣地就是課堂教學。注重培養數學思維能力，提升學生解題能力。

關鍵詞：高效課堂;解題能力;核心素養

筆者研究2016-2020年高考數學全國卷發現，重視考查學生邏輯推理，對第21題的解析幾何甚至有“重思維，輕運算”的趨勢。本文筆者通過一個課例片段，旨在探究數學課堂中解題教學如何幫助學生在解題過程中不斷總結經驗，積累解題思維方法，促進數學思維能力有效的提高。而遇到難度較大的數學題我們應該如何處理才能讓學生能解決問題呢？

一、課例呈現，引證思源

本課是在對直線與圓錐曲線第二輪復習結束之后，針對第21題是解析幾何題學生反饋出的問題后一節講評課的片段：

問題：設拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=-m（m>0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B。

（Ⅰ）當M的坐標為（0，-1），時，求過M，A，B三點的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關系;

（Ⅱ）討論直線AB是否經過定點，若是，寫出定點的坐標，若不是，說明理由。

第（Ⅰ）問中點M的坐標已給出來，入手容易。學生由切線，從而求出切點A，B，再利用三點求出圓的方程：x2+（y-1）2=4，最后，利用圓心到直線距離可以判斷直線l與此圓的位置關系是相切的。筆者對求解過程“設、列、化簡”進行小結，學生整理、規范自己的答題，得到如下規范的解答過程，易知該圓與直線l：y=-1相切。

而第（Ⅱ）問學生感覺不陌生，是判斷直線過定點問題，但此題只有拋物線C的方程是已知的，其他無論是直線l，還是點M，A，B都未知。要怎么求直線AB呢？

師：答卷昨天已發回給大家，同學們有沒有想辦法解決這種個問題？請哪位同學談談？

（環顧課堂，已有幾個學生舉手，我示意學生發言。）

學生1：我沒想到怎么做，但我覺得應該是先設A（x1，y1），B（x2，y2）。把切線方程寫出，從而得到直線AB的方程。

師：很好，思維嚴密。解析幾何綜合性問題求解的第一步是“設”，即引進適當的變量，但引進的變量是否合理，我們應事先做出判斷，而判斷的標準是，所給的幾何條件能否用引進的變量代數化。

師：這位同學設出來的量應該是有效的，那么又有哪位同學有勇氣把切線方程寫出從而得到直線AB的方程呢？大家可以互相討論。

師：有哪位同學來說一下？

學生2：我是這樣做的。

設過拋物線上點A的切線方程為（y-y1）=k1 （x-x1），代入x2=4y，

整理得

又因為x12=4y1，?? 所以

從而拋物線上點A（x1，y1）的切線方程為： （y-y1）=（x-x1），即

又設過拋物線上點B的切線方程為（y-y2）=k2 （x-x2），代入x2=4y，

整理得

又因為x22=4y2，?? 所以

從而拋物線上點B（x2，y2）的切線方程為： （y-y2）=（x-x2），即

（這時有學生舉手要求發言，我就放開了讓同學們說自己的想法）

學生3：求拋物線上點B（x2，y2）的切線方程其實不用再求一次，因為它的格式與點A是相似的，所以直接同理得拋物線上點B（x2，y2）的切線方程為：就可以快很多了。但是把兩切線方程求出來之后，下一步怎么做我就不知道了。

學生4：我求拋物線上點A的切線方程的斜率k是用求導來做的，也是求得同樣的方程。下一步我不知道怎么做，所以就沒法繼續做了。

師：同學們對求切線方程這個問題解決得非常好，對斜率k的求法也能想到多種方法。特別是學生3同理類比的做法求點B（x2，y2）的切線方程，使得運算量大大減少。但是，兩切線方程都已求出來了，為什么就做不下去呢？

學生：因為含字母的未知量太多了。

師：回到剛才的解法。半途而廢不是一個好的習慣，當我們遇到挫折時，不要輕易對以前所做的全盤否定，也許我們只是有個別地方做得還不夠好，也可能是還有些地方因為生疏暫時沒能想到。

師：大家注意我們的已知條件還有哪些沒用到？

學生1：（進行實物投影）點M是在兩切線上的，可以設點M（x0， -m），

代入兩線方程得? 和

（同學們在小聲議論，似有所悟，但部分同學仍帶疑惑表情。）

師：學生1的審題觀察能力很好，突破口就在這點M上。

師：有誰愿意把你的答案投影出來？

學生5：可以設點M（x0，-m），由點M在兩切線上，

代入兩切線方程得? 和

即點A（x1，y1），B（x2，y2）均滿足? 即x0x=2（y-m），

故直線AB的方程為：x0x=2（y-m）

所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）

師：太妙了，對條件進行有效的恒等變換后，利用等式優美的結構特征，把看似復雜的東西給人以簡潔及美的享受，這充分體現了解析幾何設而不求的解題策略，非常簡潔地解答了問題，這就是互相討論，互相學習的魅力所在。

二、課例反思，真知灼見

通過本節課，筆者發現課前的學生思考與課上老師的引導非常關鍵，掌握基本公式、基本方法、基本技能是基礎，在此之上通過不同情境的遷移應用，再尋求解題的突破口。在講評課做好以下三點：

（一）在講評課的教學前，老師不要牽著學生的鼻子走，要幫助學生把例題解答過程中丟失的思維過程找回來，充分暴露解題思維，逐漸培養起分析問題的能力和積極思考的良好習慣。不能單純追求習題量的積累，要讓學生明白“怎樣解題”，解決學生“拿起題無從下手”的問題。

（二）在講評課的教學中，做到全面依靠學生和高度尊重學生，最大限度的提高學生在課堂中的學習積極性和主動性，在教學過程中要有評價和激勵教師在教學活動將結束時，要由小組代表或教師對本節重點知識進行梳理，對學習情況進行評議教師適時介入，提供方法、技巧，協助學生完成模型析出，模型應用等一系列學習任務，從而達到培養、提高學生綜合能力的目的。

（三）在講評課的教學后，我們要學會解題反思，分析命題意圖，把脈出題方向，重點分析不會解的題到底是知識上還是方法上出了問題，只有對癥下藥才能找到問題歸因所在。當然，還可以尋求其他解題方法一道數學題，擇其簡單快捷的方法進行下階段的推廣應用，找到解決此類問題的普遍結論與解題思路。

三、課例研究，師生共長

筆者嘗試以“直線與圓錐曲線”的這題作為重點內容來進行課例研究，充分挖掘例題的出題背景，讓學生把新知識合理地建構在原有的知識體系上，在解題示范的過程中讓學生不斷地認識逆向思維的過程和方法，把數學課堂變成培養學生核心素養的知識海洋。

參考文獻：

[1] 羅增儒 數學解題學引論.西安：陜西師范師范出版社，2004.

[2] 鄭毓信.數學教師的專業成長[J].人民教育，2010（8）：37-39.

[3] 金燁，基于培養學生數學核心素養的課例研究.數學之友，2016，0（12）