單元整體設計：小學計算教學統合路徑探尋

張麗萍

[摘 要]基于單元整體的計算教學，既要統合計算類的數學知識，又要根據學生的計算需求、認知規律等改變教材的呈現序列，從而讓學生更好地學習計算。單元整體設計，要立足于“類”的視角觀照計算教學，立足于“聯”的視角研究計算教學，立足于“變”的視角實施計算教學。

[關鍵詞]小學數學;計算教學;整體設計;統合路徑

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0037-02

計算力是學生的最為基本的數學素養。小學階段的計算教學，從內容上看，主要有加、減、乘、除法的豎式計算以及混合運算、簡便運算等;從形式上看，主要有口算、筆算、估算等;從過程上看，都要求學生達到“理解算理”“構造算法”“解決問題”三個層面。在計算教學中，一些教師的實踐與研究往往局限于計算“知識點”，局限于讓學生形成“計算技能”，局限于“一課一得”的課時教學，因而導致學生在計算學習中不能將相關知識融通，不能靈活處理計算問題。整體性教學立足于“計算整體”，從“單元整體設計”謀劃到“課時細化”實施，不斷加強學生計算“過程體驗”。通過運用有效的教學策略、方法，幫助學生剖析算理、建構算法，為學生的數學思維生長開辟廣闊空間，助推學生的數學素養實現可持續發展。

一、從“類”的視角觀照計算教學

統合研發計算教學，要站在“類”的視角，研究“計算類內容”在教材中編排，研究它們的教學要求、程序等。具體而言，包括計算的意義、算理、算法等，包括學生對計算的認知結構、思維結構以及心理結構等。從“類”的視角觀照計算教學，可以讓“計算類”內容與學生的計算認知結構、思維結構與心理結構同構共生、同生共長、協調互動。

1.算理

從根本上說，小學階段的計算教學主要涉及三個領域（整數、小數和分數）的四種運算（加、減、乘、除以及它們的混合運算、簡便運算）。從“類”的視角觀照計算教學，要求學生必須掌握算理。所謂算理，就是計算的內在道理。算理屬于程序性知識，主要解決為什么這樣計算的問題。算理是算法的基礎，是算法賴以成立的數學原理。教學中，如果學生對算理模糊不清，即使通過記憶而掌握算法，這樣的算法也是不牢固的。立足“類”的視角，計算教學應當循理入法、以理馭法，不僅能幫助學生認識到怎樣計算，而且讓學生認識到為什么這樣計算。教學中，教師不僅要考量算理本身，還要考量算理與算法的關系、算理的呈現形式等。比如整數加減法、小數加減法以及異分母分數加減法，盡管其算法表現形式不同，但立足整體比較，就能形成更為上位、更具統攝性的算理，即只有計數單位相同才能直接相加減。

2.算法

算法是計算的法則，任何一種計算內容，都有自己的算法結構。計算教學應當讓學生掌握算法結構。算法是一種陳述性的知識，是經過算理理解后凝結、壓縮而成的一種簡約化、可操作的知識，算法主要解決“怎樣計算”的問題。教學中，如果算法不明，學生也難以形成良好的計算素養。立足于“類”的視角，算法的理解不僅包括對算法本質的理解，還包括對算法關系的理解。比如教學“十幾減9”，學生通過自主建構，形成了“破十法”“算減想加法”“平十法”等諸多算法。教學中，教師就可以引導學生在多樣化算法的基礎上進行算法比較，從而進行算法優化。通過算法比較，學生就能感受、體驗到各種算法的優勢、劣勢，既掌握了具有普適性意義的通則通法，又掌握了靈動智慧的個性化算法。

算理和算法是計算的兩大主要內容。無論什么計算的研究，都離不開算理和算法。在計算整體性教學中，教師要在引導學生理解算理、掌握算法的基礎上，將算理和算法融通起來、融合起來。在算理和算法的分析之中，教師還要有意識地滲透數學思想方法，諸如化歸思想、類比思想、推理方法等。

二、從“聯”的視角研究計算教學

如果說，研究整體性計算教學應當基于“類”的視角，那么，研究整體性計算教學就應當基于“聯”的視角。從根本上說，小學階段的計算都是相互關聯的，不僅算理相互關聯，算法也相互關聯。教師從“聯”的視角來研究計算教學，有利于引導學生在計算學習中舉一反三、觸類旁通。從“聯”的視角研究計算教學，不僅能讓學生建構結構性的算法，而且能讓學生從多維度理解算理，從而形成具有系統性的計算素養。

1.元素關聯

小學階段的計算內容，其內在的組成元素是相互關聯的。比如“整數加減法”的教學，是分散在不同學段、不同年級的教材之中的。從“20以內的加減法”到“100以內的加減法”，再到“兩三位數的加法和減法”，盡管算理、算法的表現形式不同，但其核心概念、元素則是一以貫之的，比如“數位”“位值”“計數單位”“進率”等。而這些基本元素，不僅對學生的整數加減法學習具有支撐性的作用，而且對學生的小數加減法學習也具有支撐性作用。在計算教學中，教師要始終把握計算中的基本元素、核心概念。只有這樣，計算教學才能事半功倍、卓有成效。再如“運算律”這部分內容，在內容與形式上不僅適用于整數四則簡便運算，同樣也適用于小數、分數的四則運算和簡便運算等。從“聯”的視角研究計算，要始終把握計算中的概念、意義、性質、定律等。

2.方法關聯

如果說元素關聯是從靜態意義上進行數學計算的整體性研究，那么方法關聯則是從動態意義上進行數學計算的整體性研究。總的來說，對算理的理解與算法的建構既可以依靠學生的生活經驗、活動經驗等，也可以進行類比、遷移、猜想、驗證等，還可以進行再創造等。比如“運算律”這一單元，主要包括“加法交換律”“加法結合律”“乘法交換律”“乘法結合律”“乘法分配律”。其建構方法都是“生活事例—建立關系—形成猜想—舉例驗證”。這樣的方法結構，在學生學習“分數乘法”“分數除法”時也能進行有效的遷移運用。在計算教學中，教師不僅要引導學生把握算理的本質，而且要引導學生洞察算法的形式，從而將算理的“質”與算法的“形”關聯起來，讓學生在計算學習過程中從具體形象的思維逐步過渡到抽象的邏輯思維。

從“聯”的視角研究計算教學，要求教師打破計算算理、算法的局限性，將同一單元的不同計算教學內容，不同單元的計算教學內容統整起來進行思考、考量。基于“聯”的視角的考量，能讓師生更好地處理計算學習內容。

三、從“變”的視角實施計算教學

立足于計算教學的整體視角，可以發現計算各教學內容間的結構性關聯。在整體性計算教學實踐中，教師要著力于“變”，凸顯“不變”。無論是明理算法，還是以理馭法，都應當注重學生思維靈活性、敏捷性、廣闊性的培育。從“變”的視角實施計算教學，可以為學生的計算提供基礎保障、思維支撐、動力源泉和再創造平臺。

1.以計算本質內涵為基礎

實施計算整體性教學，要讓靜態的計算知識結構成為計算教學的立足點。教師要樹立“大單元”的觀念，以計算本質內涵為基礎，變換計算的表征形式。變換表征形式有助于學生在計算學習中獲得多元的理解和心理編碼，能對相關的心理編碼進行轉譯。在把握教材的固化格局基礎上，對相關的內容做適度調整。創造性地整合相關計算教學資源，為學生嘗試計算服務。比如在教學“加法交換律”時，可以引導學生思考：“減法、乘法和除法都有交換律嗎？”這樣的視角變換能助推學生在計算學習中展開深度探究。學生不僅會主動地驗證加法交換律，而且會對乘法交換律、減法交換律、除法交換律是否存在都展開研究。教師還可以對“加數的個數”實施變化，比如提出“三個數相加，任意交換兩個加數的位置，和還是不變嗎？”“若干個加數相加，交換兩個加數的位置，和還是不變嗎？”等問題。此外，教師還可以將加減法混合起來，甚至將加法、減法、乘法、除法混合起來，引導學生運用交換律計算。通過改變運算數字的個數、運算的種類，讓學生理解交換律的本質。在整個過程中，學生還總結出一般交換律的操作方法，即交換的時候，要連同數字前面的加、減、乘、除符號一起進行交換。這樣的學習過程為小學高年級學段的交換律學習，甚至初中階段的交換律的學習奠定了堅實的基礎。

2.以學生的計算需求為基礎

從“變”的視角實施計算教學，要始終站在學生的立場上，讓動態的學情成為計算教學的出發點和落腳點。要根據學生的具體學情組織教學，以便讓計算教學能貼近學生的最近發展區，將學生由現實計算水平導向可能發展水平。比如教學“分數的基本性質”，教師可以根據學生的具體學情實施教學。從學生的已有知識經驗“商不變的規律”到“分數的基本性質”，教師完全可以借助分數與除法的關系來引導學生猜測、驗證。當學生掌握分數的基本性質之后，有學生就提出了這樣的問題：“分數的基本性質有什么作用？”基于此，筆者在教學中將“約分”和“通分”統一起來進行教學。在“約分”中，學生是將一個分數的分子和分母同時除以一個數;在“通分”中，學生是將幾個分數的分子和分母同時乘一個數。通過這樣的教學，學生深刻體驗到分數的基本性質的作用，感受到約分與通分的差異。對分數的基本性質的靈活應用，不僅極大地調動了學生的學習興趣，而且發展了他們的認知力、推理力和類比遷移力。

總之，基于單元整體的計算教學，要著力引導學生實踐、體驗、感悟，既要統合計算類的數學知識，又要根據學生的計算需求、計算認知規律等改變教材內容的呈現順序，從而讓學生更好地學習計算，不僅理解算理、掌握算法，理解計算知識的本質，而且能將計算內容與思維的互動生長結合起來。

（責編 吳美玲）