化歸思想在初中數學教學中的滲透策略

劉曉英

【摘要】新課標背景下的初中數學教學不但要傳授給學生一定的數學知識，更重要的是讓學生通過學習知識提高數學思維和解決生活問題的能力.因此，作為一線數學老師就要重視在教學中滲透數學思想，尤其是在初中數學教學中滲透化歸思想，因為它可將復雜問題簡單化，將抽象問題具體化，從而大大提高學生應用數學的能力.

【關鍵詞】化歸思想;初中數學;滲透策略

【基金項目】本文系甘肅省教育科學規劃“十三五”規劃課題《“化歸思想”在初中數學教學中的滲透策略研究》（立項號：[2020]GHB2809）的階段性研究成果.

一、認識化歸思想及其意義

在數學思想中，化歸思想是一種重要的思想，它可以有效提升學生的數學思維，促進學生的數學思維向高階發展.所謂化歸思想就是在解決數學問題時運用科學的手段轉化問題，從而獲得更好的解決問題的方式.運用化歸思想可將復雜的數學問題簡單化，將抽象問題形象化，真正實現數學問題的化繁為簡，從而取得最優的解決問題的方法.化歸思想也是基礎的數學思想，它是分析、解決數學問題最常用的手段之一，是解決生活中數學問題的主要途徑.在初中數學教學中，化歸思想隨處可見，比如在求解復雜方程的過程中可運用化歸思想分析解題的思路，將復雜的問題進行轉化之后會變得非常簡單，最后化為常見的方程進行求解，使解答變得容易.再如，在四邊形、多邊形等幾何圖形中也能運用化歸思想，即將圖形劃分為三角形進行求解，這就是運用化歸思想的過程.

化歸思想在初中數學教學中有著非常重要的意義，教師認識并運用好化歸思想對于提高初中學生的數學思維意義重大.

1.化歸思想可以化抽象為具象

抽象是數學最主要的特點，對于初中學生而言，他們的抽象思維還沒有完全成熟，借助化歸思想能夠將抽象問題形象化，降低問題的難度.目前，初中數學教材已經引進了函數的內容，初中學生初步認知函數的時候會覺得非常抽象，難以理解，這時老師可借助化歸思想創設有效的教學情境進行問題轉化，將復雜、抽象的函數問題形象化.如：同學們，手機是一種非常普遍的通信工具，你們觀察過手機繳費的方式嗎？通過情境將數學問題與生活建立聯系之后，老師巧妙地引入化歸思想，以生活中常見的幾種繳費方式為例，引導學生進行討論，最后總結出最便宜的繳費方式.在這樣的情境中，學生潛移默化地受到了化歸思想的熏陶，數學思維得到了提高.

2.化歸思想可以化復雜為簡單

對于初中學生而言，他們掌握的數學知識有限，往往會遇到一些陌生且復雜的問題，這時借助化歸思想可將復雜問題簡單化，讓舊知與新知之間建立聯系，提高解決問題的能力.比如，在解決下面例題的過程中便可很好地運用化歸思想.

如圖1，△ABC是一個等腰三角形，如果它以每秒1米的速度沿直線l向正方形移動 ，直到AB與CD重合，假設移動x秒時，正方形和三角形重合部分的面積是y平方米，那么請求出x與y的關系式.

對于初中學生來說，這是一個比較復雜的問題，涉及的是動態問題，這時老師可引導學生 “化動為靜”，以圖2、圖3為例，用它可以看出，這是某一時間點上的圖形，可以將動態點上的所有線段都用含x的式子進行表達.

在這里很好地運用了靜態的方法來解決動態的問題，把一個復雜的問題通過轉化簡單化，讓學生探究了通過轉化解決問題的方法，加深了學生對化歸思想的認知.

二、把握化歸思想在初中數學教學中的運用原則

其實，在整個初中數學知識中貫穿著諸多數學思想，但運用最多的還是化歸思想.運用好化歸思想對于初中生而言可以有效提升學習效率，提高解決實際問題的能力.所謂“化歸”，從字面意思上來解釋就是轉化和歸納總結，也就是通過一個轉化的過程將復雜問題簡單化，是一種提高解決問題效率的方式.比如，學生掌握了矩形面積求法之后就可求解平行四邊形、三角形、多邊形的面積，那么具體怎么去求它們的面積呢？這時可用割補的方法把一個平行四邊形轉化為矩形，也可用拼接的方法把一個三角形轉化成平行四邊形，這樣就實現了圖形的轉化，將未知轉化為已知，降低了解決問題的難度.具體而言，老師在初中數學教學中運用化歸思想時要注意以下幾個原則.

一是“熟悉化”原則.一般來說，當學生遇到非常生疏的問題時，就可運用化歸思想將陌生問題轉化成自己比較熟悉的問題進行解答，這樣就會容易得多，而且實現了舊知與新知之間的聯系，提高了解決問題的能力.

二是“簡單化”原則.數學問題往往比較復雜，如果單純依靠一種思路或者一個方面的知識解決起來會很難，這時可運用化歸思想中的簡單化原則，把復雜的問題轉化為簡單的程序性的問題，從而使問題得到解決.

三是“具體化”原則.數學本質是抽象的，但是學生在解決問題時要盡量讓抽象問題具體化，使其變得形象、直觀，這樣問題就很容易得到解決，而這一過程中就會運用到化歸思想.

四是“極端化”原則.“極端”通常是一個貶義詞，但是在數學世界中它是一種有效解決問題的方法.所謂極端化就是先讓問題處于極端的位置再去思考，從而得到一般化中的狀態，得到解答的思路.比如，數學中認為點是圓的半徑為零的一種極端情形，還把三角形看成梯形的上底長度變為零之后的極端情形.

三、化歸思想在初中數學教學中的滲透策略

哲學家認為人們對世界的認知就是由一般到特殊再由特殊到一般的過程，這也是化歸思想中的一條普遍的規律.初中數學教學也呈現了這個特性.化歸思想在初中數學教學中的滲透策略有以下幾個.

1.化歸思想中的“特殊化法”

所謂“特殊化法”就是當面對一個比較難解決的問題時，可運用化歸思想實現由一般到特殊的轉化，從而找到容易解決的形式，這一轉化過程就非常符合人們對世界的普遍認知規律.“特殊化法”有兩種常見的方式：一是從比較簡單的形式去思考，尋找解決問題的途徑，二是將特殊對象轉化為一般問題進行思考.

比如，在現代數學體系里，對于方程組的求解常常就采用這種特殊化法.例如，推導一元二次方程的常見解法時，首先要對其特殊形式下的一元二次方程（x2=m（m≥0））進行討論，然后對一般形式下的一元二次方程（ax2+bx+c=0，a≠0，b2-4ac≥0）進行特殊化法求解，從而得出結果.

例1解方程式：（x2-2）2-3（x2-2）+2=0.

解這一方程時要先進行分析，如果把原來的方程式展開進行求解，會得到一個高次的方程，但是對原方程進行觀察之后，可發現規律，若令y=x2-2，就可把原方程的次數降低，也就是把原來的方程轉化為一元二次方程y2-3y+2=0，先解出y值，再解出x值，使用這樣的特殊化法之后，原方程就很容易求解.

其實在初中的平面幾何教學中也常常會用到化歸思想，一般來說，就是將圖形通過畫輔助線的方式進行化歸，把特殊化為一般，轉化為簡單的圖形.

例2求證一個n邊形的內角和是（n-2）×180°.

在求證之前還要先進行一番分析，因為三角形的三個內角之和是180°，所以可以把一個多邊形以添加對角線的方式轉化成多個三角形，然后利用三角形的三個內角的和等于180°的結果進行求證.（求證過程略）

2.化歸思想中的“一般化法”

化歸思想中除了運用到“特殊化法”之外，還經常會用“一般化法”，它同樣能夠化復雜為簡單，達到解決問題的目的.比如，比較兩個數20202021與20212020的大小，就會運用到化歸思想中的“一般化法”.

例3請觀察下列各算式：

1×2×3×4+1=52，

2×3×4×5+1=112，

3×4×5×6+1=192.

問題1：觀察算式得出一個一般性的結論，并給出證明的過程.

問題2：根據問題1用一個最簡算的方法算出2006×2007×2008×2009+1的結果.

同樣，在進行計算之前先要進行分析：首先要考慮一般式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的結果到底是一個什么樣的式子，進行化簡之后可得出結果為（n2+3n+1）2，而要計算問題2 中的結果，只需令n=2006即可，然后代入算式進行計算，就很容易地得到了答案.

這里很明顯地運用到了化歸思想中的“一般化法”，實現了讓復雜問題簡單化的目的，讓計算變得簡單容易.

3.化歸思想中的“數形轉化”

在初中數學知識中，有些問題如果單純地運用數學知識去解決往往會比較復雜，解法也不一定是最優的，但是如果轉變一下思路，運用化歸思想，用其他數學知識進行求解，也許會變得簡單容易，讓解題方法最優化，而化歸思想中的“數形轉化”就是這種方法.我國數學家華羅庚曾經說過一段話：數缺形時少直覺，形少數時難入微.數形結合百般好，割裂分家萬事非.這里很形象地講出數學中數形結合的重要性.在初中數學函數這一部分內容中，常常會用函數解析式來分析函數圖像，或者用函數圖像分析函數的性質，其實，這就是巧妙地運用到了化歸思想中“數形轉化”.

例4方程-x2+5x-2=2x的根中正根的個數有（）個.

A.0B.1C.2D.3

同樣地，在進行解答之前先要進行分析，如果運用去掉分母的方式計算就會把方程化成一個三次方程，這超出了初中學生的知識范圍，但是，如果換一個思路，運用化歸思想中的“數形轉化”，那么這個問題就輕而易舉地得到了解答，也就是將這個數學方程式進行轉化，分解為一個雙曲線和一個拋物線，分別畫出它們的圖形則可得到答案.

拋物線：y=-x2+5x-2，雙曲線y=2x.

如圖4所示，當x>0時，這兩個函數出現了2個交點，這樣就可得知方程-x2+5x-2=2x的根中正根的個數有2個.

四、結語

總之，化歸思想作為初中數學教學中需要滲透的一種重要思想，它對學生數學思維的發展有著非常積極的作用.一線數學老師一定要立足于學生實際，借助化歸思想幫助學生建構起數學知識體系，提升學生的數學探究能力，幫助學生解決生活中的實際問題.

【參考文獻】

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