基于數學模型的微專題教學案例

馮鵬濤

【摘 要】 微專題復習與傳統的大專題復習相比切口小，針對性強，逐漸成為教師課堂教學的重要組成部分。基于數學模型進行基礎知識的深入研究，是設計“微專題”的一種重要方式。在圓錐曲線定義求最值中的應用教學案例中，通過問題模型分析、模型應用改造等方式，優化學生知識結構，強化學生的思維方法，提高學生利用數學模型的能力，培養學生建模的思想。

【關鍵詞】 微專題? 課堂教學? 高中數學? 數學建模

1. 問題提出

微專題主要是對學生理解的漏點、盲點、疑點和難點有針對性地展開教學，提高數學知識的組織程度，完善數學知識在頭腦中的表征方式，促進學生的深度學習，優化學生數學知識的認知結構。微專題復習的建構可以基于數學模型研究、重要方法應用、教材習題變式、試卷講評拓展等。數學學習從某種意義上說是模型的學習。數學建模是一種數學思維方法，是一種問題解決方法，包括對問題進行抽象、簡化，建立模型、求解模型、驗證模型的求解全過程。在復習課中，教師圍繞一些具體問題的解決抽象出數學模型，并結合數學模型遷移、應用設置“微專題”，有利于學生感悟數學本質，提升數學學科素養。 最值問題貫穿高中階段數學學習，函數、不等式、幾何性質等是我們解決最值問題的主要手段。下面以“圓錐曲線定義在求最值中的應用”為例，談一下基于數學模型研究微專題教學。

2. 案例? 圓錐曲線定義在求最值中的應用

2.1 追根溯源 明確問題模型

問題1. 已知P點是拋物線y = 4x2上的動點，點P在y軸的射影是點M，又點A（7， 8），則|PA| + |PM|的最小值是? ?。

方法：|PA| + |PM|=|PA| + （|PN| - 1） =|PA| + |PF| +1 ≥|AF| - 1 = 9

問題2. 已知P（x， y）是拋物線y = 4x2上的點，則-x的最大值是? ?。

方法：|PA| - |PM|=|PA| - （|PN| - 1） =|PA| - |PF| +1 ≤|AF| + 1 = 1 + 2

問題1，2都是以拋物線為幾何背景，在拋物線上選取一點滿足線段之和最小，線段之差最大，上述兩個問題對應的基本模型如下：

[模型一：異側和最小]

[模型二：同側差最大]

當動點在直線上運動求最值時，通過點關于線對稱實現定點的異側和同側，而問題1和問題2動點位于拋物線上，不能通過點關于線對稱轉化成模型一和模型二的情景，這里利用的是拋物線的定義進行轉化，把問題轉化為異側和最小，同側差最大的模型，解決問題的關鍵就是明確問題模型，利用合適的方法和手段，進行問題變換符合模型，進而利用模型求解。

2.2 利用技術手段，直觀感受模型

“微專題”的深層次以及模型的抽象性都增加了學生理解的難度，特別是對一些基礎薄弱的同學理解上會有困難，因此在處理問題和理解模型的過程中，可以使用幾何繪圖板或者Geogebra動態展示學生的觀察結果這樣，容易給學生直觀的感受，提高認識問題的深度和廣度。

2.3 合理編制變式，加深模型理解

變式：（1）若P是橢圓 + =1上的動點，F是橢圓的右焦點，則的最小值是? ?。

（2）已知F是雙曲線 -? = 1的左焦點，A（1， 4），P是雙曲線右支上的動點，則|PA| + |PF|的最小值為? ?。

“微專題”往往題量不多，通過合理手段，產生相關變式。有效變式是一種重要的方法，對典型問題進行一題多變，有利于學生從不同的背景中掌握通性通法，透過問題的表面看本質。這兩個變式通過改變曲線類型，把原來的拋物線變為雙曲線和橢圓，進一步鞏固對問題模型的認識，同時加深對圓錐曲線定義的理解。

3. 深化理解，提高數學建模的核心素養

通過此類問題歸類解析可知：緊扣圓錐曲線的“定義”和“圖形”加以思考，借助“定義”進行合理轉化，把問題轉化為已知模型是解決關鍵所在。在理解模型和應用模型的過程中，不僅包含思想策略的順利遷移，更重要的是蘊含創造性潛能的開發，里面包括模型的改造，手段的變化等。這對于培養學生數學抽象、邏輯推理和數學建模的素養有著非常重要的意義。

參考文獻

[1] 曾榮.“微專題復習”：促進深度學習的方式[J].教育研究與評論，2016（04）：28-34.

[2] 李世賓.借助“定義”巧解圓錐曲線中的最值問題[J].中學數學，2020（04）：26-27.