基于實驗項目的中心極限定理教學設計

熊梅 張大林

摘 要 中心極限定理在概率論與數理統計中具有首席定理之稱，是概率論與數理統計教學過程中的一個重難點。本文將實驗項目融入中心極限定理的教學過程之中，設計了數值模擬和圖形模擬兩個實驗項目，并利用MATLAB軟件實現。對于數值模擬項目，將實驗數值與理論數值進行比較，得到中心極限定理直觀的近似結果。對圖形模擬項目，展示了中心極限定理蘊含的極限變化過程，使得抽象的教學內容具體化、直觀化和形象化，加深了學生對中心極限定理的理解，提高了課堂教學效果。

關鍵詞 中心極限定理;實驗項目;MATLAB;教學設計

中圖分類號：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.33.032

Teaching Design of Central Limit Theorem Based on Experimental Project

XIONG Mei， ZHANG Dalin

（School of Mathematics and Statistics， Qiannan Normal University for Nationalities， Duyun， Guizhou 558000）

Abstract The central limit theorem is called the chief theorem in probability theory and mathematical statistics. It is significant and difficult in the teaching process of probability theory and mathematical statistics. In this paper， the experimental projects are integrated into the teaching process of the central limit theorem， and two experimental projects， numerical simulation and graphic simulation， are designed and realized by using MATLAB software. For the numerical simulation project， comparing with the theoretical value the intuitive results approximated of the central limit theorem is obtained. The graphic simulation project shows the limit changing process contained in the central limit theorem， which makes the abstract teaching content concretized， intuitional and visualized， deepens students' understanding of the central limit theorem and improves the classroom teaching effect.

Keywords central limit theorem; experimental project; MATLAB; teaching design

在自然界中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態分布的。中心極限定理就是從數學上證明了這一現象。中心極限定理是概率論的重要內容，也是數理統計學的基石之一，是概率論與數理統計課程教學中的一個重難點。在實際教學過程中，由于中心極限定理本身的抽象性和結果的多樣性使得學生容易產生畏難情緒，導致學生很難準確深入理解中心極限定理的實質。

1 中心極限定理的表述

中心極限定理的第一版是被法國數學家棣莫弗發現的，他在1733年發表的卓越論文中使用正態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。 這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著《概率分析理論》中拯救了這個默默無名的理論。 拉普拉斯擴展了棣莫弗的理論，指出二項分布可用正態分布逼近。1901年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變量定義中心極限定理，并在數學上進行了精確的證明。如今，中心極限定理被認為是（非正式地）概率論中的首席定理。主要表述為： Lindeberg-Levy中心極限定理（獨立同分布中心極限定理）、De Moivre-Laplace中心極限定理（二項分布的正態近似）和Lyapunov中心極限定理（獨立但不同分布中心極限定理）。[1]其中De Moivre-Laplace中心極限定理是獨立同分布中心極限定理的特殊情況，而Lyapunov中心極限定理則比獨立同分布中心極限定理更具有一般性。

1.1 De Moivre-Laplace中心極限定理

設隨機變量服從參數為的二項分布，即則對于任何實數有下式成立：

1.2 Lindeberg- Levy中心極限定理

設隨機變量相互獨立且服從同一分布，數學期望和方差都存在且方差不為0，即，，，則對于任何實數有下式成立：

1.3 Lyapunov中心極限定理

設隨機變量相互獨立，且數學期望，方差，記。 若滿足如下Lindeberg條件：存在，使得時，有

則

這個定理證明了由大量微小的而且獨立的隨機因素引起并累積而成的變量，必將是一個正態隨機變量。

2 中心極限定理的實驗項目設計

中心極限定理究竟說明的是一個什么樣的現象，它反映了怎樣的統計規律和分布特征呢？除了數學理論上的證明外，我們還可以通過實驗的形式，來直觀的理解和掌握中心極限定理的本質特征。下面兩個實驗項目的實現可以發現，當獨立隨機變量的個數不斷變大時，隨機變量之和的分布會趨向于正態分布。這一現象指出了正態分布使用范圍之廣的原因，也間接證明了正態分布在實際案例中起到了關鍵作用。[4]

2.1 數值近似實驗項目

設隨機變量服從參數為0.5的泊松分布，即～（0.5），其30次重復觀測結果為，記

用計算機模擬的重復觀測結果1000次，將的經驗分布函數（）與在點

，

的值相比較，并解釋比較結果。[2]

解：在Matlab命令窗口中輸入代碼：

>>y=poissrnd（0.5，1000，30）;得到一個1000？0階的矩陣該矩陣的每一行可以看作的一次30次重復觀測的模擬結果。

執行代碼：>>xm= （mean （y，2）-0.5）*sqrt（60）;

得到1000維的列向量，它是每個分量都是的一次重復觀測的模擬結果。

運行代碼：>>sum（[xm<-3，xm<-2.5，xm<-2，xm<-1.5，xm<-1，xm<-0.5]）/1000

得到的經驗分布函數在-3，-2.5，-2，-1.5，-1，-0.5處的值：

ans= ?0.0000 ? 0.0000 ? 0.0220 ? 0.0790 ? 0.1900 ? 0.3670

>>sum（[xm<0，xm<0.5，xm<1，xm<1.5，xm<2，xm<2.5，xm<3]）/1000

得到的經驗分布函數在0，0.5，1，1.5，2，2.5，3處的值：

ans= ?0.4740 ? 0.6640 ? 0.8110 ? 0.9220 ? 0.9680 ? 0.9860 ? 0.9960

>>normcdf（-3：0.5：3，0，1）

得到分布函數在點的值，0≤k≤12。

ans= ?Columns 1 ?through 7

0.0013 ? ?0.0062 ? ?0.0228 ? ?0.0668 ? ?0.1587

0.3085 ? 0.5000

Columns 8 ?through 13

0.6915 ? ?0.8413 ? ?0.9332 ? ?0.9772 ? ?0.9938

0.9987

將所得的經驗分布函數和正態分布函數的值列入表1。比較兩個分布函數在相同點的值，發現它們的最大誤差不超過0.06，說明用標準正態分布函數來近似的經驗分布函數的效果還是比較好的（表1）。

2.2 圖形模擬實驗項目

由獨立同分布中心極限定理可知，當充分大時，獨立同分布的隨機變量序列的平均值近似服從正態分布。現以指數分布為例，在樣本容量較大時，模擬服從指數分布的相互獨立的隨機變量序列的平均值的分布。設指數分布的概率密度函數為，其分布函數為

不妨以為例，編寫Matlab程序如下：[3]

clc， clear， N=10^5;theta=3;n=5;

x=exprnd（theta，[1，N]）;

hist（x，10）

for i=1：floor（N/n）

mu（i）=mean（x（（i-1）*n+1：i*n））;

end

figure（2），hist（mu，10）

運行后得到服從指數分布的隨機變量序列的平均值的模擬柱狀圖如圖1、圖2、圖3、圖4。

由圖1到圖4可以看出，當n=1，隨機變量序列的平均值的分布就是指數分布，當n=10時只有偏正態分布的雛形，n=40時，開始呈現正態分布的特征，到n=80時，分布特征越來越接近于標準的正態分布。從而直觀的模擬了獨立同分布的隨機變量序列的均值隨著n的增大越來越趨向于（此例中）正態分布。同時方差越來越小。即時，。

3 結束語

在本教學設計中，通過實驗項目的加入，以數值比較和圖形模擬直觀展示了中心極限定理的深刻內涵，加深學生對概念本質的理解。 實施實驗教學，既可以提高學生的學習興趣和編程能力，還可以培養學生數學直覺性和創造力，是一個不錯的教學設計項目和實施方案。

基金項目：2020年黔南州科技計劃項目“黔南民族師范學院一流學科專項（數學）”（2020XK03ST）

參考文獻

[1] 茆詩松.概率論與數理統計教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 張德豐等.MATLAB概率與數理統計分析[M].北京：機械工業出版社，2010.

[3] 馬翠玲等.融入數學史，借助MATLAB實現中心極限定理形象化教學[J].大學數學，2014.12.30（1）：115-118.

[4] 李生彪.中心極限定理在實際中的應用[J].甘肅科技，2008，24（18）：72-73.