從“平均分”的進階中看數感的形成與發展

檀錢勝

摘要：小學階段是學生數感形成和發展的關鍵時期。“數感”的培養不像知識與技能那樣較為系統，作為一種直覺和感悟，建立數感要依托于具體的內容。計算貫穿于整個小學的數學學習，因此提供了很多培養數感的生長點，本文將圍繞平均分與除法的聯系，結合整數、小數和分數除法的學習過程，挖掘除法運算中培養學生數感的途徑。

關鍵詞：數感 平均分 除法 小學數學

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

在核心素養中，數感是最重要的能力之一，其主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟[1]。作為一種感悟，數感的建立需要有效的載體，這與除法運算的教學過程不謀而合，豐富的內容和形式有助于數感的培養。接下來筆者將以北師大版數學教材內容為主線，以除法的學習脈絡為載體，借助對平均分的理解闡述在除法學習中數感的形成與發展。

一、除法學習的幾個重要階段

1.從分物游戲到整數除法

小學數學的學習起點大多基于生活已有的認知經驗。學生在課堂中通過分物游戲，實際體驗了“分”的過程，建立“平均分”與除法的聯系，逐步從平均分的角度認識除法及除法意義。這是一個從直觀到抽象的思維發展過程，是學生數感發展的重要載體。

有了初步感知，學生進一步學習“有余數的除法”、“多位數的除法”等知識，并建立除法橫式、豎式、直觀圖等之間的聯系。學生逐漸地脫離具體的數量，只從“數字”的角度進行運算并學會解釋每一步的含義。例如當學生面對154÷22時，可以把154盆牡丹花平均分成22份，也可以把154看做154元、154人、154厘米……，不管154代表什么，對應的數量關系并沒有發生變化。而在計算某一類型的題目時，數感在孩子們選擇最佳解題方法的過程中起著至關重要的作用[2]，例如計算154÷22時，學生需要先估算試商，再調商，此時學生會得到運算結果估計等方面的理解與感悟。

2、從整數除法到小數除法

縱觀從整數除法到小數除法的學習，這是一個聯系緊密，正向遷移的過程。例如在教學12.6÷6時，學生能列好豎式，得出結果2.1，只需提醒把商的小數點和被除數的小數點對齊。而通過借助元角分的對應關系和小數意義對運算過程進行解讀，其實是把12.6分成了“12個1”和“6個0.1”，分別除以6后再相加，其中真正與小數相關的就是把6個0.1平均分成6份，每份是0.1。后面的學習中，不管是“商中補0”，還是“除數是小數”的情況，本質還是從整數計數單位向小數計數單位的延伸。對小數意義的豐富和理解過程就是學生數感發展的重要節點。

3、從整數除法到分數除法

在正式學習分數除法之前，學生對分數除法的思維起點主要是分數的意義，在把一（多）個整體平均若干份的學習體驗中，建立分數與除法的聯系。而在學生的認知經驗里，平均分的對象大都是一個整體，現在需要對“部分”進行“平均分”，這是對學生理解的一次沖擊，也是對學生數感形成與發展的一次挑戰。

例如嘗試計算4，時，在學生的固化印象里，單純從算法“除以一個不為零的數等于乘它的倒數”來看并不難，但對于分數的“均分”，學生在理解上有很大困惑.怎么引導學生走出這樣的認知困境，達到認知和實踐相統一的狀態。我想答案還是在“平均分”的過程中，比如，我們可以認為是把“平均分成份，每份是多少”或者“以為一份，看里有多少份”，歸結起來就是“里有多少個”。此時可以通過畫線段圖表達， 把變成，就是看“里有多少個”如果這兩個分數同時乘8，就是看“6里面有多少個5”的問題，再次回到分數的意義，通過分數與除法的聯系，得出6÷5=，這與的運算結果是一致的。

二、從數發展的角度看除法

1.整數、小數和分數之間的聯系

小數和分數的產生都是對“不完整”需求的表達，它們與整數之間聯系緊密，例如，整數除法構建了分數與小數之間的聯系，分數和小數既能表示結果也能表示兩個量之間的關系。如果把，2÷5，0.4都再平均分成兩份，得到，1÷5，0.2，再平均分成兩份，得到，1÷10，0.1，繼續分，得到，1÷20，0.05…在這個過程中，它們始終有著相等關系。

2.代數中的除法

學生學習了用字母表示數與數量關系，從此就從算術思維銜接到代數思維。根據分數與除法的轉化：這是一個高度概括的除法模型。

三、結論

“數的運算”過程常常是小學生鞏固、發展數感的過程[3]。借助平均分的直觀演示和反復運算的過程，既可以幫助學生更好地理解除法的意義，豐富對數的認識，也能有效促進學生數感的形成和發展。“數感”作為一種直覺、直觀的感受，除了除法運算，還有更多的生長點值得探索和深思。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：3-12.

[2]朱莉婭·安吉萊瑞， 安吉萊瑞， 徐文彬. 如何培養學習的數感[M]. 北京：北京師范大學出版社， 2007：80-81.

[3]曹培英. 跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M]. 上海：上海教育出版社， 2017：11-13.