核心工具串聯，核心素養并聯

趙麗霞

摘要：數學核心素養的提出，促進了教學設計的變革，單元教學設計也隨之重視起來，必然也要重視單元復習教學設計.本文以問題解決線索為主題、以單位圓為串聯工具、以數學核心素養相并聯的模式，對“三角函數”單元復習教學設計進行嘗試，讓單元的知識體系和思想方法體系在復習課上加以升華.

關鍵詞：單元復習 核心工具 核心素養 三角函數

1 單元復習教學的重要性

單元復習教學，是在學習了一個單元的教學之后，以梳理和鞏固已學知識和方法，促進知識系統化，提高學生運用所學知識解決問題的能力為主要任務的一個種課型. 本文以問題解決線索為主題、以單位圓為串聯工具、以數學核心素養相并聯的模式，對“三角函數”單元復習教學設計進行嘗試.將某一內容核心知識和方法設計成一組回憶性問題，在回答問題的基礎上，建立知識網絡，使知識系統化和結構化.[1]通過問題設置上的綜合性和靈活性，對于進一步提高學生分析和解決問題的能力.

每個單元的復習會涉及到以下幾個方面：整體的知識框架、使用的數學思想方法、數學本質、各種數學表征、美學欣賞、人文背景，這些內容在新課學習過程中往往難以體會，需要在復習課上加以升華[2]，這是復習課設計的重要性.

2單位圓與三角函數

單位圓是研究三角函數的核心工具.比如利用單位圓直觀感受1弧度與1度的大小，借助單位圓抽象三角函數的定義，借助單位圓的方程推導同角三角函數的關系，借助單位圓的對稱性推導誘導公式，借助單位圓的旋轉對稱性推導出和差角公式，借助單位的幾何直觀探索三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最值等性質.從內容到方法都應該強調單位圓的作用，在教學中將單位圓作為研究三角函數的一個核心工具，讓學生養成使用習慣.[3]

3 復習教學與數學核心素養

教師要以整體聯系的眼光組織、設計和處理各章節、各單元和各知識點的關系，讓學生在整體中、在聯系中、在比較中學習，從而幫助學生在頭腦中將知識“由點構成線，由線構成面”，形成立體、開放、整體的知識結構.強調知識的結構化、整合化，防止知識的孤立化、片面化，是將知識轉化為核心素養的基本要求. [4]

借助單位圓的幾何直觀將三角函數的核心問題串聯起來，通過解決數學問題的活動，引導學生對現實問題進行數學抽象，構建數學模型解決實際問題.在單元教學 （包括復習教學） 過程中，不間斷地培養學生的數學學科核心素養.

4 三角函數單元復習教學設計

4.1 問題引入，基礎再現

問題1 單位圓的圓心為，若點沿著圓周順時針方向運動了到達，則轉過的角是多少度？多少弧度？線段掃過的面積是多少？

解析：由題意可知，弧長，半徑，則圓心角，點是順時針運動，則，面積.

設計意圖：主要考察學生對任意角的概念的理解，熟練兩種度量的換算和扇形 面積的計算.問題1中從圖形的變到代數的運算，從具體到抽象，意在培養學生的直觀想象和數學運算素養.

4.2 回顧定義，注重概念

問題2 若角的終邊所在的直線與單位圓的交點為，求點的坐標.

解析：由問題1可知，由三角函數的定義可得，當點在角的終邊上時，由，，得坐標為;當點在角的終邊的延長線上時，點的坐標.

設計意圖：以低起點的問題出發，讓學生回顧從單位圓到三角函數概念的抽象過程，引導學生理解數學概念和定義在數學活動中的重要性.另外，考查學生對象限角概念的理解和分類討論數學思想的應用，同時增加運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識.

4.3 互聯互通，內在聯系

問題3 ?若角的終邊與單位圓的交點為，求的值.

解析：由三角函數定義得，當角是第一象限角時，，.當角是第四象限角時，，.

設計意圖：三個三角函數都是由角的終邊與單位圓的交點這一共同背景所決定的，且滿足.在尋找內在聯系的過程中，增強學生的邏輯推理素養.

4.4 理解本質，溯本清源

問題4 ?若是單位圓上的一點，角的終邊是.

（1）當繞原點旋轉周，這時終邊所對應的角為，求的值.

（2）當繞原點順時針旋轉，這時終邊所對應的角為，求的值.

（3）當繞原點旋轉任意角，這時終邊所對應的角為且與單位圓的交于，求的值.

設計意圖：三角公式本質上是圓的基本性質的解析表示，這些公式可以用旋轉變換的方法統一起來，將角的終邊旋轉整數周和旋轉特殊角就得到誘導公式，旋轉任意角就得到和差角公式.通過本題，讓學生理解公式的關聯性與統一性.在素養層面上，提升學生的直觀想象和數學抽象的核心素養.

4.5 發散思維，合理運算

問題5 ?若是單位圓上的一點，角的終邊是，且，如何求點的坐標？

解析：思路1 因為，，，聯立和，可解得點的坐標.

思路2因為，所以，先求的值，再求，也可解得點的坐標.

設計意圖：思路1運用了方程組思想求解，思路2運用了角變換方法求解.問題的設計是為了讓學生發散思維，合理選擇計算方法，理解運算對象，探究運算思路，求得運算結果，從而提升數學運算素養.

4.6 數形結合，感悟本質

問題6 ?平面直角坐標系內的半徑大小為A的圓上一點從點（對應于角）開始，以角速度逆時針方向繞圓周運動到點，運動時間為.

（1）求出點的縱坐標與時間的函數關系式;

（2）若，，求函數的周期和單調遞增區間.

解析：（1）由題可知，以終邊為的角為，則.

（2）由于，周期.由，

解得，故單調遞增區間為.

設計意圖：引導學生注意與之間的聯系，即圖象變換，借助圖象變換理解參數的意義.培養學生直觀想象和數學建模素養.

4.7 探索延伸，重視建模

問題7 在中，，，求的取值范圍.

解析：方法1 由正弦定理得，又，，所以的取值范圍.

方法2從幾何角度，是半徑長為1的圓的弦，頂點在優弧上移動，當經過圓心時，取得最大值2.當無限接近頂點時，趨近于0.故的取值范圍.

問題8 摩天輪的半徑為，點距地面的高度為，摩天輪按逆時針方向作勻速轉動，且每轉一圈，摩天輪上點的起始位置在最高點.

（1）試確定點距離地面的高度（單位：m）關于轉動時間（單位：min）的函數關系式;

（2）摩天輪轉動一圈內，有多長時間點距離地面超過？

解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，設是以軸正半軸為始邊，（表示點的起始位置）為終邊的角，由題知，在內轉過的角為，所以為終邊的角為，即點縱坐標為，所以點距離地面的高度關于旋轉時間的函數關系式是，化簡得.

（2）當時，解得，又，所以符合題意的時間段為或，即在摩天輪轉動一圈內，有的時間點距離地面超過.

設計意圖：通過解決實際問題的數學活動，引導學生對實際問題的數學抽象，尋找解決問題的數學方法，建立數學模型解決實際問題.

5 結語

以上我們看，單元復習教學設計應遵循以下幾個原則：

第一，低起點原則：低起點，容易讓學生盡快進入學習狀態和參與的積極性.

第二，重概念原則：數學概念就是數學基礎，重視概念才能更好地夯實基礎.

第三，重統一原則：相同背景下的數學問題必然有著內在的聯系，統一是為了理解數學.

第四，重應用原則：學習數學目的是為了更好解決實際問題，重視數學應用也是提升數學核心素養的重要途徑.

參考文獻：

[1]顧繼玲.理解教材，研究學生：中學數學教學設計[M].北京：北京師范大學出版社，2015.

[2]張奠宙.復習課的設計需要理論建設[J].數學教學，2015（2）.

[3]章建躍.用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數[J].數學通報，2020（11）.

[4]余文森.核心素養導向的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2017.