巧用一題多解 鍛煉學生數學思維

馬貴生

摘 要：基于新課改的要求，數學教學的重點是提高學生的核心素養。對此，教師要注重激發學生的主觀能動性，創設鍛煉學生數學思維能力的環境。文章以幾何圖形類問題一題多解和字母參數型題型一題多解的教學為例，探究巧用一題多解，鍛煉學生數學思維的具體策略。在具體教學中，教師要重視學生數學思維能力的發展，構建思考探究情境，實現學生解題質量的提升，同時關注學生數學思維品質的發展，做好引導和組織工作，并以一題多解為基礎，進行科學合理的變式教學。

關鍵詞： 初中數學;一題多解;數學思維;核心素養;情境;思維品質

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2022）05-0117-03

在數學教學中，教師要基于新課改的要求，以培養學生的數學核心素養為教學總目標，讓學生通過數學學習形成一定的品質、能力和素養。在此過程中，學生與周圍環境進行不斷的交流、溝通，學會以數學的視角審視現實問題，思考現實問題，并解決現實問題。而一題多解就是這樣一個可以從不同角度思考問題的教學情境，對于同一個數學問題，學生可以找到不同的解答方案，而不同解答方案會涉及更多的數學知識，這在無形中拓展了學生知識視野。另外，在比較多個解答方案的過程中，學生對數學問題本質的認知、對數學知識點之間聯系的認知都會朝著更加縱深的方向發展，從而使數學學習達到融會貫通的狀態。即學生通過一題多解，可以深度理解數學知識，并實現數學知識的有效應用。這就需要教師創設有利于鍛煉學生數學思維能力的環境，不斷提高學生的分析問題能力、解決問題能力，提高學生的數學核心素養。

一、一題多解在學生數學思維鍛煉中的效能價值

基于核心素養的培養要求，教師在數學教學中要積極更新教學理念，優化教學方法，應用一題多解等教學策略不斷提升學生的數學思維能力。一題多解在學生數學思維鍛煉中的效能如下。（1）一題多解的題設情境可以進一步夯實學生的數學知識基礎，提高學生的數學知識應用能力。數學基礎知識是解題的前提，也是數學學習的基礎，一題多解題設的嵌入，可以夯實學生的數學知識基礎。（2）在一題多解的題設格局中，學生可以更好地理解基本模型，掌握解題方向，甚至可以使用建模思想去解決實際問題，從而不斷提升解題能力。（3）一題多解的題設會呈現出多種不同的解法，而了解、比較不同解法的過程也是提升學生數學核心素養的過程。（4）一題多解題設的巧妙滲透可以讓學生順利完成初中數學和高中數學的過渡，即構建一個銜接機制，這不僅鍛煉了學生的解題能力，發展了學生的數學素養，還為學生的深度學習奠定了基礎。

二、巧用一題多解，鍛煉學生數學思維的具體應用案例

1.關于幾何圖形類問題的一題多解題設

幾何圖形的一題多解以求解圖形形狀或者位置不確定性的題目為研究對象，此類題目需要學生清楚符合條件的圖形有哪些可能性，對應的位置如何，在此基礎上對圖形不確定的形狀或位置進行分類探討。根據實際條件的探討可實現學生空間想象能力、畫圖能力的鍛煉，并由此進入問題解答環節。

例1：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點P的個數是（ ）。

對于上述題設，學生需要作點F關于CD的對稱點F'，連接對應線段，此時就可以得出PE+PF=EF'，依照兩點之間線段最短的定理，可以得出PE+PF的取值處于最小的狀態。在這樣的情況下連接FF'，與CD相交于點G，在此基礎上過點E做EH垂直于FF'，設定實際的垂足為H，此時就可以知曉：無論是△EHF，還是△CFG，它們都是等腰直角三角形。在得出這樣的判定結果之后，就可以得出EH=FH=FG=F'G=2，在基礎上可以對EF'的取值進行界定，EF'===4，很明顯是小于9。

根據正方形對稱性的性質，可以得知正方形ABCD的每條邊上都有一個點P，這個點P可以使PE+PF處于最小的狀態。在此情況下，實現DE的連接，就可以計算出DE+DF=4，很明顯大于9，也就是說CE+CF=12，大于9，即點P位于B、D的時候，是大于9的狀態，如果點P位于A、C的狀態，PE+PF也大于9。由此可以推斷出對應的點數是8，因此，正確的答案就是8。

例2：如圖2，在直線AP上方有一個正方形ABCD，∠PAD=30°，以點B為圓心，AB為半徑作弧，與直線AP交于點A、M，分別以點A、M為圓心，AM長為半徑作弧，兩弧交于點E，連接ED，則∠ADE的度數為 。

通過對上述題目的分析得出：因為∠PAD=30°，以點B為圓心、AB為半徑作弧，與直線AP交于點A、M，所以∠BAM=60°，△BAM是等邊三角形;又分別以點A、M為圓心，以AM為半徑作弧，交點有兩種情況：①交點E在直線AP下方，由題意，△AME是等邊三角形，所以∠EAM=60°，∠DAE=30°+120°= 150°，又AD=AM=AE，所以∠ADE=∠AED=（180°- 150°）=15°;②交點E在直線AP上方時，點E與B重合，所以∠ADE=∠ADB=45°

2.關于字母參數型題型的一題多解題設

初中代數方程、函數的一些練習題目涉及字母參數問題，在遇到這樣的問題時，學生要考慮全面，才能不斷提升學習實效。

例3：已知y=ax2+bx+c（a≠0），二次函數圖像的頂點是（2，-1），且與y軸的交點到原點的距離為3，則這個二次函數的解析式為 。

在這道題中，基于二次函數圖像的頂點是（2，-1），不妨設這道題的二次函數解析式為y=a（x-2）2-1（a≠0）。考慮到該二次函數的圖像與y軸的交點到原點的距離是3，∴交點坐標為（0，3）或（0，-3），把（0，3）代入y=a（x-2）2-1（a≠0），解得a=1，則這個二次函數的解析式為y=（x-2）2-1，把（0，-3）代入y=a（x-2）2-1（a≠0），解得a=-，則這個二次函數的解析式為y=-（x-2）2-1。

例4：已知一次函數的圖像經過點（2，0），且與坐標軸圍成的三角形的面積為1，則一次函數的解析式為 。

基于一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像過點（2，0），則2k+b=0，b=-2k，那么一次函數為y=kx-2k。令x=0，則y=-2k。由條件得函數圖像與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，則×2 -2k =1，即 -2k =1，解得：k=±，那么一次函數的解析式為y=x-1或y=-x+1。

三、基于數學思維培養的一題多解教學原則

從上述四個題設案例可見，在實際的一題多解題設情境中，學生需要動用多方面的數學知識儲備，并且懂得合理融入分類探討思想，這樣才能進入縝密的數學思維狀態中。為此，教師需要注意以下教學原則。

1.重視發展學生的數學思維能力

在數學教學中，教師要將鍛煉學生的數學思維能力作為重要的教學目標之一，而這不是一蹴而就的，需要長時間的數學教育教學滲透，并堅持循序漸進的原則，才能漸入佳境。一題多解的題設考驗學生的數學思維能力，因此可以作為日常鍛煉學生數學思維的重要載體。數學教師在運用一題多解題設的時候，要充分調研學情，確保各個層次的學生都能參與針對性的思維訓練，從而讓一題多解與數學思維能力發展實現積極融合。

2.實現解題質量的提升，構建思考探究情境

在傳統數學教育教學中，有的教師習慣性地采取題海戰術來鍛煉學生的數學思維能力，讓學生在刷題的過程中掌握數學概念，鍛煉數學解題能力，發展數學思維品質。在此過程中，學生對題目越來越熟悉，看似解題能力在提升，實際上是在浪費時間，這種教學方法不利于發展學生的整體數學思維能力。對此，教師可以一題多解為提升學生數學思維能力和自主思考能力的切入點，讓學生通過具體的解題過程鍛煉數學思維，并進入深度解題狀態中。另外，教師要引導學生在一題多解的過程中積極拓展解題思路，進行靈活思考，從而形成個性化的數學學習方法。學生從不同角度思考問題，生成不同的答案，并在一種解題方法的基礎上尋找更多的解題方案，這樣可以不斷提高學生對相應題設的解決能力，提升對應數學知識的交互思考能力。從這個角度分析，一題多解題設不僅可以激發學生的數學思考，還可發揮學生的自主性，讓學生在高質量的解題過程中獲得數學學習成就感，繼而以更大的熱情進行數學學習。

3.關注數學思維品質，做好引導和組織工作

在一題多解題設情境中，教師要積極發揮引導者和組織者的作用，關注學生的數學思維品質發展。第一，在教育教學中，要引導學生獨立思考，使其清楚題設條件，找到其中隱含的條件，實現自主學習能力的提升，而不是習慣性地以一種思路解決問題。嘗試運用不同的方法解決問題才能夠有效鍛煉數學思維。第二，在激發學生數學思維的過程中，教師要注重培養學生的發散思維能力，讓學生從不同的角度思考問題，并將已掌握的數學知識合理融入進去，實現新舊知識的有效銜接。第三，在一題多解的教育教學中，教師要注重發展學生的批判精神和能力。在設定一些專題的時候，可將錯誤的解題思維融入進去，引導學生反思為什么會出現這樣錯誤的解題思路，讓學生更好地審視自己的數學解題思維，進一步夯實對應的數學知識基礎，進入理想的數學學習狀態。

4.以一題多解為基礎，進行合理的科學變式

基于最近發展區的理論，教師要將學生已掌握的知識與新的變量融合起來，讓其進入深度學習狀態，因此可將一題多解題設作為變式教學的重要路徑之一，尊重學生的發展規律，在學生現有水平和潛在發展水平之間做好平衡。需要注意的是，在變式教學過程中，教師不要設計太難的問題，只有架構合理的跳板，才能使學生更好地鍛煉自己的思維。教師要正確認識一題多解變式教學在提升數學學習質量中的效能，改變題海戰術的教學模式，注重激發學生的思維潛能，確保知識點的有效銜接，從而讓學生建立系統的知識框架。在數學復習的過程中，教師也可以設定一些基礎性的題設，對學生曾解答的題目進行合理變式，改變對應的題設條件或者結論，讓學生從不同的角度進行思考，由此發揮一題多解的題設在思維鍛煉中的效能。

四、結語

綜上所述，基于新課改的要求，教師要將教育教學的焦點放在激發學生的自主性、發展學生的思維能力上，切實將數學核心素養的培育與數學教育教學內容結合起來。在數學教學中，教師可將一題多解的題設情境作為培養學生思維能力、提升學生思維品質的重要方式，對此，要樹立精細化的解題過程管理意識，充分發揮引導效能和組織效能。這就要求教師不斷反思一題多解的題設密碼，總結教學經驗，以此構建理想的數學教學格局和環境，不斷提升學生的數學學科核心素養。

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Skillfully Using Multiple Solutions to One Problem and Exercise Students' Mathematical Thinking

Ma Guisheng

（Jiaoyang Middle School， Shanghang County， Fujian Province， Shanghang 364204， China）

Abstract： Based on the requirements of the new curriculum reform， the focus of mathematics teaching is to improve students' core competence. In this regard， teachers should pay attention to stimulate students' subjective initiative and create an environment to exercise students' mathematical thinking ability. Taking the teaching of multiple solutions to one problem of geometry problems and one problem of letter parameter problems type as examples， this paper explores the specific strategies of skillfully using multiple solutions to one problem and training students' mathematical thinking. In specific teaching， teachers should pay attention to the development of students' mathematical thinking ability， build thinking and exploration situations， improve students' problem-solving quality， pay attention to the development of students' mathematical thinking quality， do a good job in guidance and organization， and carry out and scientific reasonable variant teaching based on multiple solutions to one problem.

Key words： junior middle school mathematics; multiple solutions to one problem; mathematical thinking; core competence; situation; thinking quality