追本溯源 深入拓展 讓思維開啟高階模式

盧家杰

【摘要】數學運算教學不僅是學生計算技能的培養，還應重視運算中高階思維能力的發展。然而在小學第一學段教師常常只重視夯實計算技能，忽略運算教學中高階思維的滲透。本文結合目前指向高階思維的運算教學現狀，從目標維、資源維、活動維三個角度來闡述高階思維應用于第一學段數學運算教學的策略和實踐。

【關鍵詞】第一學段、高階思維、運算能力、數學教學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》正式將“運算能力”列為十大數學核心概念詞之一。隨著當今社會高速發展，各行各業大量數據信息瞬息萬變，我們的人工智能足以代替人腦進行大量的低階思維工作，如接收信息、存儲信息、操作計算等等。而我們培養的學生，不該停留在低階思維水平，而是具有在復雜多樣的環境中發展觀察、分類、思考、推理、探究、質疑、創新、制定解決方案等高階思維能力。數學運算教學不僅是學生計算技能的培養，還應重視運算中高階思維能力的發展。只有這樣，我們培養的學生才能適應高速發展的學習、工作和生活。

一、高階思維的內涵

根據心理學家布盧姆的教學目標分類，學生的數學思維可以分為六個層次，其中“分析”、“評價”和“創造”屬于高階思維。本文所討論的運算中高階思維主要是指學生在熟練掌握并運用數學的基本定義，基本法則和基本公式能正確進行計算的基礎上，能對運算結果進行反思和判斷，還能夠靈活運用類比推理，遷移方法解決問題或者多種方法解決問題，實現運算方法的優化。

二、調查與分析

既然運算教學中高階思維能力有如此重要的價值，那么在現實的課堂教學中教師是否有足夠的重視呢？有沒有將運算中高階思維能力的培養落實到一線課堂？因此筆者設計相關問卷，進行調查。

（一）調查過程

1.調查時間：在2020年5月10日設計調查問卷，2020年5月20日下發問卷，進行問卷調查。

2.調查對象：本人所在的學校處于城鄉結合部，是一所剛成立五年的新學校。選取三年級兩個班級，共77人進行問卷調查。

3.調查內容：從“能否正確地運算和正確的算理表征”、“靈活選用算法，運算方法和過程是否簡便”、“能否對運算結果進行檢查和判斷”、“能否進行推理計算”4個維度出發，設計一份指向高階思維的運算能力調查問卷。

4.調查結果：共下發問卷77份，有效收回問卷共77份。從調查結果顯示，小學第一學段運算中高階思維的培養并沒有得到很好的落實。

（二）分析與思考

統計分析問卷的數據，并結合后續學生訪談情況，發現學生指向高階思維的運算能力主要存在以下幾方面的問題。

1.算理的理解浮于淺層

學生能否正確地運算，并正確地表征算理，是運算中高階思維的重要基礎。每一位學生都能正確地計算，但是只有41.5%的學生在點子圖中正確地表征出這道題的算理。而回歸課本教材內容（如圖1和圖2），發現相同的算理知識點在人教版小學數學三年級下冊第46頁是借助點子圖作為例題在課堂上重點講解過的，并非學生們第一次遇到。由此可見，教師將運算教學的重點（甚至全部）落到了如何快速、正確地計算出結果。而對應的運算算理和計算本質被忽略。

如果題目中遇到應用基礎算理來解決問題或者利用算理推理解決更加復雜的計算問題時，有部分學生就會不知所措，無從下手。而對于基礎算理扎實的學生來說，這一類題目就非常簡單了。

2.算法的選擇存在定勢

由于二、三年級豎式運算的機械性訓練或者多重外在引導等因素（如老師、家長反復強調列豎式計算能保障計算結果正確），“列豎式計算”成為大多數學生運算時的最佳選擇，甚至是唯一選擇。學生在運算過程中未能靈活使用估算、心算、簡便運算解決問題，大多數學生也缺乏對運算結果進行反思和判斷的能力，算法選擇存在定勢。

學生能否靈活選用算法，方法和過程是否簡便，這是運算中高階思維的重要屬性之一。接受調查的學生有81.8%采用列豎式的方法得出每個算式的結果，然后再進行大小比較。只有18.2%是通過估算的方法得出近似結果，再進行大小比較。比較正確率，明顯選用估算解決的正確率更高。訪談后了解到學生選用每一個算式都列豎式計算出正確結果的原因是在于“怕估算思路不清，導致估算的結果錯誤。用列豎式得到結果，然后進行大小比較更準確，也更加放心。但是偶爾列豎式也會出現計算錯誤?！?/p>

不同于以往的單一試題求“蔡老師一共花了多少錢？”，而是給了一位同學的解答方法，讓學生來判斷他算得對嗎，其實就是在考察學生對運算的結果是否有反思和判斷的能力。由于整數乘小數沒有學過，題目提示要求用已經學過的知識來解釋說明理由。要解決這道題，用筆算和口算都顯得過于復雜，但是用估算就容易許多。將23、51.4分別估小為20和50，估小后相乘也需要1000元，實際花的錢肯定大于1000元，也大于982.2元，所以小明算錯了。

調查發現，這道題只有25.9%的學生做對了，翻閱這些同學的解題方法，發現將近90%的學生是用了估算的方法，剩余10%是將51.4元拆成51元和4角，也成功得解決了這道題。但是有74.1%的同學做錯了，其中有嘗試列豎式計算的，還有不少同學這道題甚至是一片空白。

3.結構的領會過于片面

指向高階思維培養的運算教學，不僅只是計算技能的獲取，更重要的是利用推理遷移方法發展邏輯思維能力，實現運算能力的深層次和更高水平的發展。

據統計這道題錯誤率不高只有9.9%。但通過后續訪談發現，學生們的解題方法非常多樣。有85%的學生是從A到底是多少來入手考慮。只要知道A是多少，那么86×A7=（?）自然就轉化為兩位數乘兩位數的計算。由于還沒有學過除數是兩位數的除法，要知道A是多少，大部分學生采用代入一位數字試一試的方法，直到試對了為止。有從1開始代入，直到試到9。有的學生觀察數字特點發現，774與860（即86×10）非常接近，于是他從A是9開始代入，結果只試了一次就發現A的真實數值。還有同學從尾數入手，6×（ ）的個位是4呢？想到四六二十四和六九五十四，將4和9分別代入驗證得到A是9。解決了A是多少，只需要列豎式就能得到正確的結果。

還有5%的學生，他們表示不需要知道A是多少，現在A 在十位上，意義就是A個十。根據已學過的算理和算法，只需利用豎式就能輕松推理解決，而且用時較少。（如圖3）根據學生的解答情況和后續的訪談，了解到學生利用算理和算法，推理解決問題的能力只在個別同學身上有所展現。

（三）歸因分析

為什么三年級學生數學運算中的高階思維能力如此單薄呢？反思現實的第一學段數學運算教學，原因不外乎以下三個方面：

——運算中的高階思維能力的培養，需要教師有正確的運算觀和深入的本質理解。但事實上教師對數學運算的理解往往還不夠透徹，導致在運算教學中重結果而輕過程。學生們也因此進行超量重復的口算、筆算訓練，卻對于數與運算意義、運算規律等算理的理解常常被忽視。

——運算中的高階思維能力的培養，需要教師用系統化的思維去整合碎片化的知識。在低段的數學運算教學中有不少碎片化或者重復的知識。沒有進行重組和結構化的知識，顯得過于瑣碎，也增加學習過程中的無趣，減退學生學習的積極性。

——運算中的高階思維能力的培養，需要經歷歸納、猜想、驗證等過程。教師在授課中不但要讓學生明白“是什么”，而且要讓他們明白“為什么”?？上У氖牵處煶３Ｔ诮虒W過程中只告訴學生“是什么”，卻不肯花時間放手讓學生探究“為什么”。

綜上，計算技能的掌握和提高是立竿見影的，而高階思維能力的提高是一步一步慢慢滲入。因此在小學第一學段運算教學應重視學生高階思維能力的發展，重視算理的理解，鼓勵算法的推理遷移運用，讓學生經歷歸納、猜想、驗證等活動，獲取高階思維能力。

三、策略與實踐

由于高階思維能力是需要慢慢滲透，我們需要從第一學段開始就關注學生運算的高階思維能力的培養。學生能夠正確地理解運算的算理，主動探索多樣化的算法并尋求簡潔合理的運算途徑來解決問題。會運用推理，利用知識方法的遷移，創新地解決問題。

將高階思維應用于第一學段運算教學時，可以從以下三個維度進行嘗試：

（一）目標維：指向高階思維的教學定位

只有在教學目標中，高階思維能力的目標不缺位，教師心里有意識，教學行為才會有跟進，學生運算高階思維能力培養的落實才會實現。因此在以往粗略的每課時教學目標基礎上進行目標細化，并且根據教學內容額外增加高階目標預設。

以人教版小學數學三年級上冊《萬以內的加法和減法（一）》幾百幾十加減幾百幾十 （P14）為例：

這樣，將原來的粗略目標進行細化，將每個目標都落實到位，同時增加高階目標預設。教師在完成基礎目標后，進行高階目標的落實，真正做到心中有數。

（二）資源維：指向高階思維的學習載體

教學資源是學習數學的重要載體，指向高階思維培養的小學運算教學，教學資源的選擇和編排就十分重要的。教學是否成功，主要取決于教師在課堂上提供什么樣的學習材料。在教學中，我們可以通過資源挖掘、整合和拓展等策略，落實運算教學高階思維能力的培養。

挖掘：一道簡單的計算題背后有多少的思維含量，是需要我們教師去挖掘的。例如計算46+27，如果教師只是要求學生計算出正確的計算結果73，那么學生的思維訓練也就止步于此。教師可以請學生將這道簡單的計算題，改編成為選擇題。選項中除了正確選項73之外，這個選擇題的其他選項可以是什么答案呢？請同學來說一說自己的選項，并說明理由。有同學補充“63”，原因是自己會經常忘記進位。還有同學補充“19”，原因是審題不仔細將加法看成減法進行計算了。明明知道答案的計算題，逆向追問思考，可以蘊含多種不同的思路。

整合：根據學情出發，用系統化的思維去整合教學內容，從碎片化，繁瑣，無趣的知識點走向整體設計，逐步遞進的單元主題。如在人教版小學數學三年級上冊第二單元《萬以內數的加減法（一）》和第四單元《萬以內的加減法（二）》，這兩個單元的算理相同而且教學時間安排較近，我們考慮將這兩個單元知識的教學進行整合。（如圖4）

拓展：從教材整體出發，適時補充。不僅要教這一課時的知識內容，而且要將這個知識點放到整個小學數學教材中加以通盤考慮，加強知識間的縱向聯系。將單元知識整合，多余的課時我們就用來進行拓展。在學習兩位數加減兩位數的口算后出示以下兩組題，要求學生正確計算結果并仔細觀察，寫一寫：你還發現什么了？

題組1：

30+40=?45+74=?10+35=

40+30=?74+45=?35+10=

題組2：

30+80+20=?18+24+76=?16+40+60=

30+（80+20）=?18+（24+76）=?16+（40+60）=

這兩題組，除了要求學生正確計算結果外，還需要學生觀察算式的特征。其實仔細觀察不難發現，題組1中上下兩題加數交換了位置，但是和不變。題組2上下兩題加數的數字不變，添加小括號后改變了計算先后順序，得到的和不變，而且計算過程也更加方便。這兩組題的思維本質就是四年級學習的加法交換律和加法結合律。但我們在三年級的時候已經在慢慢滲透，當學生遇到34+54?54+34，18+24+76? 18+（24+76）這類比較大小的題目時不需要去計算出每個算式的具體結果，只要觀察數字和符號特點就能比較出大小，既節省了做題時間，又提高正確率。

（一）活動維：指向高階思維的學習活動

蘊含高階思維的學習活動是較受學生喜愛的學習方式。已經有一些研究表明，有趣的項目式學習有利于發展學生的高階思維能力。

2020年一場突如其來的新冠肺炎疫情，把全國的孩子都困在了家里。各個學校積極相應“停課不停學”教育教學模式，紛紛根據各學科特征開展項目式學習。本校三年級數學組老師根據三年級上冊已學知識和疫情相關信息相結合開展項目式學習。三年級上冊，學生剛剛學了“萬以內的加法和減法”“倍的認識”，結合每天新聞發布各地區的疫情實時數據，我們引導孩子編寫加減法應用題一兩道，還有“倍”、“和倍”或“差倍”的應用題一道。要求附上相關新聞報導的圖片，保證數據的準確性，同學們在釘釘班級圈進行展示，班里同學可以挑選自己感興趣的題目進行評論解答。如：1月22日，我國累計確診新冠肺炎患者644人，1月23日累計確診830人，新增多少人？1月22日累計某地區死亡人15人，一星期后的1月28日累計死亡人數高達143人，1月28日累計死亡人數大約是1月23日的幾倍？并分析死亡人數不斷上漲背后的原因。

生活中的數學有非常豐富的材料，通過分析情景化的數學運算問題，給學生提供了一個鍛煉高階思維的平臺。

綜上，在運算教學中將低階思維作為構建高階思維發展的抓手和基底，在正確理解算理和算法的基礎上，還能靈活選用合理的算法，拋開固有的定勢。能夠會運用推理，利用知識方法的遷移，創新地解決問題。指向高階思維的運算教學，需要教師擁有基礎和高階相結合的教學定位，需要教師挖掘、整合、拓展教學資源，需要教師開展有深度的計算教學活動。

參考文獻

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